培育数学情感 发展核心素养

周宁 陈芳

［摘  要］ 通过“椭圆的离心率”教学指出数学教学不单一是理性教学，还要将情感教学融入其中，以便将理性认知与感性认识有机融合，让情感驱动认知的发展，从而有助于提高学生学习数学的积极性，提升学生的数学素养.

［关键词］ 离心率；数学情感；核心素养

问题的提出

在数学教学中，很多教师重视学生理性思维的培养，在课堂实践中不遗余力培养学生的逻辑推理、数学运算等素养，但是数学中过多的形式化和抽象化让很多学生望而生畏，产生畏难情绪. 从认知心理学的角度来看，学生学习数学需要情感驱动，当学生意识到冷冰冰的数字、公式、概念背后所隐藏的生活、数学或科学价值，体会到蕴含其中的美，那么学习数学就不会再抗拒，即使意识到面前是“珠穆朗玛峰”，也会有“攀登高峰”的勇气. 本文以“椭圆的离心率”教学设计为例，阐述在教学中如何培育数学情感，发挥情感的力量，使之服务于课堂，提升学生的学习品质.

课堂实录

1. 数学情境，感知离心率的背景

师：前面我们学习了单个椭圆的性质，那么不同的椭圆之间有什么区别呢？请大家同桌分为两组，分别画出下面两组椭圆，并思考它们的不同.

师生活动：学生列表描点，结合性质画出椭圆，教师借助多媒体将图形投影在屏幕上.

设计意图：让学生动手画椭圆，亲自感受椭圆形状不一的特征，感知离心率的背景.

2. 数学探究，抽象离心率的特征

问题1：观察画出的椭圆，它们在形状上有什么不同？

生1：有的椭圆形状圆一些，有的扁一些.

问题2：我们发现，椭圆的扁平程度不一，那么是由方程中哪些量的变化引起的？

学生活动：有的学生可能根据第一组椭圆方程及图像片面认为是由b的变化引起的——b越小椭圆越扁，让学生通过思考和辨析，得出结论：这是由a，b的变化引起的.

问题3：用a，b之间怎样的一个式子可以刻画椭圆的扁平程度呢？

追问4：它们的大小与椭圆的扁平程度是怎样的关系？

学生活动：小组讨论，合作交流，得出结论：

设计意图：中学数学教育的首要任务是培养数学直观. “直观，是照亮认识途径的光辉”，这是苏霍姆林斯基的一句名言. 数学中的直观，往往有助于人们理解抽象的概念. 通过画图、辨图、析图，让学生发现问题，进而关注椭圆中“数”与“形”的联系，发现椭圆的扁平程度与两个量a，b同时有关，再进一步思考如何将这两个量形成一个有机整体，最终过渡到离心率. 通过教学活动让学生经历概念的创造过程，培养科学的思维品质.

3. 数学体悟，概括离心率的要义

从定义可以看出，离心率能有效刻画两个焦点离开椭圆中心的程度.因为a>c>0，所以0<e<1.e越接近1，c越接近a，焦点离椭圆中心越远，椭圆越扁；e越接近0，c越接近0，焦点离椭圆中心越近，椭圆越圆.

设计意图：让学生再次体会用离心率刻画椭圆的扁平程度是合乎情理的.

4. 数学内化，辨析离心率的内涵

？摇在天文学中，天文学家发现太阳系的八大行星是按照以太阳为焦点的椭圆轨道运行的，这些轨道偏离太阳的程度不一样，因此，离心率在天文学中被称为“偏心率”. 其中，近日点离太阳最近，偏离距离为a－c；远日点离太阳最远，偏离距离为a+c. 当然，不能用最近距离和最远距离表示偏心率，因为这两个值不仅和运行轨道的圆扁程度有关，还受轨道大小的影响.

师生活动：对椭圆离心率的特征进行归纳.

（3）连贯性：与椭圆定义相对应；是后面研究圆锥曲线统一定义的背景.

设计意图：通过三角函数再次直观认识了离心率，使学生对离心率刻画椭圆的扁平程度的理解更形象直观，并结合数学史让学生感受数学的文化价值和应用价值，培养学习数学、应用数学的情感.

5. 数学应用，深化定理理解

例1 比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？

设计意图：由性质求方程，让学生进一步体会圆锥曲线与离心率之间的关系——“形”与“数”的关系． 进一步感受离心率对椭圆图形的影响，凸显解析几何的思想方法——用方程来研究曲线的几何性质，以形推数，以数释形，数形结合.

教学启示

1. 在问题情境中激发数学情感

数学的教学关键是数学本质的教学，在教学中应围绕数学本质创设情境和问题，引导学生用数学的眼光观察、发现问题，并用数学的语言表达问题，用数学的思想方法解决问题. 问题情境可以源于生活，也可以由数学的发展而产生，但必须符合学生的认知规律，切合学生能力的发展. 正如本节课，为了让学生理解离心率的本质内涵，从前面学习的椭圆的性质入手，在作图中发现椭圆的形状似乎具有扁平的区别，激发学生的好奇情感，在学生的最近发展区设计层次递进的“问题串”步步提升其对离心率的认识，并且结合离心率的数学史促进学生对离心率的重新认识和深入理解，也让学生体验数学家的经历，感受数学家的成就，激发学生热爱数学的情怀，养成钻研精神和科学态度.

2. 在基本活动中积累数学语感

语言学习有一种重要的任务：培养语感. 数学作为一种语言，主要有三种呈现方式——文字语言、符号语言、图形语言. 解决数学问题也需要学生具有“数学语感”. “数学语感”不同于“数感”，“数感”指的是对数字及其运算以及内部关系的感觉，而“数学语感”则是学数学、用数学的感觉，即要有数学直观，能在具体情境中感悟数学的本质. 这种感觉无法用具体的评价标准来衡量，更无法通过机械的训练而获得，但数学活动经验则可以发展学生对数学的这种敏感. 例如，本节课通过作图活动让学生在动手操作中感悟不同图形的个性之中隐藏着共性，在感受图形“美”的过程中酝酿对数学问题的认知，积累对数学的感觉，并在活动、交流中培養数学的语言表达能力，营造良好的课堂氛围.

3. 在数学理性中增强数学感性

数学学习是“透过现象看本质”的过程，是强调严谨性和逻辑性且充满理性的. 学生在作图中对椭圆的扁平程度建立了直观感知，通过操作确认、思辨论证，建立不同的量与椭圆扁平程度的对应关系，建立离心率的模型，实现“定性”到“定量”的转化. 这个过程中学生的理性思维得到了发展，数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养得到了提升. 同时，也让学生体会到了数学的“美”：扁平程度居然可以从不同的角度、通过不同的量来刻画. “横看成岭侧成峰”，让学生在数学学习中能够基于数学的“美”产生情感，增强学习数学的动力；在理性认知的基础上增强感性认识，从情感驱动入手提升学生的数学建模、逻辑推理等核心素养，从而实现理性与感性的有机融合与相互促进.

基金项目：福建师范大学基础教育课程研究中心2021年度开放课题“指向核心素养的高中数学解析几何主题单元教学的研究与实践”（KCZ2021043）.

作者简介：周宁（1985—），中学一级教师，从事中学数学教育教学研究工作，曾获福州市教师技能大赛高中数学组一等奖.