立足通法快准求角

祁君华

【摘要】“解三角形”的解答题是“新高考”中的必考题型，第一问往往是求三角形的某一个内角，针对一次周练中学生出现的一些问题，本文归纳总结出几种方法.

【关键词】求角；通法；方法归纳

题目△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b=3c，tanA=2tanC.

（1）求A；

（2）若D为BC的中点，AD=19，求△ABC内切圆的半径.

解（1）解法1因为2b=3c，

由正弦定理得2sinB=3sinC.

由tanA=2tanC，得sinAcosC=2sinCcosA，

所以sinAcosC+cosAsinC=3sinCcosA，

即sin（A+C）=3sinCcosA，

所以sinB=3sinCcosA，

于是32sinC=3sinCcosA.

因为sinC≠0，

所以cosA=12.

又因为0<A<π，

所以A=π3.

解法2由tanA=2tanC，得

sinAcosC=2sinCcosA，

又由正、余弦定理得

a·a2+b2-c22ab=2c·b2+c2-a22bc，

化簡整理得3a2=b2+3c2，

将b=32c代入得a2=74c2，

即a=72c，

所以cosA=b2+c2-a22bc=32c2+c2-74c22·32c·c

=12.

又因为0<A<π，

所以A=π3.

解法3易得A，C均为锐角.

如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，

由tanA=2tanC，得

BHAH=2BHCH，

所以CH=2AH，

于是AH=13AC=b3，

cosA=AHAB=b3c=13×32=12.

又因为0<A<π，

所以A=π3.

（2）因为D为BC的中点，

所以AD=12（AB+AC），

两边平方，整理得b2+c2+bc=76，

又2b=3c，

解得b=6，c=4.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=28，

所以a=27.

设△ABC内切圆的半径为r，

由12（a+b+c）r=12bcsinA，

解得r=53-213.