二阶非齐次线性微分方程解的增长性

徐晓妍，肖丽鹏

(江西师范大学数学与统计学院，江西 南昌 330022)

1 引言和结果

在本文中将使用亚纯函数值分布理论中的标准符号{1，2},使用σ(f)表示亚纯函数f(z)的增长级,定义为

考虑微分方程

f''+e-zf'+Q(z)f=0

解的增长级，其中Q(z)是一个有限级整函数。

Gundersen对于Q(z)是一个超越整函数的情况证明了

定理A[3]若Q(z)是一个超越整函数σ(Q)≠1， 那么方程f''+e-zf'+Q(z)f=0的所有非零解都是无穷级的。

那么在这种情况下就产生了一个问题，方程f''+P(z)f'+Q(z)f=0的系数满足什么条件时，方程解的增长级才是无穷呢？陈宗煊研究了方程f''+A1(z)eazf'+A0(z)ebzf=0解的增长性，得到了

定理B[4]设Aj(z)(≢0)是整函数且σ(Aj)<1，(j=0，1)，a，b为复常数且满足ab≠0和a=cb(c>1)，那么方程

f''+A1(z)eazf'+A0(z)ebzf=0

的所有非零解都是无穷级的。

同时他还提出

定理C[4]假设a，b是非零复常数且a≠b，Q(z)是非常数多项式或Q(z)=h(z)ebz，h(z)是非零多项式。那么方程f''+eazf'+Q(z)f=0的每个非零解f都是无穷级的且σ2(f)=1。

在得到了定理B的结果后，陈宗煊研究了方程f''+(A1(z)eaz+D1)f'+(A0(z)ebz+D0)f=0解的增长性，得到了

定理D[4]设Aj(z)(≢0)，Dj(z)，(j=0，1)是整函数且σ(Aj)<1，σ(Dj)<1，a，b为复常数且满足ab≠0且arga≠argb或a=cb(0

的所有非零解都是无穷级的。

以上结果都是针对一些齐次线性微分方程得到的，那么当方程为非齐次线性微分方程时，在什么条件下方程的解均为无穷级呢?王珺在[5]中给出以下结果。

定理E[5]设Aj(z)(≢0)，(j=0，1)，H是整函数且σ(Aj)<1，σ(H)<1，a，b为复常数且满足ab≠0和a≠b，那么方程

f''+A1(z)eazf'+A0(z)ebzf=H(z)

的所有非零解都是无穷级的。

f''+(A1(z)eaz+D1)f'+(A0(z)ebz+D0)f=H(z)

的所有非零解都是无穷级的。

用多项式去替代定理E和定理F中的az和bz，方程系数满足什么条件时，方程解的增长级均为无穷呢?本文研究了这个问题并得到了以下结果。

定理1设Ak(z)(≢0)，(k=0，1)，H是整函数，m(≥1)为整数且σ(Ak)

f''+A1(z)eP(z)f'+A0(z)eQ(z)f=H(z)

(1.1)

的所有非零解都是无穷级的。

f''+(A1(z)eP(z)+D1)f'+(A0(z)eQ(z)+D0)f=H(z)

(1.2)

的所有非零解都是无穷级的。

2 证明定理所需引理

引理2.1[6]g(z)是有限级整函数，用νg(r)表示g的中心指标，则有

引理2.2[7]设n≥2，fj(z)(j=1，…，n)是亚纯函数，gj(z)(j=1，…，n)是整函数满足

(ⅱ)当1≤j≤k≤n时，gj(z)-gk(z)不是一个常数;

(ⅲ)E⊂(1，∞)是对数测度为有限的集合，当1≤j≤n，1≤h≤k≤n时，T(r，fj)=o(T(r，egh-gk))，(r→∞，r∉E)，那么fj(z)≡0(j=1，…，n)。

(2.1)

e-5πM(r，f)1-C(σ，ζ)≤|f(reiθ)|

(2.2)

(2.3)

引理2.6[9]设P(z)=(α+iβ)zn+…(α，β是实数，|α|+|β|≠0)为多项式且次数n≥1。A(z)(≡0)为整函数且σ(A)0，存在一个集合H1⊂[0，2π)，其线测度为零，使得对任意θ∈[0，2π)(H1∪H2)，存在常数R>0，当|z|=r>R时，有

(ⅰ)若δ(P，θ)>0， 则

exp{(1-ε)δ(P，θ)rn}<|g(reiθ)|

(2.4)

(ⅱ) 若δ(P，θ)<0， 则

exp{(1+ε)δ(P，θ)rn}<|g(reiθ)|

(2.5)

其中H2={θ:θ∈[0，2π)，δ(P，θ)=0}为有限集。

引理2.7[10]设f(z)是超越亚纯函数且σ(f)=σ<∞，H={(k1，j1)，…，(kq，jq)}是由不同整数对组成的有限集，且满足ki>ji≥0(i=1，2，…，q)，又设ε>0是任意给定的常数，则

(ⅰ)存在零测度集E1⊂[0，2π)，满足若φ∈[0，2π)E1，则存在常数R0=R0(φ)>1满足对所有的argz=φ和|z|≥R0的z及对所有(k，j)∈H都有

(2.6)

(ⅱ)存在对数测度为有限的集合E2⊂(1，∞)，使得对满足|z|∉E2∪[0，1]的所有z以及对所有(k，j)∈H仍有(2.6)成立。

(ⅲ)存在测度为有限的集合E3⊂[0，∞)使得对满足|z|∉E3的所有z以及对所有(k，j)∈H都有

(2.7)

成立。

3 定理1的证明

假设f(z)是方程(1.1)的非零解且σ(f)<∞，我们可以断言σ(f)≥m。若σ(f)

(3.1)

(3.2)

成立。根据中心指标的定义知，当r→∞时，νf(r)→∞。由引理2.1知，当r充分大时，有

νf(r)≤rσ(f)+1

(3.3)

由引理2.7中的(ⅱ)知，对所有z满足|z|=r∉E2∪[0，1]，其中E2是一个对数测度有限的集合，有

(3.4)

(3.5)

e-5πM(r，f)1-C≤|f(reiθ)|

(3.6)

下面我们将分3种情形讨论。

情形1若δ(P，θ0)>0，由δ(P，θ)的连续性知，对充分大的n有

(3.7)

结合引理2.6中的(2.4)知，对充分大的n有

(3.8)

由(3.1)可以得到

(3.9)

下面把情形1分成3种子情形讨论。

情形1.1设θ0满足η=δ(Q-P，θ0)>0，由δ(Q-P，θ)连续性可知，对充分大的n有

同理由引理2.6对充分大的n有

(3.10)

把(3.2)，(3.3)和(3.5)代入(3.9)中，对充分大的n有

(3.11)

结合(3.8)得

(3.12)

由(3.3)，(3.10)和(3.11)有，

矛盾。

情形1.2设θ0满足η=δ(Q-P，θ0)<0，由δ(Q-P，θ)连续性和引理2.6知，对充分大的n有

(3.13)

可以注意到此时仍有(3.11)和(3.12)成立，由(3.11)-(3.13)可知，当n→∞时有

即有

这说明当n→∞时，vf(rn)→0，矛盾。

η=δ(Q-P，θ)>0，

η=δ(Q-P，θ)<0，

和

(3.14)

成立。由引理2.5的证明过程，易知M(rn，f)≥

(3.15)

取l0充分小，由δ(P，θ)的连续性有δ(P，θ0*)>0，那么就有

(3.16)

把(3.4)和(3.15)代入(3.9)中可得，

再结合(3.14)和(3.16)可以得到，

矛盾。

(3.17)

由(3.1)知当n→∞时，

(3.18)

仍把情形2分成3种子情形说明。

(3.19)

将(3.2)，(3.4)，(3.5)和(3.17)代入(3.18)中得

(3.20)

再由(3.4)和(3.19)知，

矛盾。

(3.21)

由(3.18)得，当n→∞时，有

把(3.2)，(3.4)，(3.5)，(3.17)，(3.21)代入上式中，当n→∞时，有

这说明当n→∞时，νf(rn)→0，矛盾。

对于充分大的n，

矛盾。

情形3若δ(P，θ0)=0， 此时再对δ(Q，θ0)的情况进行讨论。

矛盾。

情形3.2若δ(Q，θ0)<0，由引理2.6中δ(P，θ)的定义，当P(z)=(α+iβ)zm+…时可以定义

由于am≠0，则δ'(P，θ0)≠0，取点列{zn'=rneiθn'}满足0<|θn'-θn|0说明对一个合适的l0有

(3.22)

由引理2.6即可知，对充分大的n有

(3.23)

(3.24)

由(3.4)，(3.15)，(3.22)-(3.24)知，

上是任意取的，对充分大的rn，由上式可以得到，

(3.25)

其中η1(θ)=(1-2ε)δ'(P，θ)，η2(θ)=(1-2ε)δ(P，θ)。

对所有的θ∈(θ0，θ0+l0)都有δ(P，θ)>0，因此有

(3.26)

用logf(rneiθ0)来表示对数函数logf(rneiθ)的主值即0≤arglogf(z)≤2π，由于

当rn充分大时，由上式得

log|f(rneiθ)|+2π≥|logf(rneiθ)|≥

即有log|f(rneiθ)|≥log|f(rneiθ0)|-4π-ξ(rn，θ)

(3.27)

exp{-(1-2ε)δ(P，θn*)rn}

(3.28)

矛盾。

当c<0时，取足够小的l0使得当θ∈(θ0，θ0+l0)或θ∈(θ0-l0，θ0)时，有δ(Q，θ)<0<δ(P，θ)类似于情形3.2，有(3.25)，(3.27)，(3.28)成立。Wiman-Valiron理论知，当n→∞时，νf(rn)→0，矛盾。

当00和δ(P，θ)>0，类似于情形1.3的方法，可得矛盾。

当c>1时，取足够小的l0使得当θ∈(θ0，θ0+l0)或θ∈(θ0-l0，θ0)时，有δ(Q-P，θ)<0<δ(P，θ)成立，并且当θn'∈(θ0，θ0+l0)或(θ0-l0，θ0)时，对点列{zn'=rneiθn'}有(3.15)成立。由(3.1)得

类似于情形3.2，有(3.25)，(3.27)成立。同样当n→∞时，νf(rn)→0，矛盾。

定理1证毕。

4 定理2的证明

假设f是方程(1.2)的非零解且σ(f)<∞，我们可以断言σ(f)≥m。若σ(f)

(4.1)

令σ=max{σ(D0)，σ(D1)}

Dj(z)≤exp{rσ+ε}，(j=0，1)

(4.2)

情形1若δ(Q，θ0)<0<δ(P，θ0)由引理2.6和δ(P，θ)与δ(Q，θ)的连续性，当n充分大时有

(4.3)

和

(4.4)

由(4.1)得

(4.5)

由(4.2)-(4.4)知，当n充分大时有

和

将(3.2)，(3.4)，(3.5)代入(4.5)中，当n充分大时，有

这说明当n→∞时，νf(rn)→0，矛盾。

情形2若δ(P，θ0)<0<δ(Q，θ0)，由引理2.6和δ(P，θ)与δ(Q，θ)的连续性，当n充分大时，有

(4.6)

和

(4.7)

由(4.1)即有

(4.8)

结合(4.2)，(4.6)，(4.7)知当n充分大时，有

和

定理2证毕。