从“两位数相乘”回到“乘法的意义”*——例谈小学数学起点型核心知识教学的重要性

赵晓燕

苏教版三下第一单元是“两位数乘两位数”，该内容是学生继乘法意义、表内乘法、多位数乘一位数学习后再一次认识乘法，也是学生进一步解决任意两数相乘问题，通往代数领域多项式相乘的关键枢纽。在实际教学中，引导学生掌握标准化算法及其算理是主要教学目标之一。教师通常都非常重视学生对算理的理解，但仍有不少学生会列竖式计算、能得到正确结果，却说不清楚为何这样做。为了帮助教师从不同角度透视学生对算理的掌握情况，形成改进教学的建议，笔者曾设计如下两道课堂评价题目。

【测试题一：分解乘法问题】

该题根据教材第5页例4的进位乘法“24×53”改编。请学生填空，将“24×53”分解为顺序不同的“四个乘法算式之和”。第一组四个乘法算式“3×4和3×20和____×4和____×20”按照“53为第二个乘数”的竖式计算顺序排列；第二组“4×____和4×____和____×3和20×50”是调换乘数位置进行竖式验算的顺序；第三组“20×50和20×____和4×50和____×3”则“从左向右”考虑，先算两个乘数“十位上的数”的乘积。在实际教学中，教师先讲解例4，进而规范算法。完成“想想做做”的练习后，才使用“分解乘法问题”检测学生。

从“评”的角度出发，该题测试时学生已经积累了一定的竖式计算、验算两位数相乘的经验，对“24×53”解决过程的记忆尤为清晰深刻。所以题目明确“无需计算结果”，进而将考察重点聚焦于学生对这个乘法问题的理解。面对适当陌生的测试题，学生仅靠机械记忆就能正确作答的可能性降低，题目因而更有利于揭示学生理解层面的信息。此外，测试安排在单元中段，如若学生对算理的理解存在不足，也便于教师针对性地调整教学。

从“学”的角度出发，“分解乘法问题”能够促进学生思考，帮助他们从另一个层面理解并回答“为什么计算‘53×24’能够验证‘24×53’？”“为什么两位数的乘积可能是四位数？”“为什么两位数‘乘积’的个位数就等于两乘数的个位数相乘之积的个位数？”“为什么四个乘法算式可以交换顺序”等一系列问题。此外，它还将为学生后续学习代数运算“（a+b）×（c+d）”奠定基础。

【测试题二：不用竖式解决乘法问题】

这道题请学生解决“59×62”这个问题，但明确要求“不能使用竖式计算的方法”。两个乘数分别接近整十数，为学生借助较为简单的两位数乘整十数“60×62”或“59×60”、联系乘法意义灵活计算提供机会。在实际教学中，该测试题在单元总复习阶段使用。

从“评”的角度出发，该题测试时学生已在较长时间内集中练习竖式计算，多数学生能较为熟练地列竖式得结果。但很可能发生的情况是，学生一看到乘法问题就列竖式，下笔前完全不考虑题目的特点以及算法的选择。事实上，如果学生在不允许使用竖式计算的情况下束手无策，即使他能熟练无误地列竖式得结果，对两位数相乘问题及标准化算法的认识也不深刻。

从“学”的角度出发，在以竖式计算为主的单元“反其道行之”，引导并鼓励学生跳出以标准化算法解题的主导思维，将视线重新聚焦于“乘法的意义”。这样做有助于提醒学生挖掘运算信息，提高解题的灵活性，同时能促使学生从更大的范围回头审视标准化算法，深刻体会其作为通法通则的普遍意义，以及它将复杂问题转化为一系列简单子问题的核心思想。

【学生测试表现与教师反馈】

来自九所学校的二十余位教师试用了这些测试题。针对测试题“分解乘法问题”，教师的典型反馈大致可分为三类，举例如下。

教师A：班上大多数学生能够完成，部分学生在第三组出错。这道题实质上就是在考察两位数相乘的意义，或者说是计算过程中每个步骤的算理。

教师B：对学生来说，分解“24×53”比计算更难，通过这道题能清楚地看出不同学生理解上的差异。平时教学我只引导他们分解为“24×50”“24×3”两部分的和，学生没有见过类似的题目，只有几个学生能进一步细化分解。我个人很受启发，对学生来说也很有思考价值。

教师C：这道题没几个人做对。题目把“24×53”分解成四道算式，且顺序各异。这与我平时教的顺序不同，会干扰正常教学，影响学生记忆，导致混乱。还涉及四年级才学的乘法分配律，现在让学生回答超范围了。

针对测试题“不用竖式解决乘法问题”，教师的回答也大致分为三类。

教师D：学生能够用乘法的意义（指将“59×62”看作“几个几加上或减去几个几”）、铺地锦、分解乘法（指将“59×62”分解为四个乘法算式之和）等方法中的至少一种解题，有些综合能力强的学生能给出两种解法。数学学习应当是开放灵活的，不是给学生规定一种方法或一个标准。

教师E：学生遇到此类问题会习惯性地列竖式。看到这个题目，学生根本就不知道从何处下手。个别学生尝试将问题分解，还有少部分学生认为不用竖式计算就是要估算。这反映出学生的思维定势以及一些错误认识，需要引导学生积极思考。

教师F：本单元就是要让学生学会列竖式计算，他们能掌握就很好。不需要用高年级的乘法分配律解题。

针对“分解乘法问题”这道测试题，学生表现较好的班级（类似教师A的描述）只有少数几个。绝大部分班级的学生在理解题意或分解算式时遇到困难。典型错误包括能正确列出竖式完成计算但不会分解，或者分解算式时未能全部体现十位上数字隐含的位值信息。类似地，当学生“不用竖式解决乘法问题”时，能够重新回到乘法意义上，或者给出其他“非竖式形态”解法的学生并不多。很多学生更是直接呈现出与竖式计算算理紧密相关的误解或迷思。在此情况下，期待学生能够自然合理地根据问题特征选择算法，就成了更遥远的目标。除了学生的测试表现以外，不同教师对上述两题迥异的态度也值得关注。这不仅隐含了教师对乘法运算本质的理解，也折射出其教学理念和教学过程。例如，乘法交换律和乘法对加法的分配律与乘法运算本质上是等价的，它们就是乘法运算的算理，而并不是依附于乘法运算的某种性质。相应地，运算律的渗透无需也不应该等待至四年级再开始。

【评价和教学反思】

荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔在其《数学结构的教学现象学》一书中提到，“在很多学习过程，尤其是数学学习中，有一种典型现象：那些深刻洞察的原始出处被阻断，而算法化和自动化的过程更是让人们难以回到本源……依我看，在算法化和自动化的学习过程中，甚至是当其成功建立之后，都必须一次又一次地回根溯源。”那么，就“两位数乘两位数”的学习而言，本源在何处？华罗庚曾说过：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”那么，“两位数乘两位数”的学习“退”到“两位数乘一位数”就“足够”了吗？“最原始而不失重要性的地方”又在哪里？事实上，标准化算法及其算理的教学必须反复回溯到对运算概念本身的理解。具体地，“两位数相乘”的教学必须多次回归到乘法计算教学序列的起点型核心知识——“乘法的意义”。

作为整个知识结构的生长点，起点型核心知识具有独特的教育教学价值。重视起点型核心知识的教学可以具体着眼于两个方面：一是长程设计、慎重初教，在首次教学起点型核心知识时帮助学生建立起那些能够不断迁移到后续学习中的数学模型或思想；二是瞻前顾后、多次回归，在后续相关教学中不断回溯本源，帮助学生深刻理解起点型核心知识，建构立足起点的知识体系。以小学阶段正整数乘法的计算教学为例，教学“乘法的初步认识”时，应尽早且频繁呈现更能体现乘法本质、更易说明乘法运算律的行列模型（甚至是面积模型），还须加强学生对“几个几加（减）几个几等于几个几”的理解和掌握。在后续“表内乘法”“两、三位数乘一位数”“两位数乘两位数”的教学过程中，引导学生利用持续演化的行列模型解释说明，借助自然数的位值计数强化学生对“几个几就是几个几加（减）几个几”的认识，多次频繁地回归到对“乘法的意义”的理解。

综上，本文从两道三年级“两位数相乘”的课堂评价题目谈起，详细介绍其设计意图、学生的测试表现和不同教师对测试题的看法，一方面，为教师检视学生对两位数相乘算理的理解提供评价工具；另一方面，为教师反思正整数乘法教学的长程设计提供契机；更重要的，是揭示起点型核心知识教育教学的重要意义，希望有更多教师重视“起点”、回到“起点”。