挖掘例题价值提升解题能力

文／王文慧

教材中的例题是经过精挑细选的，具有代表性和示范性，其中的价值不容小觑。研究例题中蕴含的知识点和思想方法，并加以拓展，对我们解题能力的提升有很大帮助。本文以苏科版数学教材九年级上册第67页的例2为例，谈谈例题的学习与拓展。

【原题呈现】如图1，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC。判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

图1

【分析】本题考查圆的切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。由题目条件出发，利用直径所对圆周角为90°进行转化，就可以证明直线AD垂直于直径AB。详细证明过程见教材。

这是一道较为典型的证明圆的切线的题目。在证明过程中，利用题目的已知条件和圆周角定理推出需要证明的结论，渗透推理能力和转化思想，相关结论也较为重要。

思考一 条件和结论对调，逆命题还成立吗？

变式1如图1，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线AD与⊙O相切，∠CAD和∠ABC相等吗？

【分析】从题目条件出发，利用直径和切线的性质，搭建桥梁，建立关联，得到相关结论，解决问题。

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°。

∴∠BAC+∠ABC=90°。

∵直线AD与⊙O相切，

∴AD⊥AB。∴∠BAC+∠CAD=90°。

∴∠CAD=∠ABC。

【点评】这道题考查了切线的性质，推理的过程就是把例题的解题过程倒过来，利用逆向思维就可以解决问题，这是我们常常需要用的思维方式。这里还有一个重要结论“弦切角（弦与切线的夹角）等于它所夹弧所对的圆周角”，常在我们解决一些较为复杂的问题时用到。

思考二 这个问题可以一般化吗？

变式2如图2，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠CAD=∠ABC。判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

图2

【分析】将例题中的直径AB改为弦，也就是从特殊到一般。由于AB是直径这个条件没有了，直接证明遇到困难，我们便需要添加辅助线。既可以连接半径，也可以作直径，证明直线AD与半径（或直径）垂直，进而证明直线AD是⊙O的切线。

解法一：如图3，连接AO、CO。

图3

∵AO=CO，∴∠CAO=∠OCA。

∵在△AOC中，∠CAO+∠OCA+∠AOC=180°，∴∠CAO+∠OCA+2∠ABC=180°。

又∵∠CAD=∠ABC，

∴2∠CAO+2∠CAD=180°。

∴∠CAO+∠CAD=90°。

∴AO⊥AD。

又∵AO是半径，

∴直线AD与⊙O相切。

解法二：如图4，作直径AE，连接EC。

图4

∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°。

∴∠EAC+∠AEC=90°。

∵∠AEC=∠ABC，∠CAD=∠ABC，

∴∠EAC+∠CAD=90°，即AE⊥AD。

∵AE是直径，∴直线AD与⊙O相切。

【点评】从特殊到一般，没有直径的条件时，可以构造直径，利用圆周角定理转化为教材例题来解决；也可以连接半径，利用整体思想证明垂直。变式2更为直观地呈现了图形的本质特点，渗透着转化思想和整体思想。

变式3如图2，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，直线AD与⊙O相切，∠CAD和∠ABC相等吗？

【分析】将变式2的条件和结论对调，在同样没有直径的条件下，添加辅助线依然首先考虑作半径或者直径，再利用切线性质来解决。

解：如图4，作直径AE，连接EC。

∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°。

∴∠EAC+∠AEC=90°。

∵直线AD与⊙O相切，∴AD⊥AE，

即∠EAC+∠CAD=90°。

∴∠CAD=∠AEC=∠ABC。

【点评】变式3是变式2的逆命题，通过转化思想可以将问题转化为变式1，进而解决。

本题将弦切角定理进一步一般化，我们如果可以灵活应用，将会更方便地解决问题。

结合三个变式，我们不难发现，对待一个几何问题，常常用“五化”去研究，即强化条件、弱化条件、一般化条件、特殊化条件、条件结论互逆化。这样的研究可以增强我们的逻辑推理能力，提升我们的思维水平，提高分析解决问题的能力。

延伸（2021·江苏南京）如图5，FA、GB、HC、ID、JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=°。

图5

【分析】这道题有五条切线，求的是五个弦切角的和。解决这个问题既可以用圆的切线性质，也可以利用弦切角定理把弦切角转化为圆周角。在解题的过程中，我们还需要灵活利用弧的度数概念及整体思想等。

解法一：如图6，由弦切角定理可知∠BAF=∠ADB，∠CBG=∠BEC，∠DCH=∠CAD，∠EDI=∠EAD，∠AEJ=∠ACE。

图6

∠ADB、∠BEC、∠CAD、∠EAD、∠ACE对的弧分别是，这些弧加在一起就是一整个圆，则这些圆周角的和就等于360°的一半，即180°。

解法二：如图7，由切线性质定理可知∠BAF+∠OAB=90°，∠CBG+∠OBC=90°，∠DCH+∠OCD=90°，∠EDI+∠ODE=90°，∠AEJ+∠OEA=90°。因 为∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA=270°，所 以∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=180°。

图7

【点评】求五个弦切角的和，可以利用弦切角定理转化为圆周角解决，也可以利用切线性质定理解决。在解决这个问题的过程中，我们无法求出单个弦切角的度数，所以要有整体意识、转化思想，这些都是我们在解决问题中需要具备的方法和能力。