单色料反射光谱曲面配色方法

陈三长， 金福江， 周丽春

(华侨大学 机电及自动化学院， 福建 厦门 361021)

在纺织印染中，采用反射光谱表征颜色比三刺激值更加全面和客观[1-2].单色料反射光谱曲线与染料质量占比(染料质量与布质量的比值)之间的关系十分复杂[3-4]，采用全反射光谱[3]进行配色需要在全波段范围内与目标反射光谱尽量匹配，从而使表色更加全面.准确的反射光谱描述函数是全反射光谱配色的关键.Zhang等[5]采用光谱波峰、波谷和区域平均反射率等离散点表达光谱特性，可较好地描述光谱曲线的局部特征，但无法表达光谱曲线的整体特征.王波等[6]通过Bezier曲线描述反射光谱，得到准确的反射光谱解析表达式，并给出控制点与染料质量占比的关键函数关系，建立反射光谱与染料质量占比之间的关系，但该方法仅描述Bezier控制点与染料质量占比之间的变化曲线.

单色料上染时，单色料反射率的函数为可见光波长和染料质量占比的函数[7]，在三维空间中可用曲面进行表征.上述单色料配色模型仅对有限个反射光谱或有限个单色料反射率与染料质量占比的变化曲线进行描述，仅描述曲面的有限条曲线，因此，对单色料配色模型的描述并不全面.基于此，本文提出一种单色料反射光谱曲面配色方法.

1 单色料反射光谱曲面建模

1.1 单色料反射光谱曲面

单色料上染时，单色料反射率的函数是染料质量占比和可见光波长的二元函数，在三维空间内是一个曲面[8]，称为反射光谱曲面.反射光谱曲面的定义(定义1)及定理(定理1)如下.

定义1单色料上染时， 单色料反射率r(0≤r≤1)随着可见光波长λ(λ>0)和染料质量占比c(0≤c≤100)变化的函数表示为f(λ，c).当染料质量占比c为定值时，f(λ，c)表征实际单色料上染时的反射光谱曲线；当可见光波长λ为定值时，f(λ，c)表征实际单色料上染时，固定可见光波长下单色料反射率随着染料质量占比变化的反射光谱曲线.定义集合S={400 nm≤λ≤700 nm，0%≤c≤6.0%}，即λ∈[400 nm，700 nm]，c∈[0%，6.0%].该集合的可见光波长范围、染料质量占比范围均为染整工业中的常用范围，如果f(λ，c)是单值连续性函数[9]，且一阶偏导存在且连续[10-11]，则将f(λ，c)定义为反射光谱曲面.

定理1反射光谱曲面有以下4个性质.

1) ∀(λ0，c0)∈S，在实际单色料上染中，f(λ0，c0)为单值函数.

根据实际单色料反射率随着染料质量占比和可见光波长变化的函数，定义了反射光谱曲面，反射光谱曲面应保证定义域内连续且光顺，与实际单色料反射率随着染料质量占比和可见光波长的连续变化一一对应.单色料反射光谱曲面很好地表征了单色料上染时的配色模型.

在可见光波长范围和染料质量占比范围内，红、黄、蓝3色的单色料反射率表征了染料对不同波段的作用大小.因此，将红、黄、蓝3色光的中心可见光波长分为3个波段，分别为蓝光波段(400 nm≤λ≤505 nm)、黄光波段(505 nm≤λ≤615 nm)和红光波段(615 nm≤λ≤700 nm).需说明的是，由于反射光谱曲面处处连续，处处光顺，3个波长范围的左、右区间均为闭区间，不用对边界进行明确分类，边界点满足边界两侧的函数关系，染料质量占比分类亦如此.

染料质量占比的变化会引起反射光谱的变化，在染整配色中，二者为非线性变化.将染料质量占比分为低质量占比(0%≤c≤0.4%)、中质量占比(0.4%≤c≤1.2%)和高质量占比(1.2%≤c≤6.0%)，不同染料质量占比的反射光谱呈现较大差异，因而需要描述不同染料质量占比作用于反射光谱的局部特性.根据染料质量占比分段和可见光波长分段将单色料反射光谱曲面划分为9个曲面片(图1)，根据曲面片的局部特性，将9个曲面片分为3类，即反射光谱中心曲面、反射光谱边曲面、反射光谱角曲面.

图1 单色料反射光谱曲面模型

3类反射光谱曲面的定义(定义2～4)及定理(定理2～4)如下.

定义2若fc(λc，cc)为集合Sc={505 nm≤λ≤615 nm，0.4%≤c≤1.2%}内的反射光谱曲面函数，则称fc(λc，cc)为反射光谱中心曲面函数.

定理2反射光谱中心曲面属于反射光谱曲面，定义域为Sc={505 nm≤λ≤615 nm，0.4%≤c≤1.2%}.

根据定义2，单色料反射光谱曲面的曲面片5为反射光谱中心曲面.

定义3若fe(λe，ce)为集合Se内的反射光谱曲面函数，且与反射光谱中心曲面fc(λc，cc)有且仅有一条交线he，c(λe，c，ce，c)，(λe，c，ce，c)∈Se，c，Se，c=Se∩Sc，同时，保证反射光谱中心曲面与fe(λe，ce)光顺连接，则称fe(λe，ce)为反射光谱边曲面函数.

定理3反射光谱边曲面有以下3个性质.

1) 反射光谱边曲面属于反射光谱曲面，因此，Se∈S，Se，c∈S.

2) 根据定理1，反射光谱曲面函数在定义域内是连续的，因此，反射光谱中心曲面和反射光谱边曲面在交线处需满足连续性条件，即he，c(λe，c，ce，c)=fe(λe，c，ce，c)=fc(λe，c，ce，c).

根据定义3，单色料反射光谱曲面的曲面片2，4，6，8为反射光谱边曲面，反射光谱边曲面与反射光谱中心曲面存在一条交线.因此，增加了连续性和一阶导数连续性约束条件.

定义4若fh(λh，ch)为集合Sh内的反射光谱曲面函数，且与两个反射光谱边曲面fe，a(λe，a，ce，a)((λe，a，ce，a)∈Se，a)，fe，b(λe，b，ce，b)((λe，b，ce，b)∈Se，b)有且存在两条不同的交线hh，e，a(λh，e，a，ch，e，a)((λh，e，a，ch，e，a)∈Sh，e，a)，hh，e，b(λh，e，b，ch，e，b)((λh，e，b，ch，e，b)∈Sh，e，b)，则称fh(λh，ch)为反射光谱角曲面函数.

定理4反射光谱角曲面有以下4个性质.

1) 反射光谱角曲面属于反射光谱曲面，因此，Sh∈S，Sh，e，a∈S，Sh，e，b∈S.

2)Sh，e，a=Sh∩Se，a，Sh，e，b=Sh∩Se，b.

3) 根据定理1，反射光谱曲面函数在定义域内是连续的，因此，反射光谱角曲面和反射光谱边曲面在交线处需满足连续性条件，即hh，e，a(λh，e，a，ch，e，a)=fe，a(λh，e，a，ch，e，a)=fh(λh，e，a，ch，e，a)，hh，e，b(λh，e，b，ch，e，b)=fe，b(λh，e，b，ch，e，b)=fh(λh，e，b，ch，e，b).

根据定义4，单色料反射光谱曲面的曲面片1，3，7，9为反射光谱角曲面，反射光谱角曲面与两个反射光谱边曲面相邻.因此，增加了连续性和一阶导数连续性约束条件.

1.2 反射光谱中心曲面建模

曲面片5为反射光谱中心曲面，解析函数为

(1)

式(1)中：(λc，cc)∈Sc；i为可见光波长的幂次，i=0，1，…，mc，1；j为染料质量占比的幂次，j=0，1，…，mc，2；ac，i，j为反射光谱中心曲面的多项式系数.

1.3 反射光谱边曲面建模

曲面片2为反射光谱边曲面，定义域Se，2={505 nm≤λe，2≤615 nm，0%≤ce，2≤0.4%}，交线定义域Se，c，2={505 nm≤λe，c，2≤615 nm，ce，c，2=0.4%}，曲面片2的解析函数为

.

(2)

式(2)中：(λe，2，ce，2)∈Se，2；i表示可见光波长的幂次，i=0，1，…，me，2，1；j表示染料质量占比的幂次，j=0，1，…，me，2，2；ae，2，i，j为曲面片2函数的多项式系数.

曲面片2为反射光谱边曲面，其函数的约束条件为

(3)

式(3)中：he，c，2为反射光谱中心曲面和曲面片2的交线.

曲面片4为反射光谱边曲面，定义域Se，4={400 nm≤λe，4≤505 nm，0.4%≤ce，4≤1.2%}，交线定义域Se，c，4={λe，c，4=505 nm，0.4%≤ce，c，4≤1.2%}，曲面片4的解析函数为

(4)

式(4)中：(λe，4，ce，4)∈Se，4；i表示可见光波长的幂次，i=0，1，…，me，4，1；j表示染料质量占比的幂次，j=0，1，…，me，4，2；ae，4，i，j为曲面片4函数的多项式系数.

曲面片4为反射光谱边曲面，其函数的约束条件为

(5)

式(5)中：he，c，4为反射光谱中心曲面和曲面片4的交线.

曲面片6为反射光谱边曲面，定义域Se，6={615 nm≤λe，6≤700 nm，0.4%≤ce，6≤1.2%}，交线定义域Se，c，6={λe，c，6=615 nm，0.4%≤ce，c，6≤1.2%}，曲面片6的解析函数为

(6)

式(6)中：(λe，6，ce，6)∈Se，6；i表示可见光波长的幂次，i=0，1，…，me，6，1；j表示染料质量占比的幂次，j=0，1，…，me，6，2；ae，6，i，j为曲面片6函数的多项式系数.

曲面片6为反射光谱边曲面，其函数的约束条件为

(7)

式(7)中：he，c，6为反射光谱中心曲面和曲面片6的交线.

曲面片8为反射光谱边曲面，定义域Se，8={505 nm≤λe，8≤615 nm，1.2%≤ce，8≤6.0%}，交线定义域Se，c，8={505 nm≤λe，c，8≤615 nm，ce，c，8=1.2%}，曲面片2的解析函数为

(8)

式(8)中：(λe，8，ce，8)∈Se，8；i表示可见光波长的幂次，i=0，1，…，me，8，1；j表示染料质量占比的幂次，j=0，1，…，me，8，2；ae，8，i，j为曲面片8函数的多项式系数.

曲面片8为反射光谱边曲面，其函数的约束条件为

(9)

式(9)中：he，c，8为反射光谱中心曲面和曲面片8的交线.

1.4 反射光谱角曲面建模

曲面片1为反射光谱角曲面，其定义域Sh，1={400 nm≤λh，1≤505 nm，0%≤ch，1≤0.4%}，交线的定义域Sh，e，1，a={λh，e，1，a=505 nm，0%≤ch，e，1，a≤0.4%}，Sh，e，1，b={400 nm≤λh，e，1，b≤505 nm，ch，e，1，b=0.4%}，曲面片1的解析函数为

(10)

式(10)中：(λh，1，ch，1)∈Sh，1；i为可见光波长的幂次，i=0，1，…，mh，1，1；j为染料质量占比的幂次，j=0，1，…，mh，1，2；ah，1，i，j为曲面片1函数的多项式系数.

曲面片1为反射光谱角曲面，其函数的约束条件为

(11)

式(11)中：hh，e，1，a为曲面片1和曲面片2的交线；hh，e，1，b为曲面片1和曲面片4的交线.

曲面片3为反射光谱角曲面，其定义域Sh，3={615 nm≤λh，3≤700 nm，0%≤ch，3≤0.4%}，交线的定义域Sh，e，3，a={λh，e，3，a=615 nm，0%≤ch，e，3，a≤0.4%}，Sh，e，3，b={615 nm≤λh，e，3，b≤700 nm，ch，e，3，b=0.4%}，曲面片2的解析函数为

(12)

式(12)中：(λh，3，ch，3)∈Sh，3；i为可见光波长的幂次，i=0，1，…，mh，3，1；j为染料质量占比的幂次，j=0，1，…，mh，3，2；ah，3，i，j为曲面片3函数的多项式系数.

曲面片3为反射光谱角曲面，其函数的约束条件为

(13)

式(13)中：hh，e，3，a为曲面片3和曲面片2的交线；hh，e，3，b为曲面片3和曲面片6的交线.

曲面片7为反射光谱角曲面，定义域Sh，7={400 nm≤λh，7≤505 nm，1.2%≤ch，7≤6.0%}，交线的定义域Sh，e，7，a={λh，e，7，a=505 nm，1.2%≤ch，e，7，a≤6.0%}，Sh，e，7，b={400 nm≤λh，e，7，b≤505 nm，ch，e，7，b=1.2%}，曲面片7的解析函数为

(14)

式(14)中：(λh，7，ch，7)∈Sh，7；i为可见光波长的幂次，i=0，1，…，mh，7，1；j为染料质量占比的幂次，j=0，1，…，mh，7，2；ah，7，i，j为曲面片7函数的多项式系数.

曲面片7为反射光谱角曲面，约束条件为

(15)

式(15)中：hh，e，7，a为曲面片7和曲面片8的交线；hh，e，7，b为曲面片7和曲面片4的交线.

曲面片9为反射光谱角曲面，定义域Sh，9={615 nm≤λh，9≤700 nm，1.2%≤ch，9≤6.0%}，交线的定义域Sh，e，9，a={λh，e，9，a=615 nm，1.2%≤ch，e，9，a≤6.0%}，Sh，e，9，b={615 nm≤λh，e，9，b≤700 nm，ch，e，9，b=1.2%}，曲面片9的解析函数为

.

(16)

式(16)中：(λh，9，ch，9)∈Sh，9；i为可见光波长的幂次，i=0，1，…，mh，9，1；j为染料质量占比的幂次，j=0，1，…，mh，9，2；ah，9，i，j为曲面片9函数的多项式系数.

曲面片9为反射光谱角曲面，其函数的约束条件为

(17)

式(17)中：hh，e，9，a为曲面片9和曲面片8的交线；hh，e，9，b为曲面片9和曲面片6的交线.

2 单色料反射光谱曲面的色差模型

国家照明委员会(CIE)标准色度系统下的三刺激值X，Y，Z的计算公式分别为

(18)

(19)

单色料反射率r为反射光谱上的一点，因此，可通过f(λ，c)分片计算三刺激值X，Y，Z.

亨特色度空间的明度LH和色品指数aH，bH的计算公式分别为

(20)

式(20)中：fX，A，fX，B，fZ，B均为常数，随着选用的标准色度观察者和标准照明体的不同而改变，对于CIE1964观察者[12]和D65标准照明体[13]，fX，A=0.768 3，fX，B=0.179 8，fZ，B=1.073 3.

亨特色差ΔEH的计算公式为

(21)

式(21)中：ΔLH为明度差；ΔaH，ΔbH均为色调差.

根据式(20)可得单色料明度和色品指数的预测值；实际打样后可测量实际的单色料反射光谱，根据式(20)可得单色料明度和色品指数的实际值；通过式(21)可得单色料明度、色品指数预测值和实际值之差，从而验证单色料反射光谱曲面模型的准确性.

3 实验结果与分析

3.1 仪器设备和药品

染色设备为全能试色机(图2)；辅助设备为染液滴定机(图3)、小样实验罐；染料为活性红EC-2BL；织物为纯棉汗布；测色仪器为DataColor 800型测色仪(美国DataColor公司)；助剂为赛得利元明粉、纯碱、固色碱；其他药品为皂液(质量分数为2%)、双氧水(质量分数为27.5%)、片碱、SF-2型低泡精炼剂、TF-189型漂白剂、冰醋酸、除氧酶.

图2 染液滴定机 图3 全能试色机

3.2 小样实验验证

对单色料反射光谱曲面的9个曲面片进行正交实验.单色料反射光谱曲面实验表，如表1所示.由表1可知：实验需要对染料质量占比分别为0.02%，0.06%，0.10%，0.20%，0.40%，0.60%，0.80%，1.00%，1.20%，1.60%，2.00%，2.20%的染液进行单色料染色小样实验.活性红EC-2BL小样实验配方表，如表2所示.表2中：m为布质量；ρ为质量浓度.

表1 单色料反射光谱曲面实验表

表2 活性红EC-2BL小样实验配方表

纯棉汗布在使用前需要使用双氧水(质量分数为27.5%)、片碱、SF-2型低泡精炼剂、TF-189型漂白剂进行漂白处理，漂白浴比为1∶10，对于10 g布质量，调制100 mL的漂白液，其中，双氧水为0.6 mL，片碱为0.15 g，低泡精炼剂为0.1 mL，漂白剂为0.1 mL.在100 ℃下漂白30 min，再使用冰醋酸(0.05 mL)、除氧酶(0.03 mL)及适量水，将漂白后的纯棉汗布进行清洗与脱水处理，脱水后的纯棉汗布便可用于小样染色.根据表2进行小样实验，获得单色料反射光谱曲线，结合表1提取不同可见光波长和染料质量占比的单色料反射率，确定活性红EC-2BL单色料反射光谱曲面的多项式系数，并验证采用单色料反射光谱曲面模型预测单色料反射光谱的准确性，以及采用单色料反射光谱曲面模型预测单色料反射率随着染料质量占比变化曲线的的准确性.小样实验有以下6个步骤.

步骤1使用染液滴定机进行染液配制，配制的染液盛放于小样实验罐.

步骤2提前启动全能试色机，并将全能试色机的运行温度设置为60 ℃恒温，保证全能试色机运行一段时间，且内部温度稳定在60 ℃.

步骤3将漂白处理后的10 g纯棉汗布快速放入小样实验罐，并将小样试验罐密封，快速放置于全能试色机，在60 ℃恒温中染色45 min.

步骤410 g纯棉汗布在全能试色机中染色45 min(60 ℃恒温)后取出，清洗小样试验罐，用低流速水小心冲洗样布，再置于小样实验罐，吸取100 mL皂液(质量分数为2%)后置于小样实验罐，100 ℃下皂洗10 min.

步骤5皂洗结束后，将10 g纯棉汗布取出，用低流速水冲洗样布表面残留染液，并用脱水机将样布简单脱水，置于烘箱中烘干，最后置于低温中冷却5 min.

步骤6将冷却后的样布置于DataColor 800型测色仪的测量孔中测量反射光谱，得到染后10 g纯棉汗布的反射光谱.

使用DataColor 800型测色仪测量冷却后的样布，可得实验表中对应的染料质量占比和单色料反射率，经计算可得活性红EC-2BL单色料反射光谱曲面9个曲面片函数的多项式系数，如表3所示.表3中：ai，j(i=0，1，2，3；j=0，1，2)为曲面片函数的多项式系数.

表3 活性红EC-2BL曲面片函数的多项式系数

使用DataColor 800型测色仪测得冷却后活性红EC-2BL单色料反射光谱曲线，如图4所示.通过单色料反射光谱曲面模型，构建活性红EC-2BL单色料反射光谱曲面，如图5所示.使用DataColor 800型测色仪可测得可见光波长分别为450，550，650 nm时，活性红EC-2BL染料质量占比分别为0.02%，0.06%，0.10%，0.20%，0.40%，0.60%，0.80%，1.00%，1.20%，1.60%，2.00%，2.20%的单色料反射率，并使用活性红EC-2BL单色料反射光谱曲面模型预测可见光波长分别为450，550，650 nm时，单色料反射率随着染料质量占比变化的曲线，如图6所示.使用DataColor 800型测色仪测得染料质量占比分别为0.06%，0.60%，1.60%时的活性红EC-2BL单色料反射光谱曲线(实际反射光谱曲线)，并使用活性红EC-2BL单色料反射光谱曲面模型预测染料质量占比分别为0.06%，0.60%，1.60%时的反射光谱(预测反射光谱曲线)，结果如图7所示.

图4 活性红EC-2BL单色料反射光谱曲线 图5 活性红EC-2BL单色料反射光谱曲面

图6 单色料反射率随着染料质量占比变化的曲线 图7 单色料反射光谱曲线

3.3 结果分析

根据活性红EC-2BL小样实验结果，计算可见光波长分别为450，550，650 nm时，单色料反射率随着质量占比实际变化曲线与预测变化曲线的线性度(R)[14]和均方根误差(ΔEEMC)[15]，结果如表4所示.计算染料质量占比分别为0.06%，0.60%，1.60%时，活性红EC-2BL实际反射光谱曲线和预测反射光谱曲线的线性度、均方根误差和D65光源[16]下的色差(ΔE)，结果如表5所示.

表4 不同可见光波长下单色料反射率变化情况

表5 不同染料质量占比下反射光谱变化情况

预测反射光谱曲面与实际反射光谱曲面非常接近，说明采用多项式建模方法构造反射光谱曲面具有有效性(图5).由表4可知：预测反射光谱曲线与实际反射光谱曲线的线性度较高，均方根误差较小，证明构建的反射光谱曲面能够准确地预测单色料反射率随着染料质量占比变化的曲线.由表5可知：预测反射光谱曲线与实际反射光谱曲线的线性度较高，均方根误差较小，色差较小，虽然在低质量占比段色差偏大，但仍满足CIE标准的要求(色差小于4)，属于工业可接受范围.因此，反射光谱曲面建模方法可以准确地预测单色料反射光谱曲线.

4 结束语

采用多项式建模方法，构造单色料反射率随着染料质量占比和可见光波长变化的反射光谱曲面，构建全面的反射光谱曲面模型，比有限曲线描述单色料反射光谱曲面的方法更加全面准确.通过活性红EC-2BL进行有限组小样实验，对单色料反射率随着染料质量占比变化曲线的准确性进行验证.文中构建的单色料反射光谱曲面模型较为准确地实现了单色料反射光谱曲线和单色料反射率随着染料质量占比变化曲线的预测.