200030 上海市第四中学 徐卫文
实验是科学得以产生与发展的根本,而探究是当今社会科学发展与教育的有效方式.数学实验教学是再现数学发现过程的有效途径,数学中很多知识都有一定的规律和推广潜力,这些知识在精心设计下大部分可以通过实验探究的方式来学习获得.在数学的学习过程中,无论是概念、定理、法则、公式的学习,还是技能的学习、问题的解决,都需要实验.选择数学实验这种有效途径进行数学探究教学,恰好可以为学生提供动手操作、自主探究的机会.数学实验探究以数学实验问题为载体,为研究与获得某种数学理论、验证某种数学猜想、解决某种数学问题,运用一定的物质手段,引导学生开展知识探究,通过观察分析数学现象,调动知识储备与生活经验,发现与探索数学知识的发生过程,构建新的知识结构,引发学生积极的数学实验探究行为.
数学实验探究问题是基于教学内容提出的,是教学内容的拓展和延伸.问题设计要以培养学生自主探究能力为出发点,帮助学生了解知识的内在联系及基本规律,培养学生逻辑推理能力,提高学生分析问题和解决问题的能力,使学生形成良好的数学学习品质.例如,函数单调性、周期性及最值问题,函数间增长关系比较,求不同函数图像的交点个数问题,不定方程的求解,解析几何中的图形变换及轨迹探求问题,立体几何中的图形变换及展开,概率统计中的随机问题及回归分析等内容,都可以从激发学生探究兴趣、体验数学知识形成过程、强化数学知识应用、提高学生辩证思维能力等角度进行设计.
根据教材特点,找准知识的切入点,充分挖掘和精心设计能够激发学生探究兴趣的数学实验探究问题,为学生创造自主探索、自主交流的机会,激发学生学习数学的兴趣,拓宽学生思维,促进学生实践能力和创新意识的发展,培养学生的探究能力.
案例1:动圆与两个定圆相切时,探求动圆圆心的轨迹问题
由于与两定圆相切的动圆圆心轨迹涉及问题较为复杂,因此,创设实验平台,利用多媒体技术手段可以帮助学生透过现象把握问题的本质,让学生真实感知轨迹的性质,并从观察、猜想、验证中感受数学研究的全过程,通过分情况进行探究,并得出结论.
几何画板(或TI图形计算器等).
动圆P与两定圆F1和F2均相切,难点在于动圆的运动变化和两定圆之间位置关系的相对变化,可分为四种情况进行实验探究.
1.动圆P与定圆F1和F2均内切.
2.动圆P与定圆F1和F2均外切.
3.动圆P与定圆F1外切,与定圆F2内切.
4.动圆P与定圆F1内切,与定圆F2外切.
上述四种情况还要根据定圆F1和F2的位置关系再细分两到三种情况进行探究(如表1所示).
表1
本案例借助几何画板,通过改变两圆的位置关系,学生探索动圆圆心的轨迹可能是椭圆、双曲线、射线等.设计的目的在于突出学生的主体地位,培养学生动手操作、观察、研究、思考的探究能力,有效拓展学生学习的空间以及解决问题的态度、深度、广度和灵活度,激发学生的探究兴趣.
创设数学实验探究问题,让学生体验一些数学概念、公式、定理、公理、结论以及知识的形成过程,引导学生由直观现象归纳、探索数学知识,或通过数学实验教学的可视化验证数学结论,由此充分调动学生的主动性和创造性,激起学生的好奇心和求知欲.
(续表)
(续表)
案例2:棱锥体积的探究
使学生深刻理解三棱锥体积公式的推导过程,掌握三棱锥体积公式并能运用公式进行计算或论证,培养学生动手、动脑、发现问题、分析问题、解决问题的能力,同时渗透转化、类比等数学思想方法.本实验的设计以实物的方式使学生获得感性认识,在感性上得到认可,再从数学的严密性和精确性角度证明该公式.
方案1:利用模型操作(排液法或称重法或割补法)完成体积测量.
方案2:利用课件进行模拟实验.
方案1(实物操作):
1.测一测、量一量
利用等底等高的三棱柱、三棱锥以及细沙探究两个容器的关系.运用实物模型演示三棱锥和三棱柱体积的装沙实验,在三棱锥体杯子里装满细沙,倒入三棱柱体的模具中,反复操作,发现恰好三次倒满.
2.切一切、割一割
取一个三棱柱的几何体(萝卜块)进行切割,用称重法或排液法判断切割后的三个三棱锥的体积关系.
方案2(利用课件进行模拟实验):
借助几何画板演示,将三棱柱分割成三个三棱锥,利用动态作图、动态测量等功能,可以将抽象性的空间结构关系直观生动地显示出来,在动态的过程中培养学生观察、发现问题的能力,给学生提供探索的空间.
先将三棱锥补成一个三棱柱,再将这个三棱柱分割成三个三棱锥,接着证明三个三棱锥体积相等(证明略).(如图1—图3所示)
图3
高中数学中的许多公式和定理的发现都来源于实验,在棱锥的体积实验探究教学中,引导学生通过观察、实验探究、归纳猜想、理论证明这一完整的数学探究过程得到棱锥的体积公式.学生不仅能较容易地了解棱锥的体积公式,同时也加深对数学公式的理解,培养形成“实验操作—直觉猜想—直观验证—推理论证”的科学探究方法.
图1图2
创设数学实验探究问题,将现实问题转化为具体的数学问题,用数学知识与方法构建数学模型,解决现实问题,增强学生的应用意识,提高实践能力.在实际情境中发现问题、提出问题;通过分析问题建立数学模型;借助信息手段分析数据、求解模型、得出结论,并尝试基于现实背景验证模型结果、改进模型、完善模型,提高学生运用数学解决实际问题的探究能力.
案例3:水槽问题设计
现有宽为a的长方形板材,在单位时间水流速度一定的情况下,请将它设计成一开口水槽,使水槽的流量最大.(备注:在单位时间内水流速度一定的情况下,水流量的大小取决于水槽横截面的面积,水槽形状的选择又与实际条件限制和使用者的喜好有关.如果不考虑实际条件限制和使用者喜好,则可以对形状进行多种选择.)
学生设计的水槽横截面图形如图4所示.
图4
学生问题探究过程中的分析如表2所示.
表2
在建模过程中,学生培养了学习习惯、观察视角、思考方法、思维方式、探索精神和创新能力,提高了数学应用能力.通过创设数学实验探究问题,不断加强数学应用意识的培养,学生体会数学与数学应用,促进全面发展.
引导学生从复杂的现象中把握事物的本质及规律,探索事物间的联系与差异,将已有事实变更推广为更有深度的结论等,启迪思维,提高学生的数学思维品质.
从学生已有的数学知识经验和惯性思维角度创设数学实验探究问题,通过一定量的特殊情形的实验观察来总结和归纳,在此基础上进行合情的推理、猜想、证明,发现和掌握数学概念、定理、结论等规律,克服抽象性结论和复杂推理证明中形成的认知障碍.
案例4:互为反函数的图像交点个数问题
探究指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)图像交点个数问题(以同一底数的指、对函数图像为例).
面对函数y=ax与对数函数y=logax(a>0且a≠1)图像交点个数问题,大多数学生的掌握不够清楚,受思维定势的影响,不少学生会随手作出它们的简图.例如,当a>1时,如图5-1,它们没有交点;当0 几何画板或TI图形计算器等. (续表) 2.借助实验工具(几何画板或TI图形计算器)进行观察,举例说明a取不同的值时,函数y=logax与y=ax的图像交点情况. 问题分析(直观判断):借助几何画板可以直观观察和探讨图像的交点个数问题(如表3所示). 表3 3.在问题2探索的基础上,当a取不同的值时,探究函数y=logax与y=ax的图像交点个数. 问题分析(数学验证):借助几何画板,对y=ax与y=logax(a>0且a≠1)图像的交点问题进行实验探究,归纳交点的大致情况,对交点情况进行严谨的验证和推理,验证如下. (1)当a>1时 若函数y=ax与y=logax相交只有一个交点,由互为反函数关系可知它们的图像关于y=x对称,所以要使y=ax与y=logax图像有且只有一个公共点时,则y=x是两个函数的共同的切线,设两个函数相切时的切点坐标为A(x1,y1),由于曲线y=ax在A处的切线斜率为1,所以ax1=x1,且函数y=ax的导数为y′=(ax)′=ax1lna=1. 图6 图7 图8(二)实验工具
(三)实验探究问题设计