一道圆锥曲线定线问题的探究

四川省名山中学(625100)高继浩

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点M的直线l:y=kx+1 与椭圆C的另一个交点为N,P为线段MN的中点,射线OP与椭圆交于点D.点Q为直线OP上一动点,且,求证: 点Q在定直线上.

将试题第(2)问进行拓展得到:

命题1如图1,已知过点(0,n)(n≠0)的直线与椭圆交于M,N两点,P为线段MN的中点,O为坐标原点,射线OP与椭圆交于点D,点Q为直线OP上一动点,则的充要条件是点Q在直线上.

图1

图2

图3

在命题3 的证明过程中令t=1 即可证得命题2,故只证命题3.

证明当直线MN的斜率存在时, 设其方程为y=k(x-m)+n,与椭圆方程联立,消去y得

将命题3 引申到双曲线中,得到:

命题4如图4, 已知过点 (m,n)(m2+n2≠0)的直线与双曲线1(a ＞0,b ＞0)交 于M,N两点,P为线段MN的中点,O为坐标原点,射线OP与双曲线交于点D, 点Q为直线OP上一动点,则的充要条件是点Q在直线上.

图4

将命题3 的证明过程(k=0 的情况舍去)中的b2用-b2替换即可证得命题4,不再赘述.