凸轮转子外摆线轮廓的3种特定形态及其性能分析

陈庆红 李玉龙 张平山

（1 福建林业职业技术学院 信息工程系， 福建 南平 353000）

（2 宿迁学院 机电工程学院， 江苏 宿迁 223800）

（3 华闽南配集团股份有限公司， 福建 南平 353000）

0 引言

凸轮转子泵是一种应用广泛的容积式流体设备，一对同尺寸的转子为泵的核心部件，并通过其轮廓将转子室分隔成若干个小空间；随着转子副的连续旋转，驱使这些小空间发生周期性变化，从而实现物料吸排的泵送目的[1]。其中，转子轮廓的构造质量直接决定了物料的泵送品质[2]等诸多性能[3-4]，且与泵送流量间构成了明确的因果关系[5]。转子轮廓的优化目的在于提高转子泵的综合性能[6]，主要体现为尽可能小的单位排量体积、流量脉动系数和尽可能少的泵内泄漏等。目前，在顶圆弧过渡的叶型构造中，渐开线[7]、圆弧[8]和圆摆线[9]的应用最普遍。其中，圆摆线一般采用180°滚动周期下的外摆线[10]，而非180°滚动周期下的外摆线构造则相对较少[11]。有鉴于此，本文中拟以滚径比为变量，以泵的最佳综合性能为目标，探究非180°滚动周期下的外摆线轮廓构造。

1 外摆线转子的轮廓构造

图1 中，外摆线转子的半叶轮廓由顶圆弧01、外摆线12、内轭线23 和根圆弧34，共4 段首尾相连组成。其中，顶圆弧01 和根圆弧34 为过渡轮廓段，不参与转子副的共轭运动，外摆线12 和内轭线23 为工作轮廓段，承担转子副的共轭运动；O、O′分别为本体转子、配对转子的中心，O0、O4 为顶、根（对称）轴，顶、根轴间的角平分轴为中轴O2，顶轴与中轴、中轴与根轴的夹角均为共轭圆心角φ，φ=0.5π/N，N为转子叶数，即转子副的重合度为1；顶、根圆弧的圆心分别为顶轴、根轴与节圆的交点5、交点6；外摆线成形的定圆、滚圆半径分别为节圆半径R、r，滚径比i=r/R，滚圆圆心为o；转子副间的间隙为δ。

依据转子副间隙为[12]

选用原则，可以忽略δ对转子轮廓的构造影响。

图1 所示给出了转角为θ时转子副轮廓间的共轭关系。其中，转角以中轴O2 为旋转的起始位置，0≤θ≤φ。

图1 外摆线转子的轮廓构造Fig.1 Profile construction of epicycloid rotors

在图1 所示的XOY直角坐标系下，设本体转子外摆线上对应的共轭点为点7（x7，y7），点7 处法线与节圆的交点为转子瞬心点8（x8，y8），78 连线的长度为转动瞬径ρ，78 连线与O8 连线间夹角为传动角α，α≤90°，滚圆以点2 为起点的滚动角∠7o8 为β，点8 关于中轴O2 对称的点为8′（x8′，y8′），点8′在内轭线23 上的垂足为共轭点7′（x7′，y7′）。即，在同一转子的轮廓上，点7 与点7′存在着先中轴O2、后瞬心处节圆切线8′8"的双对称几何关系。

外摆线成形原理为

由式（3），点8（x8，y8）和点7（x7，y7）表达式分别为

由式（4）可得，外摆线12的成形方程（x12，y12）为

由式（3）、点8′（x8′，y8′）和点7′（x7′，y7′）的表达式为

由式（6）可得，内轭线23的成形方程（x23，y23）为

2 外摆线转子的3种特定形态

设α0、ρ0分别为外摆线轮廓端点1 处的传动角α和转动半径ρ，ε为转子的形状系数，其中，α0也为顶圆弧01和根圆弧34的圆心角。

由式（3）及θ=φ=0.5π/N可得

由式（8）可得转子的形状系数ε为

由式（7）中横坐标x23表达式为

由式（10）可得i=0.5、1.0。其中，对应的纵坐标y23为

以N=3 为例，外摆线随i=1/6、0.5、1、1.5 的形态变化，如图2所示。其中

由图2 和式（12）知，i越大，ε越大。其中，i=1/6 时，α0=0°、β=0°～180°滚动周期下的轮廓构造，如图2（a）所示。此时，并无顶圆弧和根圆弧，且内轭线为节圆内的圆内摆线，此为常见180°滚动周期下的等幅圆摆线轮廓构造。

i=0.5 时，α0=60°、β=0°～60°滚动周期下的轮廓构造，如图2（b）所示。此时，内轭线为与中轴重合的直线段，这与由式（9）～式（10）给出的（x23，y23）=（0，Rcosθ）完全一致。

i=1.0 时，α0=75°、β=0°～30°滚动周期下的轮廓构造，如图2（c）所示。此时，内轭线收缩为轮廓点2，这与由式（9）～式（10）给出的（x23，y23）=（0，R）完全一致。

图2 理论轮廓的3种特定形态Fig.2 Three specific forms of theoretical profile

i=1.5＞1时，内轭线23存在几何干涉，不符合作为转子轮廓的要求，如图2（d）所示。

由此可知，在顶圆弧过渡的任意叶型构造中，i=1 的外摆线能取得任意叶型下的最大形状系数；其次，i的取值范围为0.5/N≤i≤1。即i=0.5/N、0.5、1.0 为外摆线转子轮廓的3 种特定形态，对应的内轭线分别具有内摆线、直线段、固定点型的轮廓特征。

3 形状系数和容积利用系数

由式（9）可得，3 种特定形态下转子的形状系数分别为

由文献[13]，有

外摆线转子的容积利用系数λ为

其3种特定形态下对应的容积利用系数λ分别为

以N=3 为例，ε、λ随i的变化，如表1 所示。其中，0.5/N=1/6≤i＜0.5时，i对ε、λ的影响较大，ε增大了12.5%，λ增大了27.3%，转子间因属于凸-凹缝隙流，共轭间隙δ处的泄漏（简称为共轭泄漏）相对较小；0.5＜i≤1 时，i对ε、λ的影响很小，ε仅增大1.2%，λ仅增大1.9%，且因属于凸-凸缝隙流，共轭泄漏相对较大；i=0.5 时，因属于凸-平缝隙流，共轭泄漏居中[14]。即，i越大，ε、λ越大，但变化在i=0.5附近快速趋缓，即具有前急后缓的影响特点。

表1 形状系数和容积利用系数随滚径比的变化Tab.1 Changes of shape factor and volume utilization factor with rolling radius rate

所以，i=0.5 外摆线为兼顾ε和λ数值最大化、共轭泄漏最小化、V 型易加工的一个较理想的转子轮廓，如图3（a）所示。3 叶时，1.5 的形状系数比圆弧转子的1.477 0 大1.6%、渐开线转子的1.463 8[15]大2.5%；0.517 的容积利用系数比圆弧转子的0.503 5大2.7%、渐开线转子的0.499 8大3.4%。

i=1.0时，因点共轭造成缝隙流变成了孔口流[16]，共轭泄漏相对最大，但其却具有最大的形状系数和更易加工的节圆内全过渡轮廓，通过节圆半径R的微调，极利于空间相对狭窄的节圆内轮廓采用标准圆孔加工，如图3（b）所示。故，轮廓最简单，加工最容易。

图3 节圆内易加工轮廓Fig.3 Easily machined profile inner the pitch circle

4 理论流量的脉动系数

由文献[17]，得外摆线转子泵的理论流量Q为

式中，B为转子宽度；ω为转子旋转角速度。

则，理论流量Q的最大流量Qmax、最小流量Qmin、平均流量Qave分别为

由此，得理论流量Q的脉动系数δ为

N=3 时，δ随i的变化，如表2 所示。其中，i越大，δ越大，脉动性能越差，但在i=0.5 附近快速变缓。

表2 流量脉动系数随滚径比的变化Tab.2 Changes of flow ripple factor with rolling radius rate

5 理论排量及泵的轻量化

对于转子泵这样的容积泵，转子腔的可利用空间是用于输送工作介质的，在不考虑泄漏、压缩等无容积损失的理论状态下，转子副每转输送的介质量等于可利用空间的容积，而每转输送的介质量等于平均流量Qave乘以每转的时间2π/ω。

由式（18）中的平均流量Qave，得理论排量q为

由于转子副所占空间的最小包裹体积即转子腔内体积V0，直接决定了转子泵的整体尺寸与质量，所以，可用KVV0代表泵的总体积V。其中，KV为大于1的体积因子。

此时，由式（20）和

可得单位排量体积qV为

由此可知，i越大，单位排量体积qV越小，轻量化效果越好，但在i=0.5附近快速变缓。

6 结论

（1）同一转子上的外摆线与其内轭线，存在先中轴、后瞬心处节圆切线的双对称几何关系。

（2）由轮廓构造所决定的形状系数和容积利用系数，直接决定了泵的性能，彼此间存在明确的因果关系。

（3）在外摆线轮廓的3种特定形态下，内轭线分别具有内摆线、直线段、固定点型的轮廓特征。

（4）滚径比越大，形状系数越大，轻量化效果越好，但流量脉动性能越差，具有前急后缓的影响特点。

（5）0.5滚径比对应的直型内轭线轮廓，具有综合性能最佳及V型易加工的轮廓特征。

（6）1.0滚径比对应的点型内轭线轮廓，形状系数最大，构造最简单，加工最容易。