SI2-拟代数空间

2022-11-18 02:25陈家柏张文锋
南昌大学学报(理科版) 2022年5期
关键词:偏序特殊化等价

陈家柏,张文锋

(江西科技师范大学数学与计算机科学学院,江西 南昌 330038)

无论是从数学的角度还是从计算机科学的角度,Domain理论都引起了广泛的关注[1-2]。Domain理论研究的一个重要方面是尽可能地将连续格(domain)理论推广到更为一般的格序结构上去[3-14]。在2013年的第六届Domain理论国际研讨大会邀请报告中,美国著名数学家Lawson强调需要用T0空间替代偏序集,发展domain的核心理论。文[15]中,赵东升和Ho Weng Kin在T0空间上利用不可约集给出了从已知拓扑得到新的拓扑的方法。此外,他们推广了连续偏序集的定义,介绍了SI-连续空间的概念并深入研究了它们的性质。其后,罗淑珍和徐晓泉[16]利用正规完备化算子,引入了SI2-连续空间和SI2-拟连续空间的概念,进一步扩大了Domain理论的研究范围,同时在许多方面都有待于更深入的研究。

本文将继续对SI2-连续空间和SI2-拟连续空间的代数情形进行研究。首先,我们引入了SI2-代数空间的概念并讨论了它的一些性质,特别地,我们证明了一个T0空间为SI2-代数的当且仅当其SI2-拓扑为B-空间;然后引入了SI2-拟代数空间的概念,证明了一个T0空间为SI2-拟代数的当且仅当其SI2-拓扑为超紧基空间;最后我们研究了SI2-代数空间和SI2-拟代数空间之间的关系,证明了一个T0空间为SI2-代数的当且仅当其为交SI2-连续和SI2-拟代数的。

1 预备知识

下面介绍本文所需的有关Domain理论和拓扑学的一些基本概念和符号[2]。

设P为偏序集。P的有限子集的全体记为P(<ω)。∀x∈P,A⊆P,记↑x={y∈P:x≤y},↑A=∪{↑a:a∈A};对偶地可以定义↓x和↓A。称A为上(下)集,若A=↑A(A=↓A)。令A↑和A↓分别为A的全体上界和全体下界之集。记Aδ=(A↑)↓并称δ为P上的正规完备化算子。

设P为偏序集。α(P)={A⊆P:A=↑A}称为P上的Alexandroff拓扑。以{P↓x:x∈P}为子基生成的拓扑称为上拓扑,记为v(P);对偶地可以定义下拓扑ω(P)。在P的非空子集族H上定义关系“≤”如下:F≤G⟺↑G⊆↑F;子集族H称为定向的,若对∀F1,F2∈H,∃F∈H使F1,F2≤F,即F⊆↑F1∩↑F2。

设(X,τ)为一拓扑空间,A⊆X,符号intτA和clτA分别表示A关于τ的内部和闭包;非空集合F⊆X称为不可约集,若对任意闭集A,B⊆X,F⊆A∪B⟹F⊆A或F⊆B。X上全体不可约集记为Irrτ(X)。

设(X,τ)为一T0空间,其上的特殊化序关系“≤τ”定义如下:x≤τy⟺x∈clτ(y)。易证,T0空间赋予特殊化序后为偏序集。在本文中我们约定T0空间上的序总是赋予特殊化序“≤τ”。

引理1.1[5]设P为偏序集。

(1)映射(-)↑:(2P)op→2P,AA↑和(-)↓:(2P)op→2P,AA↓都是保序的。

(2)((-)↑,(-)↓)是(2P)op和2P之间的一对Galois connection,即∀A,B⊆P,B↑⊇A⟺B⊆A↓。因此δ:2P→2P,AAδ=(A↑)↓和δ*:2P→2P,A(A↓)↑都为闭包算子。

命题1.1[15]设(X,τ)为T0空间。

(1)对∀a∈X,有↓a=clτ(a)。

(2)若U⊆X为开集,则U=↑U;若A⊆X为闭集,则A=↓A。

(3)若D⊆X关于特殊化序为定向集,则D为不可约集。

定义1.1[16,17]设(X,τ)为T0空间,∀x,y∈X,称x way below y,记为x≪SI2y,若对∀F∈Irrτ(X),y∈Fδ⟹x∈↓F。记SI2x={y∈X:y≪SI2x}及SI2x={y∈X:x≪SI2y}。x称为X的紧元,若x≪SI2x。X中全体紧元之集记为K(X)。

定义1.2[16,17]设(X,τ)为T0空间,X称为SI2-连续的,若对∀x∈X,下列条件成立:

(2)x=∨SI2x且SI2x是定向的。

定义1.3[16]设(X,τ)为T0空间,U⊆X称为SI2-开的,若U满足:

(1)U∈τ;

(2)对∀F∈Irrτ(X),Fδ∩U≠∅⟹F∩U≠∅。

X上由所有SI2-开集构成的拓扑称为SI2-拓扑,记为τSI2。

命题1.2[16]设(X,τ)为T0空间,∀u,x,y,z∈X。则

(1)x≪SI2y⟹x≤y。

(2)若u≤x≪SI2y≤z,则u≪SI2z。

(3)若X中存在最小元0,则0≪SI2x。

(4)若y∈intτSI2↑x,则x≪SI2y。

定义1.4[16]设(X,τ)为T0空间,∀G,H⊆X,称G way below H,记作G≪SI2H,若∀F∈Irrτ(X),↑H∩Fδ≠∅⟹↑G∩F≠∅。G≪SI2{x}简记为G≪SI2x。记SI2G={y∈X:y≪SI2G}及SI2H={y∈X:H≪SI2y}。记fin(x)={E∈X(<ω):E≪SI2x},K(x)={F∈X(<ω):F≪SI2F≤x}。

定义1.5[16]设(X,τ)为T0空间,X称为SI2-拟连续的,若对∀x∈X,下列条件成立:

(1)对∀E∈X(<ω),SI2E∈τ;

(2)fin(x)是定向的;

(3)↑x=∩{↑E:E∈fin(x)}。

命题1.3[16]设(X,τ)为T0空间,∀A,B,G,H⊆X。则

(1)G≪SI2H⟺∀x∈H,G≪SI2x。

(2)G≪SI2H⟹G≤H。

(3)A≤G≪SI2H≤B⟹A≪SI2B。

(4)若y∈intτSI2↑H,则H≪SI2y。

命题1.4[16]设(X,τ)为T0空间,H为X上的一个非空定向有限子集族,若F≪SI2x且∩H∈H↑H⊆↑x,则∃H∈H使H⊆↑F。

定义1.6[6]设(X,τ)为T0空间。

(1)X称为B-空间,若∀x∈U∈τ,∃y∈X使x∈intτ↑y=↑y⊆U。

(2)X称为C-空间,若∀x∈U∈τ,∃y∈X使x∈intτ↑y⊆↑y⊆U。

(3)X称为超紧基空间,若∀x∈U∈τ,∃F∈X(<ω)使x∈intτ↑F=↑F⊆U。

定义1.7[16]设(X,τ)为T0空间,X称为交SI2-连续的,若对∀x∈X,F∈Irrτ(X)有x∈Fδ,则x∈clτSI2(↓x∩↓F)。

引理1.2[16]设(X,τ)为交SI2-连续空间,F∈X(<ω),则有intτSI2↑F⊆∪{SI2x:x∈F}。

定义1.8[4]设P为偏序集。U⊆P称为弱Scott开的,若对任意定向集D⊆P,Dδ∩U≠∅⟹D∩U≠∅。

P上由所有弱Scott开集构成的拓扑称为弱Scott拓扑,记为σ2(P)。

命题1.5[16,18]设(X,τ)为T0空间,则下述各条件等价:

(1)(X,τ)为SI2-连续的;

(2)(X,τSI2)为C-空间。

引理1.3[16]设P为偏序集,则以下条件成立:

(1)v(P)SI2=v(P)。

(2)α(P)SI2=σ2(P)。

引理1.4[18]设η,τ为X上的T0拓扑,若η⊆τ且它们的特殊化序一致,则ηSI2⊆τSI2。

由引理1.3和引理1.4,我们有如下推论。

推论1.1设P为偏序集,τ为P上一序相容拓扑,即v(P)⊆τ⊆α(P),则v(P)⊆τSI2⊆σ2(P)。

命题1.6[18]设(X,τ)为T0空间,则以下条件等价:

(1)τ=τSI2;

(2)对任意不可约闭集F⊆X,有F=Fδ。

引理1.5[19]设P为偏序集,τ为P上一拓扑且v(P)⊆τ⊆σ2(P),则对任意定向集D⊆P,有Dδ=clτD。

命题1.7设(X,η)为SI2-连续空间,若η为一序相容拓扑,则ηSI2=(ηSI2)SI2。

2 SI2-代数空间

定义2.1设(X,τ)为T0空间,X称为SI2-代数的,若对∀x∈X,下列条件成立:

(2)x=∨(↓x∩K(X))且↓x∩K(X)是定向的。

注记2.1若X⊆↓x,则x=∨(↓x∩K(X))⟺x∈(↓x∩K(X))δ。

命题2.1设(X,τ)为T0空间,则下述各条件等价:

(1)(X,τ)为SI2-代数的;

(2)(X,τ)为SI2-连续的,且x≪SI2y⟺∃k∈K(X)使x≤k≤y。

证明(1)⟹(2):显然,(X,τ)为SI2-连续的。若x≪SI2y,由(1),y∈(↓y∩K(X))δ且↓y∩K(X)定向。由命题1.1(3),则x∈↓(↓y∩K(X)),即∃k∈↓y∩K(X)使x≤k,从而x≤k≤y。反之,若∃k∈K(X)使x≤k≤y,则x≤k≪SI2k≤y。由命题1.2,有x≪SI2y。

定理2.1设(X,τ)为T0空间,则以下两条件等价:

(1)(X,τ)为SI2-代数的;

(2)(X,τSI2)为B-空间。

证明(1)⟹(2):对∀x∈X,U∈τSI2,x∈U,由(1),x∈(↓x∩K(X))δ且↓x∩K(X)定向。由SI2-开集定义可知,∃k∈↓x∩K(X)使得k∈U。易证x∈↑k=intτSI2↑k∈τSI2,从而有x∈↑k⊆U。

3 SI2-拟代数空间

定义3.1设(X,τ)为T0空间,X称为SI2-拟代数的,若对∀x∈X,下列条件成立:

(1)对∀F∈X(<ω),SI2F∈τ;

(2)K(x)是定向的;

(3)↑x=∩{↑F:F∈K(x)}。

命题3.1设(X,τ)为T0空间,则下述各条件等价:

(1)(X,τ)为SI2-拟代数的;

(2)(X,τ)为SI2-拟连续的,且F≪SI2x⟺存在有限G≪SI2G,使x∈↑G⊆↑F。

证明(1)⟹(2):显然,(X,τ)为SI2-拟连续的。若F≪SI2x,由命题1.4知,存在有限G≪SI2G,使得G⊆↑F,从而x∈↑G⊆↑F。反之,若存在有限G≪SI2G,使x∈↑G⊆↑F,则F≤G≪SI2G≤x,因此F≪SI2x。

(2)⟹(1):显然,对∀F∈X(<ω),SI2F∈τ。对∀x∈X,令F1,F2∈K(x),则F1≪SI2x,F2≪SI2x。因为fin(x)定向,则∃F∈fin(x)使F⊆↑F1∩↑F2,由(2),存在有限G≪SI2G使x∈↑G⊆↑F,因此G∈K(x)且F1,F2≤F≤G,从而K(x)是定向的。显然,↑x⊆∩{↑F:F∈K(x)}。若y∉↑x,因为(X,τ)为SI2-拟连续的,则∃H∈fin(x)使y∉↑H。由(2),存在有限E≪SI2E使x∈↑E⊆↑H,因此E∈K(x)且y∉↑E.。从而↑x=∩{↑F:F∈K(x)}。故(X,τ)为SI2-拟代数的。

定理3.1设(X,τ)为T0空间,则下述各条件等价:

(1)(X,τ)为SI2-拟代数的;

(2)(X,τSI2)为超紧基空间。

证明(1)⟹(2):对∀x∈X,U∈τSI2,有U≪SI2x。由命题1.4,则∃F∈K(x)使F⊆↑U,即↑F⊆↑U=U,故x∈intτSI2↑F=↑F⊆U。

再证,对∀E∈X(<ω),有SI2E∈τ。我们证明SI2E=intτSI2↑E。由命题1.3可知,intτSI2↑E⊆SI2E。反之,对∀x∈SI2E,令H={H∈X(<ω):x∈intτSI2↑H}。因为X为SI2-开的,由(2),∃F∈X(<ω)使得x∈intτSI2↑F=↑F⊆X,从而F∈H≠∅。任取H1,H2∈H,则x∈intτSI2↑H1∩intτSI2↑H2∈τSI2,由(2),∃G∈X(<ω)使x∈intτSI2↑G=↑G⊆intτSI2↑H1∩intτSI2↑H2⊆↑H1∩↑H2,故G∈H且H1,H2≤G,因此H定向。显然,↑x⊆∩H∈H↑H。若xy,则x∈X↓y∈τSI2,由(2),∃J∈X(<ω)使x∈intτSI2↑J=↑J⊆X↓y,因此J∈H且y∉↑J,故↑x=∩H∈H↑H。因为E≪SI2x,由命题1.4,∃K∈H使K⊆↑E,因此x∈intτSI2↑K⊆intτSI2↑E。故SI2E=intτSI2↑E∈τSI2⊆τ。

引理3.1[6]设(X,τ)为T0空间,F为X中的有限集,则↑F=↑Min(F),其中Min(F)为F中全体极小元之集。

定理3.2设(X,τ)为T0空间,则下述各条件等价:

(1)(X,τ)为SI2-代数的;

(2)(X,τ)为交SI2-连续和SI2-拟代数的;

(3)(X,τ)为交SI2-连续的,且满足:

(ⅰ) 对∀x∈X,↓x∩K(X)是定向的且SI2x∈τ;

证明(1)⟹(2):显然,(X,τ)为交SI2-连续和SI2-拟代数的。

(2)⟹(3):(ⅰ) 对∀x∈X,由(X,τ)为SI2-拟代数,有SI2x∈τ。下证↓x∩K(X)定向。任取m,n∈↓x∩K(X),则x∈↑m∩↑n∈τSI2,由定理3.1,∃F∈X(<ω)使x∈intτSI2↑F=↑F⊆↑m∩↑n,因为F为有限集,由引理3.1,有↑F=↑Min(F)。由引理1.2,有x∈↑Min(F)=↑F=intτSI2↑F=intτSI2↑Min(F)⊆∪{SI2t:t∈Min(F)},因此∃t∈Min(F)使t≪SI2x,由↑Min(F)⊆∪{SI2t:t∈Min(F)},∃s∈Min(F)使s≪SI2t,从而s≤t,由s,t∈Min(F),有s=t,因此t∈↓x∩K(X)且t∈↑m∩↑n。由(X,τ)为SI2-拟代数及定理3.1知,∃G∈X(<ω)使x∈intτSI2↑G=↑G⊆X,即∃y∈Min(G)使y∈↓x∩K(X),从而↓x∩K(X)≠∅,故↓x∩K(X)定向。

特别地,对任意偏序集P,当τ=α(P)时,由引理1.3,易知SI2-代数空间,SI2-拟代数空间以及交SI2-连续空间正好分别是文[7]中的S2-代数偏序集,S2-拟代数偏序集以及交S2-连续偏序集;当τ=ν(P)时,SI2-代数空间和SI2-拟代数空间正好分别是文[11]中的超代数偏序集和拟超代数偏序集。故由定理3.2,我们可以得到下述两个推论。

推论3.1[7]设P为偏序集,则下述各条件等价:

(1)P为S2-代数的;

(2)P为交S2-连续和S2-拟代数的;

推论3.2[11]设P为偏序集,则下述各条件等价:

(1)P为超代数的;

(2)P为交S2-连续和拟超代数的。

猜你喜欢
偏序特殊化等价
特殊化法在高考中的选择与使用策略
等价转化
特殊化策略解一道平面几何题
基于有限辛空间的一致偏序集和Leonard对
相对连续偏序集及其应用
n次自然数幂和的一个等价无穷大
从特殊化、极限化到一般通法的思考
可消偏序半群的可消偏序扩张与商序同态
一题多解,提高解题能力
收敛的非线性迭代数列xn+1=g(xn)的等价数列