解答三角函数最值问题的几种措施

万广生

三角函数最值问题侧重于考查三角函数中的基本公式，三角函数图象和性质，二次函数的性质等.求解三角函数最值问题的方法很多，如换元法、数形结合法、基本不等式法、导数法等.本文主要介绍下列三种求解三角函数最值问题的措施.

一、数形结合

数形结合法是求解三角函数问题的常用方法.将数形结合起来，可使三角函数问题变得直观、具体.在解答三角函数最值问题时，可根据题意或者函数式的几何意义，画出相应的图形，通过分析函数图象的变化趋势、最高点、最低点、对称性、周期性等，求得函数在某一个区间上的最值.有时，可将y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象进行伸缩、翻折、旋转，从而得到满足题意的图象.

例1.

由分式可联想到直线的斜率公式，于是将其看作定点（-3，-2）和单位圆上一点（cosx，sinx）连线的斜率.然后画出相应的图形，便可通过分析图形，明确直线的斜率取得最值的情形，再根据圆的性质：切点到圆心的距离为半径，建立关系式，即可求得函数式的最值.

二、利用函數的单调性

对于只含有一种函数名称，或可化简为只含有一种函数名称的函数式，我们可利用正弦函数、余弦函数、正切函数、一次函数、二次函数、指数函数的单调性来求函数的最值.若函数的定义域内含有多个单调区间，则需根据函数的单调性求得每个单调区间上的最值，再将所得的结果进行比较，较大的为最大值，较小的为最小值.

解答本题，需先根据辅助角公式，将函数式化简为只含一种函数名称的式子，然后根据正弦函数的单调性求出最值.

三、利用一元二次方程的根的判别式

对于含有二次式的三角函数式，通常可采用判别式法来求最值.首先需将y看作参数，构造关于x的一元二次方程；然后根据方程有解，建立关于判别式的不等式△≥0；再解不等式，得到对应的解集，即可求得三角函数的最值.

例3.

利用一元二次方程的根的判别式求函数的最值，需确保方程的二次项的系数不为0.若二次项的系数为参数，则需对其进行讨论.

相比较而言，第一、二种措施比较常用，且适用范围较广；第三种措施的适用范围较窄，但是较为便捷.同学们在求最值时，要注意根据函数式的结构特点，选择与之相应的措施进行求解.

（作者单位：甘肃省庆阳市环县第四中学）