小初高一体化背景下培养初中生数学运算核心素养的实践研究

北京市日坛中学 初 雨 樊 梦 罗晓航

《义务教育数学课程标准（2011版）》中指出运算能力是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。

结合数学学科具有的逻辑性、连续性的特点，在小初高一体化背景下，梳理清楚不同学段发展学生数学运算核心素养的任务，在课堂上进行相关的教学实践，并积累相关教学经验，形成一定的教学方法是十分有必要的。

一、选择适当的学习载体，实现小升初平稳衔接

初中数学第一章为“有理数”，探究数及其运算是中小学数学课程的核心内容，有理数的学习是在自然数、正分数及其运算的基础上展开的学习，研究有理数的思想方法是后续研究数与式的基础。学生在小学时对自然数的理解比较到位，相关运算掌握得也更为准确和熟练。而分数则是一个难点，无论是分数的概念还是分数的相关运算，因其抽象性和复杂性，造成错误率还是较高的。为了更好地适应初中的学习，教学时以分数为载体，渗透研究数的基本思路与方法，不失为一个承上启下的有效研究对象。

在课堂上教师设计了与小学分数来源于实际生产生活的需要不同，从运算的角度，帮助学生发现分数产生的必然性.学生从数系内部发展的需要，感受自然数对除法的不封闭，使得数系得到扩充，了解原有的自然数“不够用”的冲突，感受分数的引入也是数学内部发展的必然。

再以分数运算为载体，感受数学运算的探究思路。理解分数的意义，是弄清算理的前提，为后续研究分数运算奠定好认知基础。通过调研发现学生对分数的意义，有下列三种不同的理解方式：

方式一：把一个整体平均分成5份，其中的3份。

方式二：把“3”平均分成了5份，其中的一份。

方式三：3除以5的商。

学生对分数意义的理解蕴含着不同的认知过程和对分数概念的不同层次的抽象和理解。方式一反映出学生对分数的理解是以实物为背景的，处于具体思维阶段。方式二中学生把“3”理解为一个数字，抽象地把“3”进行了平分。方式三中学生对分数的理解是一种运算过程，同时还是一种运算的结果。在教学时，引导学生从运算的角度认识分数，深入认识分数，理解分数的深层次含义。

研究数的核心是研究数的运算，小学自然数的运算涉及加减乘除四则运算，以及相应的运算律，引入分数后，原有的运算法则是否依然适用，是学习分数时研究的核心。在教学时，为了达到掌握算理、理解算法的目标，可以从算法入手，明确分数加减法的法则，探究运算程序构建运算流程，达到掌握算法、厘清算理、得出正确结论的目标。

认知发展心理学强调：儿童是认知的主动建构者，儿童在学习过程中，不断将新概念与原有认知结构中的概念相联结，进而形成新的认知结构，这样学习才具有意义。在进入有理数概念学习之前，先以分数为研究对象开展学习，是符合认知发展心理学的。

二、大单元活动设计下，逐步提升数学运算能力

根据课程标准的要求，为了发展学生的数学运算核心素养，教学中教师对相关内容进行了整合，以大单元设计的理念为指导，帮助学生逐步达成学习目标。以下以“有理数的加法”为例，对所开展的教学实践进行说明。

有理数的加法，是学生学习了有理数的相关概念之后接触的第一个运算。本单元的教学以学生原有对数的运算能力为基础，从运算封闭的角度认识了负数引入的必要性之后，对有理数的运算进行探究。学生在之前的学习中已经从认识运算对象的角度学习了有理数。由于加法在运算中的基础地位，选择其作为本单元的教学研究对象。

有理数加法的教学设计通过对法则的探究明确运算法则，清楚运算算理从而达到运算能力要求的第一水平；探究运算程序并正确执行，得出正确结果，构建运算流程的意识，是在明确法则的基础上进一步的要求，需要学生不仅会算，还能通过图示将运算步骤反映出来，达到运算能力要求的第二水平；第三水平需要学生利用运算律，依据算式的特征，简化运算。通过三个水平层次的逐一落实培养学生的运算能力。

第一课时：有理数的加法法则

通过复习有理数的分类以及小学的运算经验，确定本节课研究的对象是两个有理数的加法。通过学生对正数与正数的加法的解释，建立具体的情境，学生通过对具体情境的分析体会研究方法，通过观察算式与数轴，找到它们之间的联系，得出确定符号和绝对值计算的方法，感受数形结合和转化思想，并归纳有理数加法法则，再有根据地开展有理数加法的运算。

第二课时：有理数的加法运算律

通过运用流程图解决课前调研中学生提出的假分数与带分数乘除法容易出错的问题，体会流程图对理解法则，明确运算过程的作用。通过练习巩固有理数加法法则，进一步明确运算步骤，仿照带分数乘法流程图，学生自主设计有理数加法运算的流程图。通过验证运算律的合理性进一步开始探究多个有理数的加法运算的顺序，运算对象进一步发展，分析运算的思路，发现可以通过改变运算顺序简化运算。

第三课时：有理数加法综合

运算对象进一步递进，继续探究多个有理数的加法，探索具有一定特殊形式的数字之间的关系，利用结构特征优化运算顺序，从而优化运算程序，达到简化运算的效果。利用运算律优化多个有理数相加的运算过程，形成有理数加法简便运算的经验，通过运算律的使用。从对运算对象的理解和运算程序的优化两个层面继续对有理数的加法进行理解，体会运算思路的进一步探索。总结单元教学的知识和方法，学生提出接下来研究的思路。

通过大单元设计，帮助学生对运算对象的认识逐渐从低到高得到发展，对于运算能力的要求也从明确法则—形成运算程序—优化运算顺序的不同水平从低到高得到发展。

三、形成反思习惯，发展自我监控能力，提升运算素养

反思是数学思维活动的核心和动力，也是数学思维的一种重要形式。涉及运算的问题多种多样，及时地总结反思，不仅能够提升学生学习知识的稳固度，构建稳定的知识链，而且有利于培养学生拥有严谨的学习习惯，发展学生的自我监控能力。

引领学生反思可以从以下五个问题入手：第一，怎样做出来的？即解题方法是什么。第二，为什么这样做？即解题的依据是什么.第三，怎么想到这种方法？即解题的思路是什么。第四，有无其他方法？哪种方法更好？优化解题思路，选取最优策略。第五，改变某些条件或结论能否得出相关变式？一题多变，促使思维发散。

在教学设计时以某道错题为例，在左侧写一写解决问题的思路，在中间写出正确的解题过程，在右侧写出本题所涉及的所有知识点。这样做可以让学生明确自己知识上的欠缺，也能够清楚正确的解题思路，有利于学生反思自己的解题过程，提升自我解题的监控能力，从而实现数学运算素养的逐步提升。

诚然，数学运算素养的提升任重而道远，需要长期的坚持培养与不断的训练。数学的运算素养，需要分阶段分步骤有计划地进行培养，对学生进行必要的训练，使学生具备基本的运算技能，避免繁杂的题型训练，由易到难，明算理，知思路，既符合学生的认知规律，也能促进数学运算素养的逐步提升。

史宁中教授认为：数学核心素养就是数学基本思想的具体表现，具体地，即会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。开展提升数学运算核心素养的教学实践研究，能够帮助学生学会数学思考、发展思维能力，进一步培养理性精神。