函数的凹凸性与切线的条数探究*

福建省莆田第一中学(351100)曾献峰

纵观近3年的全国卷,可以发现曲线的切线问题是高考中的一个高频考点,例如,2020年I卷第6 题,II卷理科第5题,III卷第10 题;2021年I卷第7 题,II卷第11 题,甲卷理科第13 题,乙卷理科第21 题;2022年I卷第10,11,14,15 题,II卷第14 题,乙卷理科第21 题等.其中一类过点且与函数相切的直线条数问题,在求解时往往需要以导数为工具来研究函数的性质与图象特征,有较强的综合性,是培养学生直观想象,逻辑推理,数学运算,数学抽象等数学核心素养的良好载体,值得一探究竟.

如不作特别说明,下文出现的函数y=f(x)均是定义域上的二阶可导函数,即y=f(x)为凸函数⇔f′′(x)≥0;y=f(x)为凹函数⇔f′′(x)≤0.

1 凸函数的切线探究

探究1若定义在R 上的凸函数y=f(x)有t条渐近线,则过点P(a,b)可作几条直线与曲线y=f(x)相切?

解析设过点P(a,b)且与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0)的切线方程为y=f′(x0)(x - x0)+f(x0), 则b=f′(x0)(a-x0)+f(x0),令F(x)=f′(x)(a-x)+f(x)-b,则可作的切线条数与函数y=F(x)的零点个数相同.F′(x)=f′′(x)(a-x)+f′(x)·(-1)+f′(x)=f′′(x)(a-x),由f′′(x)≥0, 易得当x ＜a时,F′(x)＞0; 当x ＞a时,F′(x)＜0; 所以F(x)在(-∞,a)上单调递增, 在(a,+∞)上单调递减;F(x)max=F(a)=f(a)-b, 若F(a)＜0 即b ＞f(a),则F(x)无零点,即不存在过(a,b)且与y=f(x)相切的切线;

(1)若t=0,即y=f(x)无渐近线,则当x →±∞,都有f(x)→+∞;所以当x →±∞,F(x)→-∞;若F(a)=0即b=f(a),F(x)恰有1 个零点a,即过(a,b)仅有1 条直线与y=f(x)相切;若F(a)＞0 即b ＜f(a),F(x)有2 个零点,即过(a,b)可作2 条直线与y=f(x)相切;

综上可得: 如图1 所示,坐标平面被曲线y=f(x)分割成I,II两个区域, 过区域I内的点可作0 条切线; 过区域II内的点可作2 条切线;过曲线上的点仅可作1条切线.

图1

例如,直线l:x=n交曲线于点O1,则过O1切线仅有1 条,过l上位于O1下方的点可作2 条切线,过O1上方的点的切线不存在.

(2)若t=1,即y=f(x)有一条渐近线,

综上可得: 如图2,3 所示,坐标平面被曲线y=f(x)和渐近线y=kx+m分成三个区域I,II,III,过区域I内的点可作0 条切线;过区域II内的点可作2 条切线,过曲线上的点或渐进线上的点或区域III内的点仅可作1 条切线.例如直线l:x=n交曲线于点O2,交渐近线于O1,则过线段O1O2内部的点可作2 条切线,过O1及下方的点仅有1 条切线,过O2仅有1 条切线,过O2上方的点的切线不存在.

图2

图3

情况2若f(x)有右渐近线即0,则x →-∞,f(x)→+∞;所以x →-∞,F(x)→+∞;如图4,5 所示,同理可得,与情况1相同的结论.

图4

图5

则F(x)无零点,不存在过(a,b)与y=f(x)相切的直线;

综上所述,如图6 所示,曲线y=f(x)及其渐近线将坐标平面分成5 个区域I,II, III,IV,V, 过区域I,IV 内的点可作0 条切线;过区域II内的点可作2 条切线;过区域III,V 内的点或过曲线上点可作1 条切线; 过两渐近线交点O可作0 条切线; 过射线OA,OB上的点(不含O)可作1 条切线;过射线OC,OD上的点(不含O)可作0 条切线.例如,直线l:x=n分别交曲线与其渐近线于点O3,O2,O1,则过l上的点O3或线段O2O1(不含O1)上的点仅可作1 条切线;过O3上方或O1下方的点的切线不存在,过线段O2O3(不含端点)上的点的切线有2 条.

图6

2 凹函数的切线探究

探究2若定义在R 上的凹函数y=f(x)有t条渐近线,过点P(a,b)作函数y=f(x)的切线,可以作几条?

解析令g(x)=-f(x),则g(x)为凸函数,由探究1 可得类似结论,再将其关于x轴对称,便可得凹函数的相关切线结论,此处不再一一罗列.

3 半凸半凹函数的切线探究

若二阶可导函数y=f(x)满足f′′(x0)=0 且在x=x0附近两侧f′′(x)异号,称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的拐点,其图像特征为y=f(x)在x=x0两侧凹凸性发生改变.下面对一类半凸半凹函数的切线问题进行探究.

探究3若函数y=f(x)有唯一的拐点(x0,f(x0)),过点P(a,b)作函数y=f(x)的切线,可以作几条?

解析若f′′(x)从负变化到正, 且f′′(x)仅有一个零点, 即当x ＜x0,f′′(x)＜0;x ＞x0,f′′(x)＞0, 则f(x)在(-∞,x0)上是凹函数,在(x0,+∞)上是凸函数,即函数y=f(x)先凹后凸(先凸后凹的情况与此类似)

(1)若f(x)无渐近线

同探究1 中解析所示,记F(x)=f′(x)(a-x)+f(x)-b,F′(x)=f′′(x)(a - x), 则F(a)=f(a)- b,F(x0)=f′(x0)(a - x0)+f(x0)- b, 记拐点(x0,f(x0))处的切线方程为g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0).

①若a=x0,则F′(x)≤0,F(x)在R 上单调递减,若F(a)=0 即b=f(a),F(x)有唯一零点x0,则过(x0,f(x0))仅可作1 条切线; 若F(a)＞0,即b ＜f(a),由单调性可知F(x)在R 上有唯一零点, 即过(x0,b)仅可作1 条切线; 若F(a)＜0,即b ＞f(a),由单调性可知F(x)在R 上有唯一零点,即过(x0,b)仅可作1 条切线.

②若a ＜x0,则当x ∈(-∞,a)∪(x0,+∞),F′(x)＜0;当x ∈(a,x0),F′(x)＞0; 所以F(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.

③若a ＞x0,同②中的情况一样分类讨论,同理可得类似结论.

综上,如图7 所示,坐标平面被曲线y=f(x)和拐点O处的切线分成4 个区域I,II,III,IV.过区域I,II内的点仅可作1 条切线;过区域III,IV 内的点可作2 条切线;过拐点O可作1 条切线l1;过曲线上的点或切线l1上的点(除拐点O以外)可作2 条切线.例如,直线l:x=n交曲线于点O1,交l1于点O2,则位于线段O1O2内部的点可作3 条切线;位于O1上方或O2下方的点可作1 条切线;过O1或O2均可作2条切线.

图7

(2)若y=f(x)有1 条渐近线,类似探究1 以及(1)中的求解过程可得相应的结论,以y=f(x)有一条左渐近线为例,如下结论: 如图8 所示,坐标平面被曲线y=f(x),拐点O处的切线l拐以及渐近线l渐分成7 块区域;过区域I和VI内的点可作3 条切线;过区域II和VII内的点可作2 条切线;过区域III内的点可作0 条切线;过区域IV 内和区域V 内的点可作1 条切线;过拐点O处可作1 条切线;过曲线上除拐点外的点均可作两条切线;过l拐上O1下方的点(不含O)均可作2 条切线;过l拐上O1及其上方的点可作1 条切线;过l渐上O1左侧的点可作2 条切线;过l渐上O1O2段的点(不含端点)可作0 条切线;过l渐上O2右侧的点可作2 条切线.

图8

(3)若y=f(x)有2 条渐近线,此情况较为复杂,有兴趣的读者可自行探究.

评注从图象上看,具有单个拐点的函数y=f(x)可以看作是1 个凸函数和1 个凹函数通过拐点进行缝合,它们在缝合点处具有相同的切线l,这条切线l将平面分成两个半平面,一半包含一个凸函数,另一半包含一个凹函数,所以在求解过点P(a,b)的切线问题时,可分别考虑上述两个半平面内的切线条数,再汇总得到整个坐标平面的切线总条数.

4 数形结合图解切线条数问题

例4.1(2021年高考I卷第7 题)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )

A.eb ＜aB.ea ＜bC.0＜a ＜ebD.0＜b ＜ea

图解f(x)=ex,f′′(x)=ex ＞0,所以f(x)为凸函数,且有左渐近线y=0,如图9 所示,可得当点(a,b)位于区域II时,过(a,b)可作2 条切线,故选D.

图9

例4.2(2022年高考I卷第15 题)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则实数a的取值范围是____.

图解f(x)=(x+a)ex,f′(x)=(x+a+1)ex,f′′(x)=(x+a+2)ex,所以f(x)有唯一拐点O(-(a+2),-2e-(a+2)),有左渐近线y=0.当x ＜-(a+2),f′′(x)＜0;x ＞-(a+2),f′′(x)＞0, 所以f(x)在(-∞,-(a+2))上是凹函数,在(-(a+2),+∞)上是凸函数.

f(x)在 (-(a+2),-2e-(a+2))处的切线y=-e-(a+2)(x+a+4)交渐近线于点O1(-(a+4),0),如图10所示,当原点位于O1左侧或O2(-a,0)右侧时可作2 条切线.所以0＜-(a+4)或-a ＜0,即a ＜-4 或a ＞0.

图10

例4.3(2014年高考北京卷文科第20 题节选)已知函数f(x)=2x3-3x, 若过点P(1,t)存在3 条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.

图解f(x)=2x3-3x,f′(x)=6x2-3=3(2x2-1),f′′(x)=12x, 所以y=f(x)有唯 一的拐 点O(0,0), 当x ＜0,f′′(x)＜0;x ＞0,f′′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,0)上是凹函数,在(0,+∞)上是凸函数,且无渐近线.

y=f(x)在O(0,0)处的切线方程为y=-3x, 它交x=1 于点O1(1,-3),由图11 可知,当点P(1,t)位于线段O1O2内部时恰有3 条切线,所以-3＜t ＜-1.

图11

图12

注本题虽然定义域不为R,但结论依然可用.

5 结束语

过点且与函数相切的直线条数与函数图象的形态有着密切的关系,函数的凹凸性,渐近线以及拐点处的切线是重要的影响因素,如果能把握住函数的这些要素,看清其几何背景,对于快速求解此类问题有很大的帮助.