例谈求解圆锥曲线中离心率问题的三种思路

黄文地

圆锥曲线的离心率是描述圆锥曲线圆扁程度的量.有关离心率问题的常见命题形式有求椭圆、双曲线的离心率及其取值范围，根据圆锥曲线的离心率求参数的取值范围、求圆锥曲线的方程等.那么，如何求解圆锥曲线中的离心率问题呢？下面介绍三种思路.

一、采用公式法

圆锥曲线的离心率公式为e=ca，其中，a为椭圆的长半轴长、双曲线的实轴长，c为半焦距，且在椭圆中，c=a2-b2，在双曲线中，c=a2+b2.若容易求得圆锥曲线的方程、椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长，就能快速求得a、c的值，将a、c的值代入公式e=ca中，即可求出离心率的值.

例1.

解：

已知条件中含有a、b的关系式，根据等差中项、等比中项的定义建立关于a、b的方程组，求得a、b的值，即可运用圆锥曲线的离心率公式e=ca求得问题的答案.

二、构造齐次式

有些问题中只给出了关于a、b、c的关系式，或根据题意可直接求得关于a、b、c的关系式，此时可通过构造关于a、b、c的齐次式，即a、b、c的次数相同的式子，再根据椭圆中a、b、c的关系a2=c2+b2，双曲线中a、b、c的关系c2=a2+b2，将齐次式转化为关于a、c的等式，最后在其左右同时除以c2、c4等，得到关于ca的方程，解方程即可求得ca的值，从而得到圆锥曲线的离心率.

例2.

解：根据题意画出如图1所示的图形，

解答本题主要运用了构造齐次式法，首先建立关于a、b、c的关系式：c2-a2=ac，再在其左右同时除以a2，将该关系式化为齐次式，再根据椭圆、双曲线中a、b、c的关系得到关于ca的方程，进而求得离心率的值.

三、利用几何性质法

圆锥曲线均为平面几何图形.在求解圆锥曲线的离心率时，可根据圆锥曲线的几何性质建立关于椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径的关系式.也可将椭圆的长半轴和短半轴长、双曲线的实轴和虚轴长、焦半径看作三角形、平行四边形、梯形的一条边，或圆中的一条弦，利用三角形、平行四边形、梯形、圆的性质来建立关于a、b、c的关系式，从而求得圆锥曲线的离心率.

例3.

解：

解答本题，需先明确AB为等腰三角形的底边，然后采用几何性质法，根据等腰三角形的性质和已知条件求得点M的坐标，再將其代入双曲线的方程，从而建立关于a、b、c的关系式.

本文主要介绍了三种求解圆锥曲线中离心率问题的思路.从上述分析可以看出，不论运用哪一种思路解题，都需根据题意建立关于a、b、c的关系式，或求得a、c的值.因此，同学们在建立关系式时，要将其与a、b、c关联起来.

（作者单位：福建省南安市五星中学）