线偏差控制的螺旋机动突防与导引一体化设计

赵 斌，刘天泽

(西北工业大学精确制导与控制研究所，西安 710072)

0 引 言

近些年，导弹攻防对抗技术一直在激烈的竞争中不断发展。在对地精确打击的飞行末段，导弹的速度与高度不断降低，相比中段和再入段更容易被防御方拦截，在末段通过机动的方式可有效提高突防能力[1]。

诸多突防手段中，采用螺旋、跳跃、摆式等[2]机动弹道实现突防是增强导弹生存能力的最有效手段[3]。本质上讲，机动突防会使得拦截武器的视线角速度、需用过载发生周期性变化，进而耗散速度使其失去拦截能力。从突防成功率角度看，机动特性越强越好[4]；然而，机动越剧烈就需要越强的过载能力以实现最终的对地精确打击。因此，采用合适的制导方法与机动策略实现两者的匹配至关重要。

目前，螺旋机动突防的主要思路有三种：

1) 基于虚拟目标运动轨迹设计和制导律跟踪实现螺旋机动。文献[5-6]采用对数螺旋运动模型设计了虚拟滑动目标轨迹，并设计自适应比例导引律实现对虚拟轨迹的跟踪，从而实现螺旋俯冲弹道。

2) 在传统的寻的制导律过载基础上合理加权螺旋机动过载，实现复合螺旋制导。文献[7-8]定义了螺旋角速度矢量，并基于其与速度矢量叉乘得到螺旋机动过载指令；文献[9-10]通过纵向和侧向正弦加速度的组合实现机动过载指令。

3) 基于视线角速率的周期性控制实现螺旋机动。文献[11-12]设计了二维平面考虑自动驾驶仪动态特性的滑模制导律；文献[13-17]将机动指令与期望视线角引入滑模面，设计了螺旋机动滑模制导律。在设计了正弦形式的视线角参考运动的参考上，考虑到导弹突防效能与飞行速度密切相关，文献[18]以速度损失最小为性能指标，基于最优控制设计了俯冲机动方法；文献[19]考虑终端速度约束，基于预测校正建立终端速度与机动幅值的对应关系，通过迭代获取最佳机动幅值。

以上方法成功地实现了机动突防与导引一体化，但存在着一定的局限性。文献[7-8]中的螺旋机动幅值无法人为设置或调节，它只取决于导弹的速度、螺旋角速度、速度前置角；文献[9-10]中的螺旋运动是围绕惯性系中的固定直线实现的，限制了导弹大范围机动和跟踪目标的能力；文献[11-19]中周期性的视线角变化在不同距离上会产生不同的机动特性，不易进行螺旋半径与螺旋频率的参数化设计。

为了保证导弹的打击效能，在制导律的设计中需要考虑终端角度的约束。对于终端角度约束，现有文献已经进行了很充分地考虑。文献[5-6]将终端的弹道倾角与偏角作为边界条件生成虚拟螺旋弹道，导弹通过对虚拟轨迹的跟踪实现指定角度攻击目标。文献[8,13,15-19]则在滑模面或者状态方程中引入终端落角约束项实现对目标的期望角度打击。此外，相比常规寻的制导，机动突防与导引一体化设计通过额外的附加过载实现了机动突防弹道，因此过载约束的问题应该被重点考虑。然而上述方法在设计时没有考虑到实际飞行中导弹可用过载有限的问题，或者只对过载进行简单地限幅而未对限幅造成的误差进行补偿，导致其工程使用受限。

综上，本文提出了基于线偏差控制的螺旋机动突防与导引一体化方法。其创新是提出了线偏差控制模型，将机动突防弹道分解为虚拟导引弹道和相对机动弹道，对两者分别设计输入约束制导律，从而实现螺旋机动的过载约束。这样的好处是简化了弹道运动过程，物理含义明确，便于开展机动突防一体化和过载约束的设计工作。本文首先定义了虚拟弹道坐标系和虚拟视线坐标系，在此基础上建立了基于线偏差控制的机动突防与导引一体化设计模型；其次，设计了可用过载与终端角度约束的虚拟导引弹道制导律；第三，提出了一种运动过载约束的螺旋机动线偏差指令信号，并设计了相对机动弹道制导律；分别基于指令滤波和扩张状态观测器分别解决输入受限和干扰估计问题；最终基于Lyapunov稳定性理论证明了闭环系统稳定性，并采用数学仿真验证了方法有效性。

1 数学建模

1.1 坐标系定义及转换

螺旋机动弹道可看作是以寻的导引弹道为基础，附加上相对螺旋运动的一种弹道。如图1所示，M1,M2,T分别代表导弹虚拟质心、实际质心和目标位置；V1,V2分别是虚拟质心与实际质心速度；曲线M1T是由虚拟导引弹道制导律产生的虚拟导引弹道，M1M2为线偏差，在相对机动弹道制导律作用下，其纵向分量与侧向分量按照一定规律变化即可实现螺旋机动突防弹道M2T。

图1 坐标系定义Fig.1 Definition of the coordinate frames

为了对虚拟质心的运动进行描述，本文参考飞行力学坐标系的定义，建立新的虚拟坐标系如下：

1) 虚拟惯性坐标系M1X1Y1Z1

原点位于初始时刻导弹虚拟质心M1处；M1X1轴在水平面内，指向目标在水平面投影为正；M1Y1轴与水平面垂直，向上为正；M1Z1轴按右手准则确定。

2) 虚拟视线坐标系M1Xs1Ys1Zs1

原点位于虚拟质心M1处；M1Xs1轴由虚拟质心指向目标；M1Ys1轴位于包含M1Xs1轴的铅锤面，垂直于M1Xs1轴向上为正；M1Zs1轴按右手准则确定。

3) 虚拟弹道坐标系M1Xm1Ym1Zm1

原点为虚拟质心M1；M1Xm1轴与虚拟质心速度V1重合；M1Ym1轴位于包含M1Xm1轴的铅锤面垂直于M1Xm1轴向上为正；M1Zm1轴按右手准则确定。

同理，以实际质心M2为基准，可建立实际惯性坐标系M2X2Y2Z2、实际弹目视线坐标系M2Xs2Ys2Zs2以及实际弹道坐标系M2Xm2Ym2Zm2。各坐标系之间按照“2-3”转换顺序可得相关的欧拉角如表1所示：

表1 各坐标系转换角度Table 1 Transformation angles between the coordinate frames

根据表1中的角度可实现各坐标系之间的变换，各坐标系之间的转换关系如图2所示。可见本文所定义的虚拟坐标系与实际坐标系之间的关系是一一对应的，两者通过线偏差联系到了一起。

图2 坐标系转换示意图Fig.2 Illustration of coordinate frame transformation

1.2 制导模型

本文将实际突防弹道分解为虚拟导引弹道和相对机动弹道，因此制导律设计也可分为两部分：

(1) 虚拟导引弹道制导律：将虚拟质心导向目标；

(2) 相对机动弹道制导律：设计相对虚拟质心的运动规律，实现实际质心弹道的螺旋机动。

首先，建立虚拟质心与目标的相对运动方程[20]：

(1)

式中：R1为虚拟质心与目标相对距离；g为重力加速度；ny1,nz1是虚拟质心在虚拟弹道系过载；d11和d12代表未知干扰和系统有界不确定误差。

定义x10=[qγ1,qλ1]T,u1=[ny1,nz1]T,d1=[d11,d12]T，由式(1)可建立虚拟导引弹道制导律模型：

(2)

其次，建立虚拟质心与实际质心相对运动模型。定义Rr,Vr,ar分别为实际质心与虚拟质心的相对位置矢量(即线偏差)、速度矢量和加速度矢量。则有：

(3)

根据定义，在虚拟弹道系中有Rr=[0yrzr]T；虚拟弹道系相对于虚拟惯性系的旋转角速度矢量Ω在虚拟弹道系中的投影为：

(4)

将式(4)代入式(3)，可得：

(5)

将式(4)、(5)代入式(3)中，可得：

(6)

定义n2=[nx2ny2nz2]T为实际弹道系过载矢量，可得实际弹道系到虚拟弹道系的转换矩阵：

(7)

结合式(6)和式(7)，可得：

(8)

式中：d21和d22是忽略nx2和角加速度项所产生的不确定性误差。

定义x20=[yr,zr]T,u2=[ny2,nz2]T,d2=[d21,d22]T，可得虚拟质心与实际质心的相对运动方程如下：

(9)

其中，g2=gL(pγ,pλ)，

f2=

2 机动突防与导引一体化设计

2.1 虚拟导引弹道制导律设计及稳定性分析

虚拟弹道制导律的设计目标是设计虚拟过载指令u1，使得虚拟视线角x10收敛于x1d=[qγd,qλd]T,qγd和qλd分别为期望视线高低角与方位角。

定义控制误差：

s1=R1x11+V1c1(x10-x1d)

(10)

式中：c1为待设计正定对角矩阵。

设计指令滤波器实现对输入量u1的指令限幅：

(11)

引理1[21].选择合适的滤波器带宽，可保证指令滤波器误差有界，即可假设存在实数1>0，使得滤波器误差1。

考虑到指令滤波器产生的误差，定义补偿误差：

z1=s1-ε1

(12)

其中,ε1为待设计补偿项。上式求导并代入式(2)，(12)得：

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：i=1,2。

为消除指令滤波器的误差，设计误差补偿项ε1：

(17)

为证明系统稳定性，给出相关假设引理如下。

引理4[24].给定向量X,Y和正定矩阵M，有：

2XTY≤XTMX+YTM-1Y

定理1.对于虚拟导引弹道模型(2)，若采用虚拟控制律(15)和扩张状态观测器(16)，则闭环系统补偿误差z1以及控制误差s1最终一致有界。

证. 第1步，证明误差补偿项的有界性。

(18)

根据假设1、引理1和引理4，式(18)可化为：

(19)

通过选取合适的控制参数，满足以下不等式：

(20)

式中：λ11,λ12为正实数。根据式(20)，式(19)可写为：

(21)

对式(21)两边同时积分可得：

(22)

根据引理3，系统误差补偿项ε1最终一致有界，通过选择合适的控制参数可以保证系统误差足够小。

(23)

根据引理2和引理4，式(23)可化为：

(24)

通过选取合适的控制参数，满足以下不等式：

(25)

式中：λ13,λ14为正实数。根据式(25)，式(24)可化为：

(26)

对式(26)两边同时积分可得：

(27)

根据引理3结合式(12)可知，系统误差项z1,s1最终一致有界，通过选择合适控制参数可保证系统误差足够小，从而让基准弹道收敛到期望视线角上。

2.2 相对机动弹道制导律设计

相对机动弹道制导律的设计目标是设计相对机动过载指令u2，使得线偏差矢量x20精确跟踪其指令信号x2d=[yc,zc]T,yc,zc为待设计的线偏差指令。

定义线偏差跟踪误差s2：

(28)

式中：c2为待设计正定对角矩阵。

设计指令滤波器实现对输入量u2的指令限幅：

(29)

考虑到指令滤波器带来的误差，定义补偿误差：

z2=s2-ε2

(30)

式中：ε2为待设计的辅助变量。对式(30)求导，并代入式(9)，有：

(31)

k2s2+l2sgn(z2)]

(32)

(33)

为消除指令滤波器误差，设计误差补偿项ε2：

(34)

为证明系统稳定性，给出相关假设如下。

定理2.对于相对机动弹道模型(9)，若采用虚拟控制律(32)和扩张状态观测器(33)，则闭环系统补偿误差z2以及控制误差s2最终一致有界。

证. 第1步，证明误差补偿项的有界性。

(35)

根据引理1和假设2，式(35)可化为：

(36)

通过选取合适的控制参数，满足不等式：

(37)

式中：λ21,λ22为正实数。根据式(37)，式(36)可化为：

(38)

对式(38)两边同时积分可得：

(39)

根据引理3，系统误差补偿项ε2最终一致有界，通过选择合适参数可以保证控制误差足够小。

(40)

根据引理2、假设3和引理4，式(40)可化为：

(41)

通过选取合适的控制参数，满足以下不等式：

(42)

式中：λ23,λ24为正实数。根据式(42)，式(41)可化为：

(43)

对式(43)两边同时积分可得：

(44)

根据引理3结合式(30)可知，系统误差项z2s2最终一致有界，通过选择合适的控制参数可以保证系统误差足够小，实现对线偏差机动指令的跟踪。

2.3 线偏差机动信号设计

为实现螺旋机动，设计如下线偏差机动信号：

(45)

式中：yc和zc分别为纵向和侧向线偏差指令；lb,kc分别式螺旋机动半径和频率；ξ0为相位；t为时间。

根据式(45)，可以通过改变lb可精确控制螺旋机动半径的大小，进而间接调节需用过载。根据虚拟导引弹道的过载，设计机动半径lb的变化规律：

(46)

式中：nmax为导弹的最大可用过载；D为控制机动结束的正实数。通过式(46)实时改变机动半径，可以实现在过载能力约束下的机动突防。考虑到lb变化较快会对系统跟踪造成不利影响，故对其限幅使用：

lc=SR(lb)

(47)

此外，为了确保指令的平滑过渡，让lc通过一阶滤波环节，得到最终指令l：

(48)

式中：τ为时间常数，ld(0)=0。

综上所述，机动突防与导引一体化方法的实现流程图如图3所示。

图3 机动突防与导引一体化方法流程图Fig.3 Flow chart of the integrated method of maneuvering penetration and guidance

3 仿真校验及分析

以巡航导弹突防PAC-3拦截弹、实施对地打击为例进行仿真试验，导弹和拦截弹的相关参数及仿真初值如表2所示，导引律参数如表3所示。

表2 初始仿真场景Table 2 Initial simulation scenario

表3 控制参数表Table 3 Control parameters

PAC-3拦截弹采用比例制导律，其过载指令表达式为：

式中：VI,θI,ψVI分别为拦截弹速度、弹道倾角与偏角；比例导引系数N=3，最大可用过载为20。

图4 无机动弹道曲线Fig.4 Trajectory curve in no maneuvering

1) 无机动状态下的数学仿真验证

对无机动状态下弹道进行仿真。令线偏差机动信号为0，得到图4所示的仿真结果。仿真结果显示拦截弹脱靶量为1.0 m，远小于PAC-3导弹的战斗部杀伤半径20 m，突防失败。因此采用螺旋机动的方法提高导弹的突防能力是很有必要的。

2) 对比仿真验证

采用文献[15]的方法进行对比仿真，表达式为：

式中：r1和r2分别为纵向和侧向平面内的弹目距离。参数取值为：Q=0.01,c3=c4=0.9,k3=k4=1.3,ε3=ε4=0.8，其它参数同表3。仿真结果如图5所示，此时突防导弹的脱靶量为0.3 m，拦截导弹的脱靶量为75.9 m，该方法成功在兼顾制导精度的情况下实现了末端角度约束下(图5(c),(d)所示)的螺旋机动突防。但是该方法未考虑过载约束，导致过载最大达到了近150(图5(b)所示)，限制了其工程应用。

3) 本文方法的数学仿真验证

考察螺旋机动的突防效能，选择不同的导弹的可用过载约束值进行对比仿真，具体场景如下：

场景1：纵向和侧向过载均被约束在±20以内；

场景2：纵向和侧向过载均被约束在±30以内。

图6和图7分别是场景1和场景2的仿真结果。此时场景1的突防导弹脱靶量为0.1 m，拦截导弹脱靶量为40.7 m；场景2的突防导弹脱靶量为0.4 m，拦截导弹脱靶量为136.2 m。两种场景下突防导弹均满足了精确制导与机动突防的需求，且场景2在可用过载约束值更高的情况下实现了更大的拦截弹脱靶量，故突防导弹的机动过载越大突防效果越好。公式(46)根据线偏差运动规律对螺旋半径变进行调节(图6, 7中的(c))，来保证螺旋机动过载不要过小或者过大，平衡了过载约束与突防效能之间的矛盾。考察突防导弹的实际弹道与虚拟导引弹道，图6, 7中的(a),(d),(e),(f)中对两种弹道均有展示，可见所设计的方法有效满足了过载约束(图6、7中的(d))和末端角度约束(图6, 7中的(e),(f))的要求。虚拟导引弹道趋向于收敛，将突防导弹指引向目标，导弹的实际弹道则围绕着虚拟导引弹道做螺旋机动，两者的相对位置关系关系通过线偏差衡量(图6, 7中(b)所示)。

总体上，两种场景下导弹的实际弹道以变幅值正弦规律围绕虚拟导引弹道机动，虚拟导引弹道曲线相对于实际弹道更平滑。由于弹目相对距离的减小和虚拟导引过载的收敛，突防导弹做幅值逐渐增大的正弦波动，直到弹目距离达到8000 m以内时，导弹停止机动，导弹的线偏差与过载趋于0。相比于对比仿真的方法，本方法在考虑了过载约束的同时兼顾了导弹的突防效能，使拦截弹产生了较大的脱靶量。

4) 蒙特卡洛仿真验证

通过打靶试验验证制导律在不同初始飞行条件下的制导精度与突防效能。以场景2的中的条件为基础，引入突防导弹初始位置(x0,y0,z0)、导弹初始视线角qγ0和qλ0的偏差，均服从3σ=30%的正态分布，进行500次打靶试验。仿真结果如图8～9所示。所有试验中突防导弹脱靶量均小于0.6 m，制导精度高；共有481次试验中拦截弹脱靶量大于20 m，突防率达到96.2%，突防效能高。

图6 场景1下的仿真结果Fig.6 Simulation results in Scenario 1

图7 场景2下的仿真结果Fig.7 Simulation results in Scenario 2

图8 突防导弹脱靶量Fig.8 Miss distance of the penetrating missile

图9 拦截导弹脱靶量概率分布图Fig. 9 Probability distribution of the miss distance of the interceptor missile

4 结 论

导弹机动突防需要兼顾突防效能和制导精度，针对此问题，本文提出了一种考虑可用过载与终端角度约束的螺旋机动突防与导引一体化设计方法。提出了线偏差控制模型，并结合指令滤波器的控制方法，有效解决了螺旋机动过载的约束问题。仿真结果显示，本方法成功实现了过载约束下的螺旋机动突防，并且兼顾了突防效能与制导精度。相比于传统方法的优势在于： (1)线偏差机动指令的幅值、频率分别对应螺旋机动半径和机动频率，物理意义明确，便于参数化设计； (2)理论上保证了所设计的虚拟导引过载指令和相对机动过载指令均满足需用过载约束，更便于工程实现。