一类具有隔离措施的COVID-19传染病模型的动力学分析

王晓静,梁 宇,郭松柏,闫慧林,陈靖宜,李 颖

(1.北京建筑大学 理学院,北京 102616;2.北京建筑大学 环境与能源工程学院,北京 102616)

新型冠状病毒肺炎(简称COVID-19)自2019年12月在全世界范围内开始蔓延，对全球公共卫生造成巨大影响.根据世界卫生组织官网统计的数据，截至2021年10月12日，全球累计COVID-19确诊病例237 383 711例，累计死亡病例484 271 6例.其中，印度累计新冠肺炎确诊病例339 716 07例，累计死亡病例450 782例，是全球COVID-19累计确诊病例第二多的国家[1].COVID-19是由新型冠状病毒(SARS-CoV-2)引起的急性呼吸道传染病,主要症状为发热、干咳、乏力等，少数患者伴有鼻塞、流涕、腹泻等上呼吸道和消化道症状[2].为控制疫情的传播，众多学者根据COVID-19的传播机理构建了一系列的数学模型对疫情进行预测和风险评估.Yuan等[3]考虑了无症状感染者和隔离有症状感染者对COVID-19传播的影响，研究表明，当隔离率在[0.351 9，0.541 1]范围内时，无症状感染者会影响疾病的传播.此外，隔离有症状的感染者能够有效控制疾病.崔景安等[4]提出与确诊病例实时数据相关的接触数，对新发传染病传播动力学模型进行了优化，并预估广州、武汉的疫情传播趋势.Aronna等[5]通过数值模拟得到隔离易感人群会显著降低传染的可能性，因此建议易感人群在传染病流行期间保持较低的接触率.Sarkar等[6]构建一类传染病模型，估计模型的关键参数，并预测印度17个省的疫情发展情况.Ali等[7]考虑无症状感染者以及检疫和隔离不同人群对疫情防控的影响，提出在疫情暴发初期，需要实施严格的隔离检疫措施来控制疾病的传播.Nadim等[8]构建一类COVID-19数学模型，预测出英国COVID-19短期下降趋势，得到在医疗资源有限的情况下，有效隔离可能的感染者比隔离已经染病的个体对疫情的防控会更加有效.Senapati等[9]利用校准的传染病模型预测了 2020 年 11 月 13 日至 2021 年 2 月 25 日期间印度的每日新增病例，提出防控措施的实施强度应随着时间的增加而加强，才会使疾病快速得到控制.

论文基于已有的研究成果[10-13]，进一步探讨隔离易感者和潜伏期感染者对COVID-19传播的影响并将此模型应用到印度的COVID-19疫情的预测中，以期达到更有效的防控.

1 模型的建立

将总人口N分为8个不同的仓室：易感者(S)、潜伏期感染者(E)、显性感染者(I)、隐性感染者(A)、隔离的易感者(Sq)、隔离的潜伏期感染者(Eq)、入院治疗者(H)、康复者(R).COVID-19的传播流程如图1所示.

图1 COVID-19的传播流程图

根据COVID-19的传播流程图建立了如下仓室模型

(1)

其中

模型(1)中的变量参数及生物学意义见表1.

表1 模型(1)的参数意义及取值

记总人口N=S+Sq+E+Eq+A+I+H+R，由系统(1)得

由常微分方程的基本定理[14]，可得到模型(1)的可行域为

2 模型的稳定性分析

令模型(1)的右端全等于零，即

(2)

控制再生数Rc是反映疾病传播能力的指标之一，体现为在一定的防控措施下一个感染者在其感染期内产生的继发染病者的平均数量.当Rc>1时，疫情一般不会消失;当Rc<1时，可以认为疫情得到有效控制[15].由下一代矩阵计算方法得

进而可得

FV-1=

计算得控制再生数为

Rc=ρ(FV-1)=

证明当I≠0时，结合(2)的第5，6个方程得

通过(2)中第6个方程可得

再将A*,E*代入(2)的第3个方程得

进而再由(2)的第2个方程得

由(2)的第3，4个方程可得

由(2)的第7个方程得

由(2)的第8个方程得

其中

m=α+μ+γ2+ω2,

因此，当Rc>1时，I*>0，模型(1)存在唯一正平衡点P*；当Rc≤1时, 模型无正平衡点.

由于模型(1)的最后一个方程和前7个方程是相互独立的，因此考虑如下的子系统

(3)

引入如下引理，进而证明子系统(3)的无病平衡点的全局稳定性.

引理1[16]如果一个模型可以表示为如下形式

(4)

其中：X∈m表示未感染类，V∈n表示感染类，包括潜伏期感染者.P1=(X*,0)为系统(3)的无病平衡点，满足如下两个条件:

则当Rc<1时，无病平衡点P1=(X*,0)是全局渐近稳定的.

定理2当Rc<1时，系统(3)的无病平衡点P1是全局渐近稳定的.

证明对于系统(3)，有

其中

X=(S,Sq)∈2.

在平衡点P1=(X*,0)处，模型简化为

(5)

特征方程为

λ2+(ξ+2μ+ε)λ+μ(ξ+μ+ε)=0.

由λ1λ2>0,λ1+λ2<0，知方程有两个负的特征根，因此X*是局部渐近稳定的.

由系统(5)可知

S′+S′q=Λ-μ(S+Sq)，

由文献[17]中的引理5.1可知，存在一个序列{tn}，使得

S(tn)→S∞,S′(tn)→0,tn→∞(n→∞),

再由系统(5)的第一个方程，有

S′(tn)=Λ+ξSq(tn)-(μ+ε)S(tn)=

因此，有

类似地，存在一个序列{τn}，使得

S(τn)→S∞,S′(τn)→0,τn→∞(n→∞).

由系统(5)的第一个方程有

故

同理，由系统(5)的第二个方程可得

证得X*全局吸引，所以X*是全局渐近稳定的.

另外，有

其中

V=(E,Eq,A,I,H)∈5，

3 数值模拟

已有文献的研究结果证实了隔离显性感染者可以很好地控制COVID-19疫情.该节主要考虑对易感者和潜伏期感染者进行隔离的有效性，将结合COVID-19在印度传播的实际数据进行数值模拟.

图2结合印度2021年4月17日到2021年9月24号COVID-19疫情的实际数据，预测了累计病例数.数值模拟的结果表明从2021年6月下旬开始，累计感染者趋于平缓，说明疫情得到了较好的控制，新增感染者越来越少.模拟效果较好.

图2 累计病例趋势图

图3的(a)，(b)分别刻画了易感者的隔离率ε与潜伏期感染者的隔离率k对COVID-19感染规模的影响.(a)的结果表明感染规模随着隔离率ε的增大而不断减小.(b)表明随着潜伏期感染者的隔离率k的增大，感染规模将逐渐变小，并且推迟了疫情到达峰值的时刻，为疫情防控争取了时间.

图3 当Rc<1时，易感者的隔离率ε和潜伏期感染者的隔离率k对感染规模的影响

4 结束语

论文考虑了对易感者和潜伏期感染者进行隔离的防控措施的影响，构建了一类SSqEEqAIHR传染病动力学模型.论文证明了：当控制再生数Rc<1时，模型(1)的无病平衡点是全局渐近稳定的；当控制再生数Rc>1时，模型(1)存在唯一的正平衡点.

结合印度疫情的实际数据，模型较好地拟合了印度疫情的发展情况并预测其发展趋势.数值模拟结果表明，随着易感者的隔离率ε和潜伏期感染者的隔离率k的增大，感染者的规模会减小.此外，当增大潜伏期感染者的隔离率时，会推迟疫情峰值到达时刻，为疫情防控争取时间.因此，通过媒体播报提高人们对疫情的自我防范意识，加强对易感者的隔离，同时增大核酸检测力度，提高对潜伏期感染者的隔离率有利于COVID-19的防控.