两类极小二元线性码的构造

杜小妮 胡金霞 金文刚 孙彦中

(西北师范大学数学与统计学院 兰州 730070)

1 引言

线性码因其具有良好的代数结构、易于描述和加解密等特性，在通信、数据存储、信息安全和密码学等领域具有广泛的应用。特别地，极小线性码是一类特殊的线性码，在构造具有良好访问结构的秘密共享方案[1,2]和两方安全计算[3,4]中起着重要的作用。线性码的重量分布既能说明码的纠错能力，又可用来计算信息在传输过程中发生错误的概率，因而确定线性码的重量分布问题是编码理论中的一个重要课题，但确定一般线性码的重量分布是非常困难的。

布尔函数作为一类重要的密码学函数在编码密码领域有着广泛的应用，如利用布尔函数的Walsh谱值分布来构造极小线性码、雷德-穆勒(Reed-Muller,RM) 码[5]和Kerdock码[6]等。1972 年，Baumert等人[7]首次提出了基于定义集构造具有较低重量线性码的方法，随后，学者们基于该方法设计了多类低重线性码[8,9]。2016年，Ding[10]通过选取合适的定义集，提出了利用布尔函数的Walsh谱值分布研究2元线性码的方法。2018年，Chang等人[11]提出了一类不满足Ashikhmin-Barg条件的极小2元线性码。随后，Heng等人[12]构造了一类不满足Ashikhmin-Barg条件的无限族极小3元线性码，并给出了判断极小线性码的充分必要条件。同年， Ding等人[13]得到了3类不满足Ashikhmin-Barg条件的无限族极小2元码，并给出了码的重量分布，且提出了新的判断极小线性码的充要条件。2020年，Mesnager等人[14]利用特征函数的性质，进一步推广了文献[13]的结果。

受上述文献的启发，本文利用所设计的布尔函数的Walsh谱值分布构造了两类极小2元线性码。具体地，首先得到了给定的Maiorana-McFarland类布尔函数中某些特殊函数的Walsh谱值分布，利用文献[13]中的方法，以布尔函数的Walsh变换为工具，构造了第1类极小2元线性码，并确定了其参数和重量分布。其次，利用文献[14]中的方法，结合特征函数的性质，构造了第2类极小2元线性码，确定了码的参数和重量分布。结果表明，本文所构造的这两类码均是不满足Ashikhmin-Barg条件的极小2元线性码，可用于设计具有良好访问结构的秘密共享方案。

本文的组织结构如下，第2节主要介绍有限域中的一些定义和基本事实；第3节给出了两类线性码的构造；最后，总结全文。

2 预备知识

本节介绍一些基本的概念和已有的结论。

3 主要结论及证明

本节将利用一般的Maiorana-McFarland类布尔函数和特征函数的性质，得到了两类不满足Ashikhmin-Barg条件的极小2元线性码。

3.1 第1类极小2元线性码

设m是任意正整数，s和t是满足s+t=m的两个正整数。一般Maiorana-McFarland类函数形式为

(2) 和(3)的证明与(1)类似，此处不再赘述。

表1 码C f 的重量分布

3.2 第2类极小2元线性码

Cf¯D[2m-1,m+1]

结合引理3和式(34)，可得码的长度和维数参数为。

又由式(34)可得

结合引理3，整理可得表2。

表2 码Cf D¯的 重量分布

再结合表2可知

4 结论

本文在文献[13, 14]的基础上，利用一类特殊的Maiorana-McFarland函数得到了两类不满足Ashikhmin-Barg条件的极小2元线性码，并给出了码的参数和重量分布。结果表明，构造的这两类极小2元线性码均可用作设计具有良好访问结构的秘密共享方案。