Lp()上关于热核的广义面积积分算子研究

李志强,马柏林

(1.浙江师范大学 数学与计算机科学学院，浙江金华 321004；2.嘉兴学院 数据科学学院，浙江嘉兴 314001)

0 引言

其中Da为分数阶导数，f(ζ)为解析函数.一个经典的结果是，对a>0，面积积分算子在Hp()(0

这个算子成为欧氏空间上研究乘子和函数空间的基本工具.

当a=0时，结论不成立.为解决这种问题,文献[3]引入广义面积积分算子

S(I)={z∈:|z|>1-|I|,z/|z|∈I}满足

2008年,文献[5]得出结论: 0

受到上述工作的启发，我们考虑关于热函数的广义面积积分算子

下面，我们研究这个算子的(p,q)型有界性与测度μ的满足条件.

我们引入一些符号.C是正常数，若不特意说明，则取值不一定相同.定义非负函数F,G等价(F≈G):CF≤G≤CF.对于n中的方体Q在中的Carleson型方阵定义为

其中l(Q)为方体Q的边长.n中的球B=B(x0,r)对应中的Carleson型方阵定义为

μ(T(Q))≤C|Q|s.

本文得到的主要结果如下：

主要结论的证明将于后面给出.

1 预备定理

I(x,t)={y∈n:(x,t)∈Γ(y)}.

(1)

为了证明本文的主要结果还需要下面的重要引理.

引理1:当g≥0,g∈Lp(n),1≤p≤∞，有

(2)

(3)

则式(2)可替换为

只需要证明

由式(1)可知

证毕.

下面引入关于函数f与热核卷积的非切向极大函数，定义为

证明:对于任意的s>0，令Ω={x∈n:F*(x)>s}.

显然，Ω是一个开集.

记Qk是集合Ω的Whitney分解的小方体，l(Qk)为方体Qk边长，k=1,2,3，….对于每一个x∈Ω，令r(x)=dist(x,Ωc).则对于z∈Qk,有

B(z,r(z))⊆12Bk.

故有

(4)

(x,t)∈T(B(x,r(x))).

因此,有

(5)

结合式(4)和式(5)，可得

证毕.

(6)

证明:我们断言式(6)等价于

(7)

其中G(x,t)=|F(x,t)|q,G*是G(x,t)的非切向极大函数.由式(6),有

显然，式(6)与式(7)等价.

应用Minkowski不等式，得

整理后,式(7)得证.

2 主要结果的证明

2.1 定理1的证明

因为

我们得到N(f)被f的Hardy极大函数控制，结合Hardy极大函数是强(p,p)型，有

C‖M(f)‖Lp≤C‖f‖Lp.

f(x)=χ2B(x).

则

对于(x,t)∈T(B)，由于

则有

因此，可有

2.2 定理 2的证明

先考虑必要性.设Sμ是强(p,q)型有界的，即

(8)

因此,有

运用Jensen不等式，可得

我们有

由于(x,t)∈T(B)，易知I(x,t)⊂2B.通过式(1),有

整理可得

利用对偶性，只需证明对g∈Lq′()，有

(9)

改变积分顺序,有

通过式(1)可知

C‖T*g(y)·N(f)(y)‖Lr.

‖T*g‖Lq′‖N(f)‖Lp

显然，N(f)可以被它的Hardy极大函数所控制，再利用Hardy极大函数的强(p,p)型有界性，得

‖N(f)‖LP≤C‖M(f)‖LP≤C‖f‖Lp.

再利用引理1 ，有

则

整理得出式(9)成立，于是得到Sμ的强(p,q)型有界性，定理2得证.