基于实验 自主探究 发展素养——“圆周角(1)”教学实录与反思

丁银杰 (江苏省苏州市草桥中学校 215031)

1 基本情况

1.1 教材内容分析

圆周角(1)是苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册第2章“对称图形——圆”第4节“圆周角”第1课时的内容，在本章的前3节学生学习了圆的有关概念，圆的对称性和确定圆的条件等知识，本节课学习圆周角的概念与性质．圆周角是本章的核心概念，是学习圆内接四边形，探究圆幂定理的重要基础，同时也是联系圆与三角形、四边形及相似形知识的纽带．

教材首先介绍了弧所对的圆周角概念，其次通过分别画90°,60°的圆心角对应的圆周角，并得出其分别为45°,30°，获得同弧所对的圆周角是圆心角一半的猜想，最后用分类与整合的方法证明圆周角性质，并通过例题教学加以巩固．

1.2 学生学情分析

施教对象为苏州市教育局直属初中校九年级学生，学业基础较好，经过七、八年级系统的数学实验教学，学生具有一定的实验探究、合作交流、分析整合的能力．根据儿童思维发展理论，九年级学生的思维以抽象逻辑思维为主要形式，但抽象思维水平仍然较低，对数学知识的理解还需要如实物学具、技术平台等直观形象的支撑．

1.3 教学目标设置

教学目标 (1)(知识与技能)认识并理解圆周角概念，了解并证明圆周角定理，能运用圆周角定理解决相关问题；(2)(思想与方法)在探索和证明圆周角定理的过程中，体会特殊与一般、分类与整合、转化与化归的数学思想方法，学会数学地思考；(3)(策略与途径)经历“观察—猜想—验证—证明—应用—拓展”的探索过程，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学建模等素养．

1.4 重点难点确定

教学重点 基于实物操作和技术探究构建圆周角概念，探索圆周角性质．

教学难点 从实物模型中抽象出圆周角概念，运用分类与整合，转化与化归的思想方法探索并证明圆周角性质．

1.5 教学策略选择

由于圆周角概念的抽象性，圆周角定理探索需要用到分类与整合的思想方法，本节课的教学采用实验探究的方式进行，教学中引入实物工具“圆周角探究仪”和技术工具GeoGebra，支持学生的自主探究，营造“做”数学的环境，帮助学生在实物操作的基础上构建概念，在技术探究中探索性质，发展素养．

2 教学过程

2.1 创设情境，激发兴趣

师：如图1，在一个圆形场地上，图中阴影部分是舞台，甲、乙、丙三位摄影师分别在C,D,E三点处对着舞台摄影．哪位摄影师拍摄的角度最大？哪位摄影师拍摄的角度最小？

图1

生：凭直觉，甲摄影师拍摄的角度最大，丙摄影师拍摄的角度最小(但不能明白其中的数学原理)．

师：你的直觉是对的，学完本节课的内容，你就会知道其中的数学原理．

2.2 实验操作，构建概念

师：这节课我们采用实验探究的方式来学习，图2是一个学具，由一个直线轨道和一个圆形轨道组成，A,B为圆形轨道上的两个定点，动点P可以在直线或圆形轨道上自由滑动．

图2

(1)操作：分别沿学具的直线轨道和圆形轨道移动“动点P”；

(2)观察：在“动点P”移动的过程中，∠APB的顶点、两边与“圆”有怎样的位置关系？

生：当点P沿直线轨道运动时，∠APB的顶点可能在圆内、圆上或圆外，两边都与圆相交；当点P沿圆形轨道运动时，∠APB的顶点始终在圆上，两边都与圆相交．

师：当点P沿圆形轨道运动时，同学们发现 图3中的∠AP1B,∠AP2B,∠AP3B，它们有两个共同特征：它们的顶点都在圆上，它们的两边都与圆相交，这一类特殊的角就是本节课的研究对象——圆周角(板书课题)，你能给圆周角下个定义吗？

图3

生：类比∠AOB，顶点为圆心，称为圆心角，可以这样定义圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角．

师：概括得很好(板书定义)．

请你根据圆周角定义，辨析图4中的角是否为⊙O的圆周角？为什么？

图4

生：∠1不是⊙O的圆周角，因为它的顶点在圆外；∠2是⊙O的圆周角；∠3不是⊙O的圆周角，因为它的顶点在圆内；∠4不是⊙O的圆周角，因为它的一边与⊙O不相交．

2.3 实验探究，探索性质

2.3.1操作与猜想

师：刚才通过实验操作，我们构建了圆周角概念，那么圆周角有怎样的性质呢？我们继续用实验的方式探究．

(1)操作：分别沿学具的直线轨道和圆形轨道移动“动点P”；

(2)思考：在“动点P”移动的过程中，∠APB的大小如何变化？

生：当点P沿直线轨道由圆内向圆外运动时，∠APB由大变小；当点P沿圆形轨道运动时，∠APB的大小不变，并且等于∠AOB的一半．

师：你是如何得到“当点P沿圆形轨道运动时，∠APB的大小不变，并且等于∠AOB的一半”的？

生：我是根据量角器测量的数据得到的，先量得圆心角∠AOB为100°，再在三个不同的位置量得圆周角∠APB均为50°．

师：同学们通过实验的方法得到了一个猜想：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧所对的圆周角相等．

2.3.2验证与说理

师：这个猜想是否总是成立？我们再用技术验证一下．

图5

(2)拖动点C，改变点C的位置，观察∠AOB和∠ACB的度数的变化情况；

(3)拖动点B，改变点B的位置，观察∠AOB和∠ACB的度数的变化情况；

(4)拖动点A，改变⊙O的大小，观察∠AOB和∠ACB的度数的变化情况．

生：经过度量，动态观察，∠ACB的度数始终是∠AOB的一半．

师：我们借助技术更一般地验证了猜想，猜想要成为定理还需要证明，先来尝试证明下面的特殊情形．

(1)如图6，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点(不与A,B重合)，试说明∠ACB=90°；

图6 图7

生：(利用三角形内角和定理解决上述问题，获得经验，具体过程略．)

师：以上我们证明了两种特殊情形：当圆心角为180°时，对应的圆周角为90°；当圆心在圆周角的一边上时，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．圆心和圆周角还有哪些不同的位置关系？

生：(借助平板操作)还可能圆心在圆周角的内部或圆心在圆周角的外部．

师：如图8、图9，这两种情形更具有一般性，如何证明呢？

图8 图9

师：也就是说，在图8中，我们借助于添加直径，把一般情形转化成如图7的两个特殊情形的“和”，用同样的方法，图9这种情形可以转化成如图7的两个特殊情形的“差”，请同学们课后完成证明过程．这样我们就得到了圆周角的性质(板书)：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧所对的圆周角相等．

图10

2.4 变式训练，应用拓展

师：下面我们来看一组问题．

变式1 在图11中，连接AC，交BD于点F，则∠AFD=°．

图11 图12

变式2 如图12，⊙O中，点C在⊙O内，点D在⊙O上，点E在⊙O外(C,D,E在AB同侧)．试比较∠ACB,∠ADB和∠AEB的大小，并说明理由．

教师巡视，学生先独立思考，再小组合作，班级交流，顺利解决例题和变式1，体会圆周角性质的应用价值，初步感受求“圆外角(∠AEB)”“圆内角(∠AFB)”中的转化与化归的思想方法．对于变式2，教师稍加提示后，学生也能继续通过添加适当的辅助线，将问题转化．

生：在图12中，设BE与⊙O交于点F，延长BC交⊙O于点G，连接AG，则根据圆周角的性质可得∠AFB=∠ADB=∠AGB．又因为∠AEB<∠AFB，∠AGB<∠ACB，所以∠AEB<∠ADB<∠ACB，

师：也就是说，在本课开头的问题情境中，甲摄影师拍摄的角度(∠ACB)最大，丙摄影师拍摄的角度(∠AEB)最小．

2.5 课堂小结，布置作业(略)

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

本节课设计了两条主线，一条是基于知识的明线(情境—概念—定理—应用—拓展)，学生以“做”为支架，用实验的方法自主探究，经历知识

发生、发展和应用的全过程，拓展思维广度和深度．

另一条是基于核心素养发展的暗线，素养立意主要体现在：(1)圆周角探究仪中的直线轨道、圆形轨道、橡皮筋等物化工具有利于学生抽象出圆周角概念，发展数学抽象素养；(2)从操作到猜想，从特殊到一般，定理探索的全过程充分运用了合情推理与演绎推理，有利于发展逻辑推理素养；(3)学具的直观、数据的直观和图形的直观，有利于学生获得猜想，突破思路，发展直观想象素养；(4)圆周角定理建立了一个“良构”的数学模型，圆内角、圆外角的探究是模型的自觉应用，发展了数学建模素养．

3.2 教学反思

(1)数学课堂要突出学生的主体地位

《义务教育数学课程标准(2011年版)》强调“动手实践”是学习数学的重要方式，要求“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程”[1]，学生是学习的主体，课堂教学要以学生的“学习”为中心．基于实物学具圆周角探究仪的操作和基于技术工具GeoGebra的探究很好地体现了学生主体观，学生在操作中思考，在探究中辨析，具身参与认知过程，通过手脑协同，达到启思明理，从而构建新知，发展素养．教师的作用在于给学生设计适当的活动，提供适切的工具，进行适度的指导，帮助学生完成自主研究，发挥应有的主导作用．

(2)数学课堂要关注知识的来龙去脉

数学是严谨、系统的学科，每一个相对独立的知识都是数学体系的一个有机组成要素，我们不仅要关注它是什么，也要关注它来自何方，将走向何处．舞台的拍摄角度、足球射门的角度等是圆周角、圆内角和圆外角的生活起源，圆心角是圆周角、圆内角和圆外角的数学之根．借助圆周角探究仪的操作，圆心角生长为圆内角、圆周角和圆外角．基于技术的探究为用分类与整合、转化与化归的思想方法证明圆周角性质获得了突破口，例题的变式训练不仅巩固了新知，更能让学生体会知识的应用价值，变式拓展呼应情境，解决实际问题，蕴含模型思想．情境的创设引发学生用数学的眼光观察现实世界，问题的解决则是学生用数学的语言表达现实世界的最好写照．

(3)数学课堂要落实素养的发展指向

“立德树人”是数学课程的根本任务，主阵地是课堂，落脚点是发展学生学科核心素养．《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出了要在学习数学和应用数学的过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养的课程目标[2].因此，教学设计中不仅要重视知识目标的设置与达成，也要关注素养目标的指向与落实．尽管知识不等于素养，活动不等于素养，但素养的发展必须基于获取知识的活动过程．教师要通过指向素养的教学设计，给予学生足够的活动时间与空间，发展学生学科核心素养.本节课基于实验探究，自主学习，发展了学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等素养．