聚焦“数学教育哲学”——哲学视角下的数学教育（四）

郑毓信

本系列的前几篇文章已从不同角度指明了哲学思维对于数学教育的特殊重要性，作为本系列的结束篇，本文将聚焦“数学教育哲学的建设与学习”这样一个论题。笔者在此首先强调这样一个基本立场：数学教育各个具体问题的哲学审视不应被等同于数学教育哲学的系统理论。另外，相对于纯粹的理论建设而言，我们应更加重视理论研究与教学实践的相互促进，特别是，不仅应很好地发挥理论对于实际教学工作的促进作用，而且应通过对现实问题的研究促进理论的发展，包括对理论的正确性做出必要的检验。上述立场事实上可被看成笔者这些年在这方面诸多工作的简要概括。

1995年出版的《数学教育哲学》一书主要反映了笔者建构数学教育哲学系统理论的努力，相关研究可被看成是围绕这样三个问题展开的：什么是数学？为什么要进行数学教育？应如何进行数学教学？也可以说，提供了关于数学观、数学教育观与数学教学观的系统分析和论述。与此相比较，笔者2008年出版的《数学教育哲学的理论与实践》一书可以说更加突出了数学教育哲学研究的实践性质，并以我国新一轮数学课程改革作为研究的直接背景。笔者2015年出版《新数学教育哲学》一书的主要目标，是希望能以过去这些年的教学实践为背景，在理论建设上取得新的突破。具体地说，尽管《新数学教育哲学》一书仍然聚焦上述三个问题，但并非《数学教育哲学》一书的简单重复，或只是作了少量的增补和调整，而是反映了笔者在这方面更加深入的思考，特别是，究竟什么是数学教育哲学的主要功能？我们应如何从事数学教育哲学的研究？事实上，如果说《数学教育哲学》一书的主要特征是较强的规范性，那么，《新数学教育哲学》一书则采取了更加开放的立场，特别是，相对于各种简单化的断言，书中更加强调了问题的复杂性与观念的多样化，并希望以此促进读者独立思考，而不是直接提供解答；另外，相对于纯粹的理论建构而言，笔者希望能够更好地体现理论研究的实践价值。总之，如果说为数学教育提供坚实的理论基础仍是笔者在这一方面的最终理想，那么，这里所说的“基础”就不是指某种具体的理论或观念，而是更加希望能有助于广大数学教育工作者学会独立思考，包括不断提高自己的理论素养，逐步养成反思的习惯与批判的精神，从而能将自己的工作做得更好，特别是表现出更大的自觉性。

那么，既然已经有了上述三本著作，笔者为什么还要撰写这篇文章呢？这可被看成“再认识”的产物。笔者之所以做出这样的努力，不只是因为数学教育本身的发展为我们更深入地开展研究提供了新的背景与重要动力，它也对我们很好地发挥数学教育哲学对实际教育工作的促进作用提出了更高的要求。下面，笔者就对我们应当如何建设与学习数学教育哲学做出具体论述，相关分析将仍然围绕数学观、数学教育观与数学教学观这三个关键词来展开。

一、数学观

什么是数学？或者说，我们应当如何认识数学的本质？这也是中国旅美学者马立平博士几年前来南京时向笔者提的一个问题。笔者当时首先强调了这样一点：所说的问题不存在任何一种绝对的解答。这事实上也可被看成数学哲学领域（在严格意义上，数学观的问题显然应当归属于数学哲学的研究范围）中的一项共识。

为了弄清“数学是什么”，有两位教师阅读了不少文章和专著。但由于相关的论点与说法并不一致，他们最终发出了这样的感慨——“不想再摘了，摘多了，可能会应了法国数学家韦伊的话：‘数学的特别之处，就是它不能为非数学家所理解。’”［1］由此，我们或许可以更好地领会上述事实，包括现实中可能因此而导致的困惑。

当然，上面的论述并不是指我们根本不应去思考“数学是什么”这样一个问题。这就是笔者针对马立平博士的提问在当时给出的另外一半解答：“与刻意地去追求某种单一的、绝对化的观点相对照，这是我们面对这方面的不同论点真正应当思考的问题——相关思想或主张对于我们改进教学究竟有什么新的启示？”

这事实上也是上述两位教师在初步研究陷入困境后采取的具体对策：“我们要思考！我们不是数学家，我们是数学教育工作者，我们是小学数学教育工作者，那么，小学数学是什么？小学数学教育是什么？……我们应该明白了，我们不是从数学家的角度为数学定义，而是为小学数学，为小学数学教育，为了小学生享受数学教育。”［1］

更一般地说，各种关于数学的论述事实上都可被看成从不同侧面指明了数学的特征。正因如此，如果在现时仍有人认为自己最终发现了数学的本质，如认定“度量是数学的本质”，并认为应当以此作为数学课程改革的重要指导思想，就只能说实在有点孤陋寡闻了。这事实上正是笔者在《新数学教育哲学》第一部分（什么是数学）中特别强调三种观念（数学活动论、数学模式论、数学文化论）的主要原因。

下面，笔者就从上述角度对相关内容做出概述，包括什么可被看成已有工作的不足或进一步努力的方向。

第一，数学活动论。

强调数学活动论，可以看成是对数学哲学现代发展的积极回应。具体地说，数学哲学研究在20世纪上半叶应当说主要集中于所谓的“基础研究”，尽管数学哲学中的不同学派对什么是数学的最终基础有不同的看法，但这些学派所持有的都可以说是一种静止的、绝对主义的数学观。与此相对照，数学哲学在20世纪60年代可以说经历了一次重要的革命，其重要特征之一就是由静止的、绝对主义的数学观转向了动态的、拟经验的数学观。美国数学教育家伦伯格指出：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的集合。这一观念现在遭到了越来越多数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其他知识一样都是人类创造性的产物……这种动态的数学观具有重要的教育涵义。”这就是我们应当特别重视数学活动论的主要原因。

具体地说，数学活动论给予我们的一个重要启示，就是应对数学（活动）做广义理解，而不应将此等同于数学活动的最终产物（各种概念、结论与理论）。首先，由于数学活动往往将某个或某些有待解决的问题作为出发点，因而我们应将问题看成数学（活动）的一个重要组成部分。其次，为了解决问题，需要使用一定的理论工具和研究方法，这就直接涉及数学（活动）的另外两个要素——语言和方法。再者，由于现代社会中每个数学工作者都处于一定的数学传统之中，后者集中地体现于其所具有的观念和信念，因而我们应将此看成数学（活动）的又一重要组成部分，认真做好传统的继承与发展。

综上可见，数学活动论对于我们改进教学有着重要的意义。但从现今的角度看，相关工作也有一定的局限性，特别是容易导致一些简单化的理解，如对数学活动的片面强调，乃至将数学学习简单地归结为“学数学，做数学”，包括对数学活动的简单化理解等。

正因如此，我们在现时就应特别重视这样几点：

（1）数学活动主要是指思维活动，而非具体的操作性活动。值得指出的是，这事实上可被看成以下论述的核心所在：相对于可见的活动，我们应当更加重视活动的内化（皮亚杰语）。依据以色列数学教育家斯法德关于“凝聚”的以下分析，相信读者可以更好地理解内化的涵义，包括为什么说内化对数学发展特别重要：所谓凝聚，是指由过程向对象的转变，其中包括三个相继的过程——内化、压缩、客体化。

（2）以上论述并非指教学中我们完全不应要求学生从事其他各种活动，包括动手实践、问题解决、数学应用等，而是应当更加重视以做促思，应当通过数学活动促进学生思考，并使他们能逐步学会想得更清晰、更全面、更合理、更深入，或者说，应努力提升他们的思维品质。例如，依据这一分析，我们就可立即引出判断一堂数学课成功与否的标准：不管这是一堂什么样的数学课，涉及什么样的具体内容，也不管教师采取了什么样的教学方法或教学形式，如果相关教学未能促进学生积极深入地进行思考，就不能被看成一堂真正的好课。当然，真正做好以做促思应被看成这方面工作的重点，这可被看成教学中我们应当适当地放慢节奏的主要原因。再者，相对于简单的经验积累而言，我们又应更加重视总结、反思和再认识的工作。

第二，数学模式论。

依据诸多数学家的相关论述，我们即可更好地理解数学模式论的重要性，包括它的主要涵义：“数学是模式的科学。数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式。数学理论阐明了模式间的关系；函数和映射、算子把一类模式与另一类模式联系起来从而产生稳定的数学结构。”［2］“数学家是‘通过构造’而工作的，他们‘构造’越来越复杂的对象。”［3］18

具体地说，这主要涉及抽象这一特别重要的数学思维形式，特别是它的建构性质：尽管数学对象并非物质世界中的真实存在，而只是人类思维活动的产物，数学结论仍然具有超越各个个人的确定性，从而就可被看成一种客观的存在；再者，数学家们所从事的活动主要是以已经得到建构的对象为基础实现更高层次的抽象，这也就是所谓的“自反抽象”。

就当前而言，数学模式论应当说还有助于我们更好地认识数学学习的意义。这也就如法国数学家、科学家彭加勒所指出的：“数学……是一种活动，在这种活动中，人类精神似乎从外部世界所取走的东西最少，在这种活动中，人类精神起着作用，或者似乎只是自行起着作用和按照自己的意志起作用。”［3］374“因为数学科学是人类精神从外部借取的东西最少的创造物之一，所以它就更加有用了……它充分向我们表明，当人类精神越来越摆脱外部世界的羁绊时，它能够创造出什么东西，因此它们就愈加充分地让我们在本质上了解人类精神。”［3］367进而，数学模式论可被看成对一些观念的直接反对，如所谓的“数学经验主义”，它认为可以将数学简单等同于其他自然科学，我们可以通过单纯强调数学的应用乃至数学的生活化有效地解决数学教育中存在的各种问题，特别是学生不喜欢数学这一长期存在的问题。

由于上述各种观念在现时仍然具有广泛的影响，从而应当引起我们的特别重视。在笔者看来，这也正是以下论述的主要意义所在——“所有这些‘改革’最悲哀的地方，是企图‘要让数学变有趣’和‘与孩子们的生活产生关联’，你不需要让数学变得有趣——它本来就远超过你了解的有趣！它的骄傲就在于与我们的生活完全无关。这就是为什么它是如此有趣……我们不需要把问题绕来绕去的，让数学与生活产生关联。它和其他形式的艺术用同样的方式来与生活产生关联一样：成为有意义的人类经验。”［4］还应强调的是，这一论述的重点并不在于完全否定数学的实用价值，而是我们应将何者看成数学教学的重点：“无论如何，重点不在于数学是否具有任何实用价值……我要说的是，我们不需要以这个为基础来证实它的正当性。我们谈的是一个完全天真及愉悦的人类心智活动——与自己心智的对话。数学不需要乏味的勤奋或技术上的借口，它超越所有的世俗考量。数学的价值在于它好玩、有趣，并带给我们很大的欢乐。”［4］

第三，数学文化论。

数学文化论（数学的文化研究）涉及不少内容。首先，数学在什么意义上可以被看成一种文化，什么是数学文化的主要涵义？其次，从文化的研究看，与其他文化形式一样，数学文化是否也有一定的多元性？数学发展是否具有一定的相对独立性？我们应如何认识数学文化与整体性社会文化（包括其他各种子文化）之间的关系？等等。再者，从教育的角度看，我们应当如何认识数学的文化价值，包括在教学中如何才能很好地落实？

当然，作为哲学的分析，我们不应过多涉及后一问题，但这仍然可被看成相关研究的主要意义所在，即有利于提升人们在这一方面的自觉性，由不自觉状态转变为更加自觉的行为。应当强调的是，这事实上正是文化传承的一个重要特征，即其主要是一个潜移默化的过程，从而容易表现出较大的盲目性，特别是需要认真总结与反思。另外，无论从横向比较还是从纵向发展的角度来看，这都应被看成中国社会需要特别加强的一个方面。

总之，相对于纯理论的分析，我们应当更加注重密切联系数学教育的现实情况深入地去开展研究，特别是，应将“数学的文化价值”的分析与我们关于数学教育目标的思考很好地联系起来，从而对促进实际教育工作发挥更大的作用。

二、数学教育观

笔者在《数学教育哲学》一书中提出了这样一个主张：数学教育哲学中关于数学教育观的研究主要不是为数学教育制定出某个具体的目标，而应从更高层面对我们如何从事这一方面的研究提出必要的准则。当然，这并非是指我们对这一方面的现实情况特别是现实中所提出的关于数学教育目标的各个主张都可以置之不理；恰恰相反，我们应当通过哲学审视引出普遍性的结论，从而就可以对现实工作发挥更加积极的作用。还应强调的是，这事实上直接关系到哲学的本质或主要特征：相对于各个具体的概念或理论体系而言，哲学更应被看成一种思维方式，其主要作用是有益于人们思维的改进，特别是批判、反思意识的增强，从而就可以在工作中表现出更大的自觉性。

显然，从上述角度我们也可更好地理解什么可被看成数学教育的基本矛盾，包括以下具体建议：我们应当很好地认识和处理数学教育的“教育方面”与“数学方面”之间的辩证关系，这两者的适度平衡可被看成是我们真正做好数学教育的关键，包括把握数学教育的基本目标。就这方面的具体工作（特别是数学教育改革）而言，我们又应特别重视防止与纠正这种倾向：因为片面强调数学教育的“数学方面”或“教育方面”而导致片面性认识或错误性做法，甚至由此造成改革运动的失败。正如人们所熟知的，20世纪60年代在世界范围内盛行的“新数学运动”就是由于对数学教育“数学方面”的不恰当强调而失败了。当然，现实中也可看到相反的做法，如我国新一轮课程改革中出现的“去数学化”倾向。正如张奠宙先生所指出的：“君不见，评论一堂课的优劣，只问教师是否创设了现实情境？学生是否自主探究？气氛是否活跃？是否分小组活动？用了多媒体没有？至于数学内容，反倒可有可无起来。”［5］53“听课时发下来某些‘评课表’，居然只有‘情境过程’‘认知过程’‘因材施教’‘教学基本功’四个指标。至于数学概念是否清楚，数学论证是否合理，数学思想是否阐明，则处于次要地位，可有可无。”［5］197张奠宙先生强调指出，尽管其中充满了美丽的词语，如“自主”“探究”“创新”“联系实际”“贴近生活”“积极主动”“愉快教育”等，我们又应当始终记住这样一点：“任凭‘去数学化’的倾向泛滥，数学教育无异于自杀。”［5］214

还应强调的是，尽管已经有过不少教训，但现实中我们还是经常可以看到一些类似的做法，只是它们的表现形式可能略有不同，从而也就更清楚地表明了加强总结和反思特别是批判意识的重要性。具体地说，正如笔者在《教育发展之“正道”》（本刊2021年第26期刊发）一文中所指出的，以“大教育”的论述完全取代专业的分析，可被看成上述片面性的又一具体表现。例如，就如何落实“努力提升学生的核心素养”这一思想而言，数学教育工作者似乎只要能正确复述“中国学生发展核心素养”的“三个方面、六大要素、十八个基本要点”，并能通过逐条对照发现每一堂课的不足之处与努力方向就可以了，而无需深入思考数学教育对提升个人与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要甚至是不可取代的作用。另外，我们似乎也可以按照某种统一的模式去解决不同学科如何做好深度学习的问题，即我们只需首先从“大教育”的角度对深度学习理论做出统一研究，然后将其直接应用到各个学科领域，特别是统一采用“一般性理论+学科实例”的模式，就可很好地实现上述目标，包括建立起各门学科深度学习的具体理论。

当然，这也应被看成上述片面性的又一具体表现：完全局限于纯数学的思考，而忽视了我们还应超出专业并从更大的角度去思考数学教育的基本目标，既包括对“帮助学生学会数学地思维”的不恰当强调，还包括认定我们应将所谓的“三会”（会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界）作为数学教育的基本目标。

最后，这事实上也可被看成笔者在《数学课程改革深入发展最需要什么——哲学视角下的数学教育（一）》（本刊2022年第9期刊发）一文中提出这样一个观点的主要原因：为了促进课程改革的深入发展，我们应当切实加强学习、总结和反思。

简言之，这正是我们在当前应当特别重视的又一问题：如何看待我国新一轮数学课程改革的实际进程？特别是，相关发展是否可以被看成真正的进步，还是仅仅意味着“词语”的简单转换，乃至由于缺乏深入研究而造成的发展停滞——继所谓的“三维目标”以后又先后转向了“四基”和“三会”？

由一线教师的具体体会，读者即可对此有更清楚的认识。“我是1986年参加工作的，教小学数学。当时的教学目标称为‘双基’，即基本知识、基本技能。”［6］55“到了2000年左右，新课程改革了……改革的显著之处在于将‘双基目标’改为‘三维目标’……于是，我努力将自己的教学目标调整为‘三维目标’。可是，从此我发现，写教案的时候，我已经不会写教学目标了。因为我发现每节课都有特定的基本知识、基本技能，却很难区分出每节课的思想方法。当思想方法成为教学目标的时候，发现上节课也这样，下节课也这样。更痛苦的是，实在不知道这节课的情感态度价值观与上节课有何不同……就这样迷茫了，在迷茫中努力地教学。”［6］55-56“到2010年，好像又修改了，三维目标还是不对的。作为一个一线数学教师，很认真地接受新的‘四基目标’……让我抓狂的是基本经验，不知道如何去落实……教师们看我一脸困惑的样子，告诉我：教书啊，别想那么多……从2016年开始，‘四基目标’好像又不大重要了，代之以‘小学数学核心素养’。因此，讨论环节有位专家问我：‘你这节课，培养了什么核心素养？’我当时就被问蒙了……尽管课上成功了，大家也认为上得挺成功的，但面对这个问题，我真的不知从何说起。”［6］56

作为对照，笔者愿意再次转引美籍匈牙利数学家波利亚的这样一段论述，希望能引发读者的深入思考：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识。对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事。能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情。”［7］182

希望在不久的将来，我们能在这一方面看到真正的进步，从而能真正发挥数学教育对个人发展与社会整体进步的积极作用，至少在努力纠正“应试教育”这一方面看到切实的进展，因为对数学教育目标的不恰当界定事实上也可被看成在“应试教育”方面起到了推波助澜的作用。

三、数学学习观与教学观

众所周知，既应有一定的重要性和基础性也应有一定的前沿性和先进性是科研工作的一项基本要求。在笔者看来，从同一角度，我们也能大致理解数学教育哲学中关于数学学习观和教学观的研讨为什么会直接涉及建构主义与情境学习理论等理论思想或发展趋势。

当然，作为数学教育哲学研究，我们在此关注的主要是数学学习和教学活动的本质或特征性质，而不是各种具体的学习方法或教学方法。但是，由于相关研究对后一方面的工作具有重要的指导意义，从而可以说具有较大的重要性和基础性。再者，由于建构主义在20世纪90年代在教育领域中占据了绝对的主导地位，为我们深入理解学习的本质提供了与传统观念直接相对立的另一种观念，更由于建构主义本身也有一个不断发展和演变的过程，即由个人建构主义逐步走向了社会建构主义，后者则又直接导致了情境学习理论在现代的兴起，乃至所谓的“教育的社会转向”，这样，围绕这些理论进行分析研究就可以保证相关研究具有较大的前沿性和先进性，并使研究工作更有深度。

总之，从教育的角度看，这正是建构主义在现代兴起及其后续发展的主要意义——为我们深入认识学习的本质提供了一个新的视角，更有益于我们对传统教学观念的自觉反思与深入批判。首先，我们不应将教学与学习看成单纯的给予与接受，相反，学习主要应被看成一个意义建构的过程，即学习主体将新学习的内容与其本身已有的知识和经验联系起来，或者更恰当地说，学习主体将新学习的知识纳入其已有的认知框架，从而使之获得确定的意义，包括已有认知框架的扩展或必要调整（同化与顺应）。其次，这又应被看成现代意义上的学习活动（即学生在学校中的学习活动）的主要特点——在学校这一特定环境中，在教师的直接指导下进行的，应被看成一种文化继承的行为。再者，按照社会建构主义的观点，我们还应清楚地看到群体在这一方面的重要作用，这可被看成情境学习理论的核心所在，即我们应将分析的着眼点由主要关注知识的学习（或者说，单纯的认知行为）转向学习主体身份的界定与变化。

上述认识显然具有重要的教学涵义，包括我们应当如何认识教师在教学活动中的地位与作用。但从现今的角度看，相关研究应当说也有一定的局限性。事实上，建构主义本身的发展（包括情境学习理论的兴起）就已清楚地表明了这样一点，因为所说的发展即是对先前理论局限性的一种纠正或超越。另外，就我们的论题而言，当然又应更加突出数学教学的特殊性，而不应停留于一般的分析，而且正如先前关于数学观的分析，我们显然也应清楚地认识教学活动的复杂性，从而应从多个不同的角度进行分析研究，包括努力做好不同观点的必要互补与整合。

从后一角度，我们事实上也可更好地认识近年来由诸多优秀教师提出的各种教学主张，如华应龙老师倡导的“化错教学”，徐斌老师倡导的“无痕教学”，以及一般意义上的“以学为主”（或“先学后教”）等教学主张。我们应当注意分析这些主张对我们改进教学（包括认识的发展与深化）有哪些新的启示，也应对它们的局限性做出深入剖析，包括相应的教学实践应当特别注意哪些问题。以下就是关于上述三个主张的简要分析：

（1）正如建构主义所强调的，我们应当以一种更加理解、更加开放的态度看待学生在学习过程中出现的错误，包括善于发现其中的合理性成分，并能将此作为新的认识活动的重要背景或直接出发点。但是，我们显然不应将“化错”看成数学教学最重要的一个环节，因为数学学习主要是一个不断优化的过程。

（2）相对于有形的教学活动，“无痕教学”具有一些明显的优点，特别是，不易使学生对学习产生厌倦，甚至是反感；但教学活动显然又应努力实现这样一个更高的目标，即使学生真正成为学习的主人，由潜移默化逐步转变为具有明确目标并主要依靠内在动力与自我指引完成的自觉行为；又由于数学学习需要学生做出持续的努力，包括逐步地学会坚持，学会承受挫折和失败，因此，我们应当由单纯强调“春风化雨”“愉快学习”逐步过渡到“独上高楼”“衣带渐宽终不悔”这样一种更高的境界。

（3）无论是所谓的“以学为主”或“先学后教”，最基本的指导思想都突出强调学生在学习活动中的主体地位；这一做法当然有一定的道理，但我们显然不应因此而否定教师在教学活动中应发挥的主导作用，特别是，这不仅关系到我们如何帮助学生克服学习中必然会遇到的困难，也直接关系到学习目标的具体设定。即使我们暂且不去论及数学教育的“三维目标”，单凭学生自身的努力应当说也很难跳出当前的学习内容并从更大范围去设定整体性的目标。再则，从数学教育的角度看，这应当说也与数学思维的性质密切相关，特别是，由于数学思维的发展主要涉及纵向的提升，特别是更高层次的抽象，从而就很难单纯依靠学生自身的努力完成，后者既包括所谓的“熟能生巧”也包括单纯的“经验积累”。

以下再特别转引荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔的若干相关论述，因为按照通常的理解，其数学教学思想与上述主张十分一致，如“学生应当学习数学化而不是数学，学习抽象化而不是抽象”，以及对于“再创造”的特别推荐，认为我们主要应让学生通过重复数学史上的创造来学习数学。但是，仔细阅读可以看出，这只是对弗赖登塔尔的一种误读，或者说，他在这方面的基本思想后来有了十分重要的发展。“学习过程中重要的问题是不连续性”［8］119，又由于这在很多情况下就意味着“观念的转变”［8］144，也即与主体原有观念或信念的决裂，人们的自然倾向是维持原有的观念，而不是自我否定与重构，由此，我们显然就可以更好地理解要求学生单纯凭借自身努力实现发展的困难性。正因如此，弗赖登塔尔后来倡导的就不是单纯依靠学生自身努力的“再创造”，而是“教师指导下的再创造”，后者在他认定的“教学原理”中占据首要的位置。

还应强调的是，除了“以学为主”这一主张以外，由弗赖登塔尔的论述我们显然也可在其他方面获得直接的启示，如我们究竟应如何认识数学学习的本质、如何看待“纠错”在这方面的重要作用，以及我们是否可以主要依靠“无痕教学”帮助学生在数学上实现不断的进步，等等。

再则，依据上述分析，我们显然也可更好地认识什么是数学教师在教学中应当发挥的主要作用。具体地说，将教师与学生在教学过程中的活动分别归结为“教”与“学”是一种过于简单化的概括，特别是，更容易导致这样一种错误的理解，即将“教”和“学”分别等同于“知识的简单传授”和“知识的被动接受”。与此相对照，如果认定数学教育的基本目标应是促进学生思维的发展，那么，将“引”（教师的主要作用）和“思”（学生的主要活动）的对立统一看成数学教学的主要矛盾显然更加恰当。

在笔者看来，依据这一分析，我们也可对以下论述做出自己的剖析，即认为教师的定位应是“学习的组织者、引导者与合作者”［9］。具体地说，与并列地强调这样三个作用相比，我们应更加突出教师的引导作用，特别是，应通过教学引导学生更深入地进行思考，使他们逐步学会想得更清晰、更全面、更合理、更深刻，努力提升思维品质。

再者，上述分析也可被看成为我们做好其他方面的工作提供了重要的指导，包括：究竟何者可以被看成数学教学的关键？我们应如何看待数学教学方法的研究与改革，乃至“整合课程”或“基础教育的去专业化”等相关主张？等等。显然，由此我们也可更好地理解数学教育哲学的基础性质和重要性。

在此，笔者愿意再次强调坚持辩证思维指导的重要性。事实上，这也正是弗赖登塔尔特别强调的一点：“指导再创造意味着站在创造的自由性和指导的约束性之间，在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种奥妙的平衡。”［8］67更一般地说，我们又应为自己的专业成长设定这样一个目标——努力成为“具有一定哲学思维的数学教师”！