以函数知识为“工具”，求解不等式恒成立问题

玉韦莎

不等式恒成立問题具有较强的综合性，不仅考查了不等式的性质、解法，基本不等式，还考查了函数的图象和性质，方程的根的判别式，韦达定理，三角函数的有界性等.面对此类较为复杂的问题，很多同学不知该如何下手.对此，笔者对不等式恒成立问题的两种解法进行了总结，下面结合实例来进行探讨.

一、分离参数法

运用分离参数法求解不等式恒成立问题，需先将不等式中的参数与变量进行分离，使不等式的一边只含有参数，另一边不含有参数；然后将不含有参数的式子构造成函数，利用基本不等式法、函数的单调性、方程的判别式等，求得函数的最值，从而建立确保不等式恒成立的关系式，即可解题.

例1.

在本题中，含有a、x的项仅有2ax一项，容易分离出参数，于是采用分离参数法求解.首先将不等式进行变形，使得参数a、变量分离，再根据基本不等式求得3x+1+34x的最值，即可求得a的取值范围.由于x∈R，所以在分离参数时要对x的符号进行讨论，以便去掉绝对值符号.

二、函数性质法

当遇到与函数的周期性、奇偶性、单调性有关的不等式恒成立问题时，往往可以采用函数性质法求解.首先根据函数单调性的定义、导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，然后根据函数的性质将函数的自变量转化到同一个单调区间内，再利用函数的单调性来比较两个自变量的大小，确保不等式恒成立即可.

例2.

解答本题，主要运用了函数的奇偶性、周期性、单调性，需首先根据函数的性质去掉函数符号“f”，然后根据函数的单调性建立使不等式恒成立的式子，再求得函数g（n）的最值，即可得到参数m的范围.

无论是运用分离参数法还是运用函数性质法，都需要将不等式恒成立问题转化为最值问题来求解，因此，同学们需熟练掌握并运用判别式法、基本不等式法、函数的性质、导数法等来求最值.

（作者单位：广西河池市环江毛南族自治县高级中学）