数学竞赛、强基计划中不定方程解法探究

徐小花 李丽荣 杨 平 (北京市日坛中学 100020)

1 因式分解法

例1

(2021全国高中数学联赛江西省预赛第2题)方程的正整数解的组数为

．解析 由得(

x

-2 021)(

y

-2 021)=43·47，因为43·47共有9个正因数，即

因此方程有9组正整数解．

点评

对分式方程先通分再因式分解，这里的因式分解的含义和通常的有些不同，我们进行的不是彻底分解．然后将2 021分解为素数43,47的乘积．利用排列组合知识可以知道2 021有9个正因数．再利用整数唯一分解定理可以将问题解决．整数唯一分解定理：设

a

>1，则必有其中

p

(1≤

i

≤

k

)是素数，在不计素数乘积的次序的意义下，表达式(*)是唯一的．

例2

(2021清华大学领军计划第1题)已知

a

,

b

,

c

,

d

都是正整数，且

a

=

b

，

c

=

d

，

c

-

a

=77，求

d

-

b

．解析 设

a

=

x

，

b

=

x

，

c

=

y

，

d

=

y

，其中

x

,

y

均为正整数，则

c

-

a

=

y

-

x

=(

y

+

x

)(

y

-

x

)=77=11×7，故或于是可得或(舍)，所以

例3

(2021北京大学优秀中学生寒假学堂第4题)若

m

+

n

+99

mn

=33，且

m

,

n

∈

N

，则(

m

,

n

)有

组．解析 对式子进行因式分解，即(

m

+

n

-33)(

m

+

n

+33-

mn

+33

m

+33

n

)=0，显然故

m

+

n

-33=0，则符合题意的(

m

,

n

)有32组．

点评

通过例2和例3可以看出，运用因式分解法求解不定方程的最大困难点就是对所给条件进行因式分解，而且是通过利用整数分解的有限性和唯一性来解决的，不是彻底分解，也就是常常将因式分解法与整除结合起来．下面给出的几道小题供读者练习因式分解法．练习1 (2020北京大学强基计划第7题)方程19

x

+93

y

=4

xy

的整数解的个数为( )．

A．4 B．8 C．16 D．前三个答案都不对

提示 19

x

+93

y

=4

xy

⟹(4

x

-93)(4

y

-19)=19×93=3×19×31．(参考答案：B)练习2 (2020中国科技大学创新班初试第5题)

x

-

y

=4

p

，

x

,

y

为正整数，

p

为素数，则

x

-

y

=

．提示

x

-

y

=4

p

⟹(

x

-

y

)(

x

+

y

)=4

p

=2·

p

．(参考答案：6

p

+2)练习3 (2020上海交通大学强基计划第14题)方程

x

(

x

+1)-1=

y

的正整数解的个数为

．

提示(参考答案：1)

2 取模同余法

例4

(2020复旦大学自主招生第21题)方程3

x

+4

y

+12

z

=2 020的非负整数解的组数为

．解析 由于4

y

≡0(mod 4)，12

z

≡0(mod 4)， 2 020≡0(mod 4)，所以3

x

≡0(mod 4)．不妨设

x

=4

m

(

m

≥0,

m

∈

N

)．由题可知3×4

m

+4

y

+12

z

=2 020，即3

m

+

y

+3

z

=505．由3

m

+

y

+ 3

z

=505可知，3(

m

+

z

)≡505-

y

≡0(mod 3)，即

y

≡1(mod 3)．不妨设

y

=3

n

+1(

n

≥0,

n

∈

N

)．将

x

=4

m

(

m

≥0,

m

∈

N

)和

y

=3

n

+1(

n

≥0,

n

∈

N

)代入方程，化简可得

m

+

n

+

z

=168．于是可知满足条件的非负整数(

m

,

n

,

z

)有组，故方程3

x

+4

y

+12

z

=2 020的非负整数解的组数为

点评

对于多元一次不定方程，我们常常借助取模同余转化为可以用隔板法的问题，隔板是求解多元一次不定方程的常用方法．在例4中对于不定方程

m

+

n

+

z

=168，满足条件的非负整数(

m

,

n

,

z

)有组，就是利用隔板得出的．首先将不定方程等价转化(

m

+1)+(

n

+1)+(

z

+1)=168+3=171，我们将171看成是171个1，将这些1排成一排，形成170个空格，插入两块板，将171个1分为三堆，每一堆就对应着一个数．当然隔板法和取模同余法不是万能的，更加一般的方法其实是格点法(因为文章篇幅的原因在本文不举例介绍)．很多问题先取模同余再利用隔板法或格点法可以大大降低运算的难易程度．

例5

(2021北京大学语言类保送试题第11题)设

a

,

b

是正整数

n

的正因素，使得(

a

-1)(

b

+2)=

n

-2，则

n

可以等于( )．

A．2 020B．2×2 020

C．3×2 020D．前三个答案都不对

解析 由(

a

-1)(

b

+2)=

n

-2展开化简得

ab

+2

a

-

b

=

n

，注意到

a

,

b

是正整数

n

的正因素，即

n

≡0(mod

a

)，

n

≡0(mod

b

)，对式子

ab

+2

a

-

b

=

n

进行同余运算

.

因为

ab

≡0(mod

a

)，2

a

≡0(mod

a

)，

n

≡0(mod

a

)，故

b

≡0(mod

a

)．同理2

a

≡0(mod

b

)，不妨设

b

=

xa

，2

a

=

yb

，

x

,

y

∈

N

，于是可得2

ab

=

xyab

，即

xy

=2，所以或进一步可知

b

=

a

或者

b

=2

a

，从而

n

=

a

·

a

+2

a

-

a

=

a

(

a

+1)或者

n

=

a

·2

a

+2

a

-2

a

=2

a

．依次检验，

n

=2×2 020满足题意，此时

a

=2 020，

b

=2×2 020．

点评

充分利用条件“

a

,

b

是正整数

n

的正因素”，等价转换为

n

≡0(mod

a

)，

n

≡0(mod

b

)，再利用同余定理可以进一步获得

a

与

b

之间的数量关系，在问题的解决过程中也用到了因式分解法．同样我们给出两道小题供读者练习取模同余法．练习4 (2016清华大学领军计划第13题)关于

x

,

y

的不定方程

x

+615=2的正整数解的组数为

．提示 由于615=3×5×41，615≡0(mod 3)，可得

x

≡2(mod 3)．又因为2≠0(mod 3)，故

x

≡1(mod 3)，于是2≡1(mod 3)，则

y

为偶数

.

设

y

=2

m

，

m

∈

Z

，即22-

x

=615⟹(2-

x

)(2+

x

)=3×5×41，再利用因式分解法可知(参考答案：1)练习5 (2020北京大学优秀中学生暑假体验营第1题)已知正整数

a

,

b

,

n

满足

a

!+

b

!=5，求(

a

,

b

,

n

)．提示 由奇偶性原则可以判断出

a

=1，

b

为偶或

b

=1，

a

为偶

.

不妨设

a

=1，再由5≡0(mod 5)，可知当

b

≥5时，

a

!+

b

!≡1(mod 5)不符合题意，对

b

=1,2,3,4逐一检验．(参考答案：(1,4,2)或(4,1,2))

3 分类讨论法

例6

(2021全国高中数学联赛福建预赛试题第10题)若整数

a

,

b

,

c

满足0≤

a

≤10，0≤

b

≤10，0≤

c

≤10，10≤

a

+

b

+

c

≤20，则满足条件的有序数组(

a

,

b

,

c

)共有

组．方法1 设

a

+

b

=

t

，则0≤

t

≤20．当0≤

t

≤10时，满足条件的(

a

,

b

)有对，即(

t

+1)对，此时10-

t

≤

c

≤10，

c

的取值有[10-(10-

t

)]+1种，即(

t

+1)种．此时满足条件的有序数组(

a

,

b

,

c

)共有(

t

+1)组；当11≤

t

≤20时，满足条件的(

a

,

b

)有(21-

t

)对，此时0≤

c

≤20-

t

，

c

的取值有[(20-

t

)-0]+1种，即(21-

t

)种．此时满足条件的有序数组(

a

,

b

,

c

)共有(21-

t

)组．综上所述，满足题意的有序数组(

a

,

b

,

c

)共有方法2 设

a

+

b

+

c

=

k

，则10≤

k

≤20．当

k

=10时，满足条件的(

a

,

b

,

c

)有组；当11≤

k

≤20时，满足条件的(

a

,

b

,

c

)有组．综上所述，满足题意的有序数组(

a

,

b

,

c

)共有

点评

例4用分类讨论法将问题转化为已经比较熟悉的不定方程问题，如方法1中当0≤

t

≤10时，满足条件的(

a

,

b

)转化为

a

+

b

=

t

的非负整数解问题，用隔板法很快就可以解答．同样的，方法2中当

k

=10时，将问题转化为

a

+

b

+

c

=11的非负整数解问题，也是用隔板法解决．在最后的求和部分，方法1用到了平方和公式方法2用到了杨辉三角的斜和性练习6 (2016清华大学领军计划第2题)设正整数

x

,

y

,

z

满足则这样的

x

,

y

,

z

有

组．提示 由

x

≤

y

≤

z

，可知，即3≤

x

≤6．当

x

=3时，通分化简后6

y

+ 6

z

=

yz

，对其因式分解后得(

y

-6)(

z

-6)=36=2×3，符合题意的

x

,

y

,

z

有5组;当

x

=4时，对其因式分解后得(

y

-4)(

z

-4)=16=2，符合题意的

x

,

y

,

z

有3组;当

x

=5时，对其因式分解后得(3

y

-10)(3

z

-10)=2×5，符合题意的

x

,

y

,

z

有1组;当

x

=6时，对其因式分解后得(

y

-3)(

z

-3)=3，符合题意的

x

,

y

,

z

有1组．

本文仅列举了求不定方程整数解的三种常用策略，其实在求解不定方程问题时常常还会用到格点法、枚举法、奇偶分析法等更加基本的方法．很多问题往往需要先用本文介绍的因式分解法、取模同余法和分类讨论法这三种方法转化构造后再借助基本方法得到最后结果．