从直观性角度对一道数列综合题的探究

200234 上海师范大学数理学院 邓 聪

直观想象是《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出的六大核心素养之一，它是指借助几何直观和空间想象来感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形理解和解决数学问题的素养.数列问题是近年来高考数学的考查重点，内容较为抽象、复杂.

笔者针对2021年上海春考数学卷中的一道数列综合题进行探究，从直观性角度来解决该问题.数列可以视作是定义在正整数集上的特殊函数，因此具备函数的一些固有特征，而原题中的数列是一个具有随机性的数列.所以笔者将其视作特殊的分段函数，利用直观性观察函数的图像，从而研究数列的性质.巧妙地借助几何直观描述问题间的复杂关系，能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，解题思路更加明朗.

1 解题探究

1.1 原题呈现

(2021上海春考数学卷-21) 已知数列{an}满足an≥0，对任意n≥2，an和an+1中存在一项使其为另一项与an-1的等差中项.

(1)已知a1=5，a2=3，a4=2，求a3的所有可能的取值.

(2)已知a1=a4=a7=0，a2，a5，a8为正数，求证：a2，a5，a8成等比数列，并求出公比q.

(3)已知数列中恰好有三项为0，即ar=as=at=0，2

1.2 题干分析

图1 图2

1.3 解答

图3图4

综上，a3的所有可能取值为1.

解：因为a1=a4=a7=0，且a2，a5，a8为正数，所以数列图像从a1处上升后必然要下降才能使得a4=0，又因为相连三项间的图像趋势满足图1或图2，所以图像在到达a2后就必须向下降落至零点，若上升到a3时才下降则此时图像不满足题意，同理可作出a4到a8的图像(如图5所示).

图5

当m=0时，即An的所有取值均为1，an+1=an+1，此时数列图像如图6所示.

图6

显然此时数列为等差数列且公差大于0，图像呈直线上升趋势，无法满足题干所述的恰有三项为0，所以m=0舍去.

图7

图8

1.4 注记

小问(3)的难点在于求an+1，笔者在此过程中计算an+1-an，这是因为题干中的数列是一个随机数列，故可将其视作是一个分段函数，通过作差发现数列各项之间的关系，同时作出此时的图像，更加直观地帮助理解.小问(3)实则是小问(2)的拓展与延伸，在小问(3)中也得到了ar+1，as+1，at+1成等比数列，两小问都可以巧妙地利用好“拐点”个数，作出图像快速解题.

2 拓展

第一，本题研究的数列是一个随机数列，且该数列图像存在两种情况，单纯用代数方法解题十分复杂，因此笔者通过作图，建立起形与数的联系，通过几何图形描述问题，从直观性角度帮助理解问题.

图9

a3=a2+A2，

a4=a3+A2A3，

…

(感谢冯朝君老师提供的部分思路)