谈谈解证明题的常用方法

缪鹏

证明题是高中数学中的一类重要题型，经常出现在各类试题中.常见的命题形式有：（1）证明某一个不等式成立；（2）证明某一个代数式为定值；（3）证明某一条直线恒过一个定点；（4）证明某一个结论成立.此类问题侧重于考查同学们的逻辑推理和分析能力.下面结合实例探讨一下如何解答证明题.

一、分析法

运用分析法解题的基本思路是“执果索因”，即从结论出发，通过分析、推理、运算，不断地去寻找使已知条件成立的充分条件，直至得到与已知条件一致或某个明显成立的结论．在解题时，需明确哪些是问题的条件，哪些是问题的结论，然后由“结论”推出“条件”．

例1.已知函数f（x）=log2（x+2），a，b，c是两两不相等的正数，且成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．

解：

运用特值法猜测出f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系后，需采用分析法证明结论.在运用分析法解答证明题时，往往要采用“要证—只需证—即证”的格式.

二、反证法

假设原命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的解题方法叫反证法.反证法是一种间接的证明方法.用这种方法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立.

例2.

反证法往往适用于求证正面情况较多或较复杂的证明题.当问题中出现“不大于”“不都是”“不是”“至多”“至少”等字眼时，运用反证法求证往往比较有效.

三、数学归纳法

数学归纳法适用于证明与正整数有关的命题.运用数学归纳法证明问题的一般步骤为：

（1）證明当n取第一个值n0（例如n0=1，n0=2）时，结论成立；

（2）假设当n=k（n∈N且k≥n0）时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立.

完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n都成立.

例3.

运用数学归纳法解答证明题的关键是由当n=k时的结论成立，推出当n=k+1时的结论也成立.

在解答证明题时，不要局限于一种方法，有时可同时运用两种或两种以上的方法进行求证，例如在运用数学归纳法时，可采用分析法、比较法等证明当n=k+1时的结论成立；在运用比较法时，可同时运用分析法来比较差式与0，商式与1之间的大小关系.

（作者单位：江苏省栟茶高级中学）