充分利用和挖掘教材功能，指向学生的核心素养

常 云

(江苏省南通市如皋市第二中学，江苏南通，226500)

教材是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养的重要资源；教材是命题的依据，很多题目的解题的切入点都是教材上的基础知识.落实核心素养就要充分依托和发掘教材，选择合适的问题情境作为载体，突出考查核心概念、主要结论、通性通法，这对于如何进行高考备考复习，提升数学素养起很好地导向和促进作用.

1 试题源于教材，夯实基础

源题1斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

分析及解答详见人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第135页例4.答案：|AB|=8，过程此处略.

评析：本题研究直线与抛物线的位置关系考查了通性通法的使用，体现了方程思想，重视学生的分析问题和解决问题的能力，以及“数学运算”“逻辑推理”核心素养.

分析二：设A(x1，y1)，B(x2，y2).由抛物线定义知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，由此得|AB|=x1+x2+2，只要求出点A，B的横坐标之和x1+x2，就可以求出|AB|.

评析：本题题设中直线过焦点，有相应的结论，利用数形结合的方法求抛物线焦点弦的长|AB|=x1+x2+p.体现出(1) 转化的思想，即把求斜线段的长转化为求与坐标轴平行的线段长，转化的基础是抛物线的定义；(2) “设而不求”方法，即不需要单独求出直线与抛物线交点的横坐标x1，x2，只要整体求出x1+x2即可.

源题2过点M(2，0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于A，B两点，求|AB|.

逆向思考，条件和结论互换，编拟题目

命题1已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线C的交点为A，B，且|AF|+|BF|=10，求直线l的方程.

分析：设直线l：y=x+t，则与抛物线C方程联立得x2+2(t-2)x+t2=0，用母题分析二的结论|AF|+|BF|=x1+x2+2及已知建立关于t方程求解即可.

命题“源于教材，高于教材”. “高”在逆向思考，直线l并不过抛物线的焦点，以直线的纵截距为参数，渗透方程思想.尽管如此，求解方法、思想根植于教材.

命题专家在A，M，B三点共线上精心设计，不落俗套，又把根与系数的关系内隐于题设的条件之中，“于无声处听惊雷”，两者巧妙地结合起来建立关于y2的方程是破题的关键，使理性思维、逻辑推理和数学运算充分结合起来，达到预期的目的.

高考命题“题在书外，但根在书里”，为了突出综合性，将几个母题经过加工改造，编拟为一个题，使得特殊性在外而普遍性在内.一旦问题的特殊性被发现，命题突破口就找到了，平和中适度彰显创新性、综合性与实践性，以体现高考的选拔功能与导向作用.

2 试题展示

(1) 若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

3 多视角探究，落实素养

点评：直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系，消元，“设而不求”“整体代入”.有关弦长问题，要注意是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，则可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

4 变式探究，提升应变能力

变式：已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是该抛物线上位于x轴两侧的点，且|AF|+|BF|=4.

(1) 求该抛物线的方程；

评注：本题第(1)小题如果不过焦点，则纵坐标关系更简单，故考虑横截式方程.充分利用抛物线弦长公式和方程思想，采用“设而不求”的方法即可；第(2)小题以平面向量数量积为抓手，转化为以y1y2为变元的方程，再用根与系数关系得到直线与x轴的交点，最后把△ABO与△AFO面积之和表示为关于y1的函数，用基本不等式求解即可，试题一经这样的变式同样考查了“四基”和“四能”.

变式教学着眼于学生的基础，在学生的 “最近发展区”逐步拓展，最终达到《考试大纲》《考试说明》所要求的高度，与高考试题充分的对接，这也是避免“教材题简单不足以应对高考”的最好例证，也是避免学生在“题海”中增加负担的最有效方式.基于教材，能在教材中找到影子，真正发挥教材的示范引领与育人功能.

5 反思总结

高考数学复习，应该立足教材.教师需要读懂教材，根植教材，选择典型例习题进行加工改造，把基础题编拟成具有多向考点的中档综合题；还要充实教材，进行一题多变，多题一法的变式教学，用教材最少的资源获取最大的功利，而不是在题海中增加学生的负担.因此，教学中教师要做到狠下功夫，钻研教材，精心设计，回归课堂，用好教材，通过设计变式题，注重“在知识网络交汇处命题”来培养学生的思维能力与创新意识，提高学生知识迁移能力、综合分析能力，发展学生的核心素养.

解析法是用代数方法研究几何问题的方法，其操作步骤是程序化的，关键在于几何条件代数化(坐标化)，其关系式的简洁程度和处理的容易程度就是解析几何的精妙所在.

直线与抛物线的位置关系，属于每年必考的内容之一.重视学科的主干知识，围绕主干内容加强学生对基本概念、基本思想方法的理解和关键能力的培养仍然是教学的着力点和目标.立德树人不仅仅在书面上、口头上，而且要落实在实际行动上，用自己的行为去感化学生、激励学生去学会数学、研究数学，更好地形成终身学习的能力和意识.