平面带形区域上一类解析函数的Bohr现象

林珍连， 曾旭暾

(1. 华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021；2. 泉州师范学院 外国语学院， 福建 泉州 362000)

1 预备知识

2010年，文献[5]考虑了区域Ω为一类移动圆盘，当

时，解析函数族B(Ωγ)的Bohr不等式，可得定理A.

2021年，文献[6]改进和推广了文献[5]的结果，结果之一为定理B.

关于经典Bohr不等式的更多改进和推广，可参见文献[7-16].

文中考虑当区域Ω是带形区域S={z=x+iy∈C:-1

2 主要结果及其证明

证明以下引理.

由于f(z)∈B(S)，故|f(z)|≤1，由Schwarz-Pick引理，有

|f′(z)|≤λS(z)(1-|f(z)|2)，z∈D.

特别地，当z=0时，上式化为

(1)

当n≥2时，对任何给定的正整数n，令

N为任一正整数，则有

g(z)=a0+anzn+a2nz2n+a3nz3n+…∈B(S)，

再令

综上所述，引理得证.

利用引理1探讨B(S)函数族的Bohr现象，得到了这类函数的Bohr半径和两个Bohr不等式. 证明B(S)解析函数族的Bohr半径.

证明：由引理1，可得

(2)

对定理1进行一些改进和推广，首先，证明其中一个改进版(定理2).

证明：因为f(z)∈B(S)，由引理1，可得

由于|a0|≤1，所以B1(r)≤1.当B1(r)=1时，有f(z)=c，|c|=1.证毕.

证明：不失一般性，记|a0|=a∈[0，1]，由引理1，可得

记

g(a)=a+A(1-a2)+B(1-a)(1-a2)+C(1-a2)2，a∈[0，1].

g′(a)=1-2Aa+B(3a2-2a-1)+4C(a3-a)，

g″(a)=-2A+2B(3a-1)+4C(3a2-1).

因为B和C都是非负数，所以g″(a)关于a的函数在(0，1)内是单调递增函数，从而有

经计算可得a≥1，由题设可知a≤1，从而|a0|=1，由最大模原理可知，f(z)=c，|c|=1.

由引理1可知，Ω⊃D为一般的单连通区域时，有类似的结论成立.换而言之，带形区域可以推广到一般单连通区域.