SI2-拟代数空间

陈家柏，张文锋

(江西科技师范大学数学与计算机科学学院，江西 南昌 330038)

无论是从数学的角度还是从计算机科学的角度，Domain理论都引起了广泛的关注[1-2]。Domain理论研究的一个重要方面是尽可能地将连续格(domain)理论推广到更为一般的格序结构上去[3-14]。在2013年的第六届Domain理论国际研讨大会邀请报告中，美国著名数学家Lawson强调需要用T0空间替代偏序集，发展domain的核心理论。文[15]中，赵东升和Ho Weng Kin在T0空间上利用不可约集给出了从已知拓扑得到新的拓扑的方法。此外，他们推广了连续偏序集的定义，介绍了SI-连续空间的概念并深入研究了它们的性质。其后，罗淑珍和徐晓泉[16]利用正规完备化算子，引入了SI2-连续空间和SI2-拟连续空间的概念，进一步扩大了Domain理论的研究范围，同时在许多方面都有待于更深入的研究。

本文将继续对SI2-连续空间和SI2-拟连续空间的代数情形进行研究。首先，我们引入了SI2-代数空间的概念并讨论了它的一些性质，特别地，我们证明了一个T0空间为SI2-代数的当且仅当其SI2-拓扑为B-空间；然后引入了SI2-拟代数空间的概念，证明了一个T0空间为SI2-拟代数的当且仅当其SI2-拓扑为超紧基空间；最后我们研究了SI2-代数空间和SI2-拟代数空间之间的关系，证明了一个T0空间为SI2-代数的当且仅当其为交SI2-连续和SI2-拟代数的。

1 预备知识

下面介绍本文所需的有关Domain理论和拓扑学的一些基本概念和符号[2]。

设P为偏序集。P的有限子集的全体记为P(<ω)。∀x∈P，A⊆P，记↑x={y∈P:x≤y}，↑A=∪{↑a:a∈A}；对偶地可以定义↓x和↓A。称A为上(下)集，若A=↑A(A=↓A)。令A↑和A↓分别为A的全体上界和全体下界之集。记Aδ=(A↑)↓并称δ为P上的正规完备化算子。

设P为偏序集。α(P)={A⊆P:A=↑A}称为P上的Alexandroff拓扑。以{P↓x:x∈P}为子基生成的拓扑称为上拓扑，记为v(P)；对偶地可以定义下拓扑ω(P)。在P的非空子集族H上定义关系“≤”如下：F≤G⟺↑G⊆↑F；子集族H称为定向的，若对∀F1，F2∈H，∃F∈H使F1，F2≤F，即F⊆↑F1∩↑F2。

设(X,τ)为一拓扑空间，A⊆X，符号intτA和clτA分别表示A关于τ的内部和闭包；非空集合F⊆X称为不可约集，若对任意闭集A，B⊆X，F⊆A∪B⟹F⊆A或F⊆B。X上全体不可约集记为Irrτ(X)。

设(X,τ)为一T0空间，其上的特殊化序关系“≤τ”定义如下：x≤τy⟺x∈clτ(y)。易证，T0空间赋予特殊化序后为偏序集。在本文中我们约定T0空间上的序总是赋予特殊化序“≤τ”。

引理1.1[5]设P为偏序集。

(1)映射(-)↑:(2P)op→2P，AA↑和(-)↓:(2P)op→2P，AA↓都是保序的。

(2)((-)↑，(-)↓)是(2P)op和2P之间的一对Galois connection，即∀A，B⊆P，B↑⊇A⟺B⊆A↓。因此δ:2P→2P，AAδ=(A↑)↓和δ*:2P→2P，A(A↓)↑都为闭包算子。

命题1.1[15]设(X,τ)为T0空间。

(1)对∀a∈X，有↓a=clτ(a)。

(2)若U⊆X为开集，则U=↑U；若A⊆X为闭集，则A=↓A。

(3)若D⊆X关于特殊化序为定向集，则D为不可约集。

定义1.1[16,17]设(X,τ)为T0空间，∀x，y∈X，称x way below y，记为x≪SI2y，若对∀F∈Irrτ(X)，y∈Fδ⟹x∈↓F。记SI2x={y∈X:y≪SI2x}及SI2x={y∈X:x≪SI2y}。x称为X的紧元，若x≪SI2x。X中全体紧元之集记为K(X)。

定义1.2[16,17]设(X,τ)为T0空间，X称为SI2-连续的，若对∀x∈X，下列条件成立：

(2)x=∨SI2x且SI2x是定向的。

定义1.3[16]设(X,τ)为T0空间，U⊆X称为SI2-开的，若U满足：

(1)U∈τ；

(2)对∀F∈Irrτ(X)，Fδ∩U≠∅⟹F∩U≠∅。

X上由所有SI2-开集构成的拓扑称为SI2-拓扑，记为τSI2。

命题1.2[16]设(X,τ)为T0空间，∀u，x，y，z∈X。则

(1)x≪SI2y⟹x≤y。

(2)若u≤x≪SI2y≤z，则u≪SI2z。

(3)若X中存在最小元0，则0≪SI2x。

(4)若y∈intτSI2↑x，则x≪SI2y。

定义1.4[16]设(X,τ)为T0空间，∀G，H⊆X，称G way below H，记作G≪SI2H，若∀F∈Irrτ(X)，↑H∩Fδ≠∅⟹↑G∩F≠∅。G≪SI2{x}简记为G≪SI2x。记SI2G={y∈X:y≪SI2G}及SI2H={y∈X:H≪SI2y}。记fin(x)={E∈X(<ω):E≪SI2x}，K(x)={F∈X(<ω):F≪SI2F≤x}。

定义1.5[16]设(X,τ)为T0空间，X称为SI2-拟连续的，若对∀x∈X，下列条件成立：

(1)对∀E∈X(<ω)，SI2E∈τ；

(2)fin(x)是定向的；

(3)↑x=∩{↑E:E∈fin(x)}。

命题1.3[16]设(X,τ)为T0空间，∀A，B，G，H⊆X。则

(1)G≪SI2H⟺∀x∈H，G≪SI2x。

(2)G≪SI2H⟹G≤H。

(3)A≤G≪SI2H≤B⟹A≪SI2B。

(4)若y∈intτSI2↑H，则H≪SI2y。

命题1.4[16]设(X,τ)为T0空间，H为X上的一个非空定向有限子集族，若F≪SI2x且∩H∈H↑H⊆↑x，则∃H∈H使H⊆↑F。

定义1.6[6]设(X,τ)为T0空间。

(1)X称为B-空间，若∀x∈U∈τ，∃y∈X使x∈intτ↑y=↑y⊆U。

(2)X称为C-空间，若∀x∈U∈τ，∃y∈X使x∈intτ↑y⊆↑y⊆U。

(3)X称为超紧基空间，若∀x∈U∈τ，∃F∈X(<ω)使x∈intτ↑F=↑F⊆U。

定义1.7[16]设(X,τ)为T0空间，X称为交SI2-连续的，若对∀x∈X，F∈Irrτ(X)有x∈Fδ，则x∈clτSI2(↓x∩↓F)。

引理1.2[16]设(X,τ)为交SI2-连续空间，F∈X(<ω)，则有intτSI2↑F⊆∪{SI2x:x∈F}。

定义1.8[4]设P为偏序集。U⊆P称为弱Scott开的，若对任意定向集D⊆P，Dδ∩U≠∅⟹D∩U≠∅。

P上由所有弱Scott开集构成的拓扑称为弱Scott拓扑，记为σ2(P)。

命题1.5[16,18]设(X,τ)为T0空间，则下述各条件等价：

(1)(X,τ)为SI2-连续的；

(2)(X,τSI2)为C-空间。

引理1.3[16]设P为偏序集，则以下条件成立：

(1)v(P)SI2=v(P)。

(2)α(P)SI2=σ2(P)。

引理1.4[18]设η，τ为X上的T0拓扑，若η⊆τ且它们的特殊化序一致，则ηSI2⊆τSI2。

由引理1.3和引理1.4，我们有如下推论。

推论1.1设P为偏序集，τ为P上一序相容拓扑，即v(P)⊆τ⊆α(P)，则v(P)⊆τSI2⊆σ2(P)。

命题1.6[18]设(X,τ)为T0空间，则以下条件等价：

(1)τ=τSI2；

(2)对任意不可约闭集F⊆X，有F=Fδ。

引理1.5[19]设P为偏序集，τ为P上一拓扑且v(P)⊆τ⊆σ2(P)，则对任意定向集D⊆P，有Dδ=clτD。

命题1.7设(X,η)为SI2-连续空间，若η为一序相容拓扑，则ηSI2=(ηSI2)SI2。

2 SI2-代数空间

定义2.1设(X,τ)为T0空间，X称为SI2-代数的，若对∀x∈X，下列条件成立：

(2)x=∨(↓x∩K(X))且↓x∩K(X)是定向的。

注记2.1若X⊆↓x，则x=∨(↓x∩K(X))⟺x∈(↓x∩K(X))δ。

命题2.1设(X,τ)为T0空间，则下述各条件等价：

(1)(X,τ)为SI2-代数的；

(2)(X,τ)为SI2-连续的，且x≪SI2y⟺∃k∈K(X)使x≤k≤y。

证明(1)⟹(2):显然，(X,τ)为SI2-连续的。若x≪SI2y，由(1)，y∈(↓y∩K(X))δ且↓y∩K(X)定向。由命题1.1(3)，则x∈↓(↓y∩K(X))，即∃k∈↓y∩K(X)使x≤k，从而x≤k≤y。反之，若∃k∈K(X)使x≤k≤y，则x≤k≪SI2k≤y。由命题1.2，有x≪SI2y。

定理2.1设(X,τ)为T0空间，则以下两条件等价：

(1)(X,τ)为SI2-代数的；

(2)(X,τSI2)为B-空间。

证明(1)⟹(2):对∀x∈X，U∈τSI2，x∈U，由(1)，x∈(↓x∩K(X))δ且↓x∩K(X)定向。由SI2-开集定义可知，∃k∈↓x∩K(X)使得k∈U。易证x∈↑k=intτSI2↑k∈τSI2，从而有x∈↑k⊆U。

3 SI2-拟代数空间

定义3.1设(X,τ)为T0空间，X称为SI2-拟代数的，若对∀x∈X，下列条件成立：

(1)对∀F∈X(<ω)，SI2F∈τ；

(2)K(x)是定向的；

(3)↑x=∩{↑F:F∈K(x)}。

命题3.1设(X,τ)为T0空间，则下述各条件等价：

(1)(X,τ)为SI2-拟代数的；

(2)(X,τ)为SI2-拟连续的，且F≪SI2x⟺存在有限G≪SI2G，使x∈↑G⊆↑F。

证明(1)⟹(2):显然，(X,τ)为SI2-拟连续的。若F≪SI2x，由命题1.4知，存在有限G≪SI2G，使得G⊆↑F，从而x∈↑G⊆↑F。反之，若存在有限G≪SI2G，使x∈↑G⊆↑F，则F≤G≪SI2G≤x，因此F≪SI2x。

(2)⟹(1)：显然，对∀F∈X(<ω)，SI2F∈τ。对∀x∈X，令F1，F2∈K(x)，则F1≪SI2x，F2≪SI2x。因为fin(x)定向，则∃F∈fin(x)使F⊆↑F1∩↑F2，由(2)，存在有限G≪SI2G使x∈↑G⊆↑F，因此G∈K(x)且F1，F2≤F≤G，从而K(x)是定向的。显然，↑x⊆∩{↑F:F∈K(x)}。若y∉↑x，因为(X,τ)为SI2-拟连续的，则∃H∈fin(x)使y∉↑H。由(2)，存在有限E≪SI2E使x∈↑E⊆↑H，因此E∈K(x)且y∉↑E.。从而↑x=∩{↑F:F∈K(x)}。故(X,τ)为SI2-拟代数的。

定理3.1设(X,τ)为T0空间，则下述各条件等价：

(1)(X,τ)为SI2-拟代数的；

(2)(X,τSI2)为超紧基空间。

证明(1)⟹(2):对∀x∈X，U∈τSI2，有U≪SI2x。由命题1.4，则∃F∈K(x)使F⊆↑U，即↑F⊆↑U=U，故x∈intτSI2↑F=↑F⊆U。

再证，对∀E∈X(<ω)，有SI2E∈τ。我们证明SI2E=intτSI2↑E。由命题1.3可知，intτSI2↑E⊆SI2E。反之，对∀x∈SI2E，令H={H∈X(<ω):x∈intτSI2↑H}。因为X为SI2-开的，由(2)，∃F∈X(<ω)使得x∈intτSI2↑F=↑F⊆X，从而F∈H≠∅。任取H1，H2∈H，则x∈intτSI2↑H1∩intτSI2↑H2∈τSI2，由(2)，∃G∈X(<ω)使x∈intτSI2↑G=↑G⊆intτSI2↑H1∩intτSI2↑H2⊆↑H1∩↑H2，故G∈H且H1，H2≤G，因此H定向。显然，↑x⊆∩H∈H↑H。若xy，则x∈X↓y∈τSI2，由(2)，∃J∈X(<ω)使x∈intτSI2↑J=↑J⊆X↓y，因此J∈H且y∉↑J，故↑x=∩H∈H↑H。因为E≪SI2x，由命题1.4，∃K∈H使K⊆↑E，因此x∈intτSI2↑K⊆intτSI2↑E。故SI2E=intτSI2↑E∈τSI2⊆τ。

引理3.1[6]设(X,τ)为T0空间，F为X中的有限集，则↑F=↑Min(F)，其中Min(F)为F中全体极小元之集。

定理3.2设(X,τ)为T0空间，则下述各条件等价：

(1)(X,τ)为SI2-代数的；

(2)(X,τ)为交SI2-连续和SI2-拟代数的；

(3)(X,τ)为交SI2-连续的，且满足：

(ⅰ) 对∀x∈X，↓x∩K(X)是定向的且SI2x∈τ；

证明(1)⟹(2):显然，(X,τ)为交SI2-连续和SI2-拟代数的。

(2)⟹(3)：(ⅰ) 对∀x∈X，由(X,τ)为SI2-拟代数，有SI2x∈τ。下证↓x∩K(X)定向。任取m，n∈↓x∩K(X)，则x∈↑m∩↑n∈τSI2，由定理3.1，∃F∈X(<ω)使x∈intτSI2↑F=↑F⊆↑m∩↑n，因为F为有限集，由引理3.1，有↑F=↑Min(F)。由引理1.2，有x∈↑Min(F)=↑F=intτSI2↑F=intτSI2↑Min(F)⊆∪{SI2t:t∈Min(F)}，因此∃t∈Min(F)使t≪SI2x，由↑Min(F)⊆∪{SI2t:t∈Min(F)}，∃s∈Min(F)使s≪SI2t，从而s≤t，由s，t∈Min(F)，有s=t，因此t∈↓x∩K(X)且t∈↑m∩↑n。由(X,τ)为SI2-拟代数及定理3.1知，∃G∈X(<ω)使x∈intτSI2↑G=↑G⊆X，即∃y∈Min(G)使y∈↓x∩K(X)，从而↓x∩K(X)≠∅，故↓x∩K(X)定向。

特别地，对任意偏序集P，当τ=α(P)时，由引理1.3，易知SI2-代数空间，SI2-拟代数空间以及交SI2-连续空间正好分别是文[7]中的S2-代数偏序集，S2-拟代数偏序集以及交S2-连续偏序集；当τ=ν(P)时，SI2-代数空间和SI2-拟代数空间正好分别是文[11]中的超代数偏序集和拟超代数偏序集。故由定理3.2，我们可以得到下述两个推论。

推论3.1[7]设P为偏序集，则下述各条件等价：

(1)P为S2-代数的；

(2)P为交S2-连续和S2-拟代数的；

推论3.2[11]设P为偏序集，则下述各条件等价：

(1)P为超代数的；

(2)P为交S2-连续和拟超代数的。