初中数学画图解题能力的培养初探初中数学画图解题能力的培养初探

◎张武光

(福建省诏安县红星中学，福建 漳州 363500)

在学习数学知识时，学生若不懂得如何去分析数学题目中的画图信息，不会画出具有针对性的图形和图像，则很难深入分析数学问题，且会导致一些数学问题无法得到解决.因此，学生不仅要学好数学知识，更需要懂得画图，以画图来帮助自己解决数学问题，使得数学学习具有意义和乐趣.下面笔者从数学画图解题的重要性分析出发，再结合一些例题分析画图解题的方法，以引导学生形成良好的画图解题能力.

一、初中数学画图解题能力培养的意义

(一)思维开发的必经之路

学生思维的开发总是需要一定的刺激与指导，才能朝着多元的方向发展.在此过程中，画图就是一种能够激活学生思维、提升学生思维能力的重要方法，那么将数学画图解题与数学课程教学相结合就是对学生的一种有效画图能力的培养，也是提升学生思维能力的一个重要方式.因此，对学生数学画图能力的培养具有一定的意义，是实现对学生数学思维开发的有效路径，教师应该对其有所重视，并落实相关的数学画图教学工作.

(二)增强数学教学的效果

画图是将抽象知识转化为形象知识的过程，在不断培养学生画图能力的过程中，整个数学课堂效果会变得更明显，学生会不断去寻找画图的切入点，使得学生的学习变得有活力和有意义.同时，教师教导学生画图，也是数学教学认知的全新过程.生动的画图能够增强数学课程教学的效果，使得学生更愿意参与数学课堂知识的探索与认知.可见，画图过程的融入能够提升数学课程教学效果.

二、在初中数学练习中画图的问题种类

(一)数学图形中的辅助图与结果图

所谓辅助图，按照文字含义讲解，是指在某种程度上对习题具有补充、讲解、剖析作用的图.辅助图在形式上并没有作为结果而保留，只是由于其可以将习题以图形的方式直观形象地表达出来，因此有助于学生对题目的理解.这些辅助图大多出现在选择题和填空题的回答中.当然，小部分的分解回答也会出现辅助图形.而对于结果图形，则因为它所保留的形式为结果，是需要作为答案而展示出来的.许多时候在结果图的练习中，图也可以作为问题的答案，如尺规作图.另外，在普通的绘图练习中，有一些图是可以用来帮助了解实际问题情况的结果图，而这些结果图也都是可以作为依据加以记录的，其一般出现在普通数学练习题中，如几何问题和函数问题中.

(二)数学图形中的准确图与示意图

在现代数学制图中，我们可以根据具体的绘图工具来判断图形的类别.最常见的现代数学绘图工具主要是三角尺、圆规、量角器等，利用这种现代的数学绘图工具能够充分地根据数学问题中的信息作出准确的图形，而且这些图形都有很高的精确度，完全符合问题中的信息，能够把问题中所涉及的角度、数字、间距等信息完整正确地反映出来，这样的图形就是准确图.但有些习题，只需要按照问题中的信息大概画图就能够解答，这些比较简单扼要的图形就称为示意图.示意图在某种程度上来说，并不能完整地对其所表达的数字信息做出正确的反应.因此在实际数学课程中，我们做题时大多都是先按照题目的特点大致描绘出本来就需要解决的问题的图形形状，然后再根据一定的方法以及图形具体特征对问题加以研究与解决.

(三)数学图形中的一般图与特点图

一般图与特点图主要是根据解题的过程以及可能的结论进行区分，其中一般图主要用来应对一般情况，而特点图则属于在特殊的情况下制作的图形.一般图与特点图应用的范围有较大的区别，在实际的数学解题中，要有效掌握这两种图形.

三、初中数学中学生画图思维锻炼的方式

(一)充分发挥想象力

在初中数学画图思维锻炼中，教师要引导学生更好地发挥想象力.对于一些特殊的问题，学生在解答时不仅要依靠图形，还要发挥抽象思维.在日常做题中，教师要积极引导学生通过图形来发挥个人的空间想象力.例如，几何中的“点”其实是没有大小、只有位置的，而现实生活中的“点”是有大小之分的.因此，几何中的“点”只存在于大脑的思维中，是一种抽象性的概念，教师要在日常的授课中做好引导.

(二)善于运用直观思维

在解题过程中，学生通过图像可以更为直观地感受题目的逻辑性.很多问题其实来源于生活，教师要引导学生运用直观思维，将比较抽象的题目用直观的图像表示出来，这样能够培养学生的观察能力和直观思维能力，从而更好地提升画图水平.

(三)紧密结合教材基础知识

教材既是教师开展教学活动的基本素材，又是学生学习的主要材料.因此，学生需要全面掌握教材中的基础知识，并按照这些基础知识锻炼逻辑思维.为了达到锻炼逻辑思维的目的，学生需要掌握教材中的三大要素.其一是几何的概念.几何的概念是学习数学的基础，学生要全面了解几何的概念.其二是例题.教材中的例题虽然较为简单，但是很多题型都由教材的例题演化而来.其三是课后习题.教材中很多单元的课后习题是比较经典的，教师要引导学生学会总结.学生只有全面了解以上三种要素，才能更好地配合日常的画图，轻松解答各类题型.

在初中数学的学习中，很多学生会认为一些概念与定义难以理解，然而，若是在学习过程中合理借助图像，认识数学中的一些抽象概念便会容易许多.例如，在学习“函数”章节时，教师开篇会全面讲解函数的三要素，介绍定义域、值域以及函数表达式的定义.而为了更好地理解这些定义的内涵，学生可以借助函数的大致图像，从图像中提取相关函数的定义域和值域，从而更加直观地理解这些定义.

(四)熟练构造辅助线

在初中数学解题过程中，学生经常会面临一些较为困难的问题.对于一些困难的问题，学生只要掌握了合理的方法，将大问题转化为小问题，逐个击破，便能够有效解决.在这个过程中，学生需要发散思维，根据问题的着眼点熟练构造辅助线，这样可以有效帮助学生理清解题思路，从而快速解决问题.一直以来，在数学问题中，图形都是数学思维的表达工具，题中的数量关系若是能用直观的图形表达出来，便能起到启发的作用.因此，教师要培养学生的发散思维，引导其熟练运用辅助线解决问题.

(五)有效借助几何语言

在数学题目中，几何语言又被称为文字语言和符号语言，通常几何语言的表达会和图形相联系.在解决初中数学题目时，几何语言的运用非常广泛，学生需要在熟练掌握基础知识的基础上应用几何语言.因此，学生在初中阶段需要在数学学习中加深对几何语言的了解，以便在解题过程中能够及时和同学、教师交换学习经验，更好地将几何语言运用到图形的构造过程中，从而快速解答问题.

四、初中数学画图解题能力的培养过程

(一)函数解题之中的画图能力培养

初中数学的一大知识点就是函数，而对于初学者来说，函数知识的有关问题比较难理解，解答起来具有一定的逻辑思维难度.因此，教师可以结合一定的画图解题能力培养方式，以引导学生画图为目标，让学生在画图中了解函数，分析函数问题，使得他们逐渐养成良好的画图习惯.其中，教师可以先从函数问题的选择角度出发，以考试中比较容易考到、学生比较困惑的函数问题为培养内容，引导学生自主分析函数问题，并鼓励学生从画图角度分析问题，而不是仅仅关注于数学题目中的文字，使得学生的学习由抽象转化为具体形象.此时，教师可先选择出合适的数学函数问题，如选择一些具有数形结合思想的问题，以使得学生有机会从函数问题中寻找画图的契机，再结合实际的图像内容来分析函数问题，感知图像中的函数规律，从而对学生的画图解题能力实施有效培养.

在众多数学函数题型之中，教师可以选择下面这道与初中数学一次函数知识有关的问题，具体如下：小明是一名初中生，每天需要骑自行车上学，而在骑行过程中，小明从家里出发，需要先走一段上坡路，这段上坡路的终点是A，然后再走一段下坡路，而下坡路的终点是B，最后一段路程则是走平路直至到达学校，请说一说其中体现了哪些函数关系，函数图像又是怎样的.

解答这道函数问题的重要突破口是利用画图来将抽象的问题具体化.因此，鼓励学生从画图角度来分析问题，是有效解答此道函数问题的关键.教师可以先鼓励学生在大脑中思考函数图像，再利用笔将函数图像画出来，以形成一个知识构建的过程.对于这道题目，我们可以将行驶路程s看成是时间t的函数，且经过分析可知小明的运动轨迹与一次函数图像相似.其中，在开始阶段，小明的上坡速度比较慢，而到下坡时，小明的行驶速度肯定比较快，此时直线的倾斜度肯定比第一阶段要陡，进入平路阶段时，会看到自行车的路程也是直线递增的，因而可以构造出如图1所示的函数图像.通过这个图像，学生可以清晰知道小明行驶的路程s与时间t的函数关系，从而有效解答出问题，进而促使他们从画图分析过程中养成良好的图像理解与分析能力，最终帮助他们构建起良好的画图解题思路.

图1

(二)概率解题之中的画图能力培养

日常生活中学生势必会接触各种具有可能性的问题，而判断一个事件发生的可能性，就需要学生懂得一定的概率解题方法，以从概率分析中寻找到数学解题的思路.此时，学生要懂得以图代数的方式，将抽象的数转化为具体的形，以从形之中寻找到解答问题的一个路径，这样才能有效提升解题效率.其中，画图依然是学生解答概率相关问题的有效方法，画图过程是对概率问题数量关系的一次重要构建，可以帮助学生得到更多不一样的学习路径与思维.因此，教师可选择出一些具有代表性的概率问题，让学生从概率分析中构建图形、图像，以使得他们知道概率的形成过程，知道如何去判断一个事件的发生概率，从而真正学会画图，学会分析概率问题.

在日常生活的概率事件中，教师可以选择下面这样的数学概率问题：某中学开展了课外艺体活动，有绘画组、足球组、园艺组，每位同学只能报名参加其中一组，小红和小明想参加其中的活动内容，问：他们会选到同一活动的概率是多少？

学生想要有效解答此概率问题，无非要懂得概率发生的可能性有多大.因此，教师可以主动引导学生从画图入手分析事件发生与发展的可能性，帮助学生构建起概率知识的科学观念，从而促使学生将图像中显现出来的信息再次转换为概率数字.这里教师可以引导学生将上述三个艺体组分别用A，B，C表示，并从树状分析图的层面进行作图.显然这个事件(实验)有两个因素，即小红与小明，每个因素有三种可能，可画出从上而下的树状图，从而将抽象的概率问题直观化，如图2所示：

图2

(三)不等式解题之中的画图能力培养

初中考试中最为常见的一个考点就是不等式计算的相关问题，而七年级学生在初学不等式时，对不等式解、解集概念的理解是不清晰的，此时，教师可以利用数轴，从画图的角度给学生提出一个思考的方向，让学生根据所画的图像信息理清思路并获取正确答案.

如探求不等式x+3>5的解集问题时，教师提出问题：使这个不等式成立或者说满足这个不等式的x的值有哪些？学生会回答3，4，5，…这时，教师给出明确的概念：像这样，使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.教师再问：不等式x+3>5的解有哪些数？请你画出数轴并在上面描出表示这些数的点.学生回答：3,4,5，…然后努力画数轴、描点.教师接着问：这个不等式的解有几个？除了3,4,5，…还有其他的吗？接下来学生的回答就会七嘴八舌，说2.1,2.2,2.01等都是不等式的解.到此，教师可适时总结：不等式x+3>5的解有无数个，这无数个解组成这个不等式解的集合，简称解集.由于这无数个数都比2大，所以表示为x>2,在数轴上表示，就是从表示2的这点往右画一条线，表示2的这点画成空心表示不包括2，如图3所示.历经这样的画图过程，学生很容易理清不等式解、解集的关系，并直观地表示不等式的解集.

图3

五、结语

综上所述，学生画图解题能力是基于各种数学问题探索、各种数学问题解答才在潜移默化中逐渐形成的，这需要教师给予学生一定的思考方向与路径，让学生逐渐构建起画图的思路与习惯，以有效提升他们自身的画图解题能力.因此，教师应该注重学生画图解题的培养过程，选择合适的问题引导学生作图，以提升学生的画图解题能力.