核心素养下教材例题的探究性学习例谈与思考

靳 朋,严艳华，夏小刚

(贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳，550025)

1 习题解答，探究性学习起始点

人教A版高中数学必修第一册《5.5.2简单的三角恒等变换》一节中，练习第2题是一道求扇形内接矩形面积的习题，它是在学习了三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、和(差)角公式、二倍角公式和辅助角公式等必备知识的基础上呈现的.在课堂教学中，教师不应只满足于简单地就题论题的讲解、分析、总结，这样只能让学生简单巩固所学内容，而很难达到对于知识点的深度学习.教师可以将课本例题和习题作为探究性学习的出发点，引导学生寻找探究学习中有关联的学习素材，做好类比、归纳等变式教学，找准探究性学习的恰当时机，只有这样，才能对例题和习题作探究式学习，不但可以提升学生问题探究的思维活跃度，还可以提高学生分析问题和解决问题的能力.

例1要在半径为R的圆形场地内建一个矩形花坛，用什么方法截取才能使花坛的面积最大？

图1

分析：将圆形场地内建成一个最大矩形花园就是求圆内接最大矩形.如图1，当边AB固定时，内接矩形面积的大小取决于点C所在圆弧上的位置，而∠BAC的大小又决定点C所在的位置.由此可先建立矩形面积关于∠BAC的函数，再求此函数的最大值即得圆内接最大矩形的面积.

启示：数学知识既是数学思考的基础，又是数学思考的结果.通过对上面题目的分析和解答，可以看出，内接矩形面积的大小可以由圆弧上点的位置来确定：先设圆心角，建立起内接矩形面积关于圆心角的三角函数，再通过三角函数的有界性找出特殊点，从而求出内接矩形面积的最大值.所以，在实际教学中，我们不应该只满足于对三角函数的简单应用和基础知识巩固，更要擅于归纳、整理和提炼其中所蕴含的数学思想.探究始于问题、问题引领探究，正如课程标准中指出“在倡导积极主动的探究式学习过程中，培养学生的创新精神和实践能力”[1].因此在数学课堂中，教师应当带动学生参与问题的探究活动，引导学生经历数学知识“再创造”的过程，发展学生的思维能力和知识迁移能力.

2 方法类比，探究性学习关键点

类比是在事物之间进行的，由特殊到特殊的推理形式[2].类比思维强调知识点的共通与转化，主要包括联想和比较两种形式，联想是指依据新信息联想起旧知识，比较是指在新旧知识间建立联系，找出相似点或不同点[3].它不仅是科学探究中最常用的基本方法之一，也是进行探究性学习的初级过程和必备知识要求.

类比思维注重由典型例题引出新问题，即由特殊题目类比联想，猜想到一般性的结论并加以证明，使得探究环环相扣，并且做到由浅入深，由现象到本质.通过不断尝试、探究，既能让学生巩固之前所学的知识，又能体会数形结合、归纳类比，多题归一等数学方法，达到“既见树木，又见森林”的效果.

2.1 从圆内接矩形类比到半圆内接矩形

变式1如图2，要在半径为R的半圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？

分析：在半圆形场地内建一个面积最大矩形的花坛.可以先确定半圆内接矩形的一个顶点，则剩下三个顶点也随之而定，所以此时只要设出圆上一个动点，便能求解.

图2

启示：将圆类比得到一个半圆后，同样可通过角来设圆上点，利用三角函数的有界性，求圆内接最大矩形的面积，通过改变题目条件或结论，进行探究性学习，可以有效提升学生对所学方法的灵活应用能力，激活解题思维.

2.2 从半圆内接矩形类比为四分之一圆内接矩形

图3

变式2如图3，要在半径为R的四分之一圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？

分析：由变式1可以看出，图形具有很好的对称性质，对于本题也是一种启发，可以采用“先猜后证”，即，先根据特殊点(弧中点)，特殊图形(正方形)猜出结论，再证明一般情况.

启示：用三角函数和基本不等式来探求多种解法，帮助学生树立用数学知识解决问题的意识，学生在探究过程中能更深刻感悟知识点间的内在联系.在理解巩固并灵活运用知识的基础上，深层次启发学生的数学思考能力，从而培养学生的多向思维、归纳能力和创造性思维.

2.3 从四分之一圆类比到圆心角为60°的扇形

图4

分析：矩形ABCD因C而定，因此设置参数α.只需要借助参数和半径表示出矩形ABCD的相邻两边长，再应用三角恒等变换，将面积表示为三角函数，最后利用三角函数性质直接求解.

启示：波利亚认为，类比是伟大的引路人.通过课本例题，从学生的最近发展区入手，引导学生用类比的方法探索新知识.由圆类比到半圆，由半圆到四分之一圆，再到圆心角为60°的扇形，在圆的解题方法和思想中得到了其他图形的解题方法，具有很好的教育价值.不难看出，在圆类比的过程中也蕴含了普遍性与特殊性的辩证关系，学生在无形中也运用了哲学思想来思考问题，看待问题的角度和方式也更科学合理.

3 分类讨论探究性学习接力点

把所有探究的问题根据题目的特点和要求分成若干类，转化成若干个小问题来解决.这种按不同情况分类，然后再逐一探究解决的数学思想，被称为分类讨论思想[4].分类讨论思想可以应用于多种题型，除应用于四分之一圆内接矩形这一情形外，还可用于四分之一圆内接矩形在圆弧上有两个顶点的情形，所以求四分之一圆最大内接矩形需按圆弧上点的个数为一个或两个进行分类讨论，这是开展探究性学习活动的主干内容之一，也是支撑探究性学习活动顺利开展的关键点和支撑点.

3.1 从内接矩形一个顶点在弧上变为两个顶点在圆弧上

图5

变式4如图5，要在半径为R的四分之一圆形场地内建一个矩形的花坛，A，B两点在圆弧上，求这个花坛的面积最大值.

解：过点O作矩形AB边的垂线OP交圆弧于点P，则根据对称性，点P为四分之一圆弧的中点.设∠BOP=θ，则

3.2 从图形语言表述转向文字语言表述

变式5求四分之一圆内接矩形面积的最大值.

分析：因为圆弧上只有一个或两个矩形的顶点，所以四分之一圆内接矩形有且只有变式2和变式4两种情形，因而求四分之一圆内接矩形面积的最大值，只需比较两种情形下的最大值即可.

分析：由圆弧上只有一个或两个矩形的顶点可知，半径为R、圆心角为60°的扇形内接矩形有且只有两种情形，如图6所示.

图6

4 归纳拓展，探究性学习的延伸点

归纳是从个别性的前提推导出一般性结论的推理方法，其实质是从已经验证过的事物中推断出未经验证的事物，它是从特殊推向一般的合情推理.在数学教学过程中，有选择性地让学生体验探究一些归纳拓展的推理过程十分重要，它往往是探究性学习活动过程中的生长点.

分析：本题是求扇形内接矩形面积的最大值，可以理解为在扇形中如何裁剪出最大的矩形，可以看出，矩形的顶点至少有一个在扇形的圆弧上才能使其面积最大，所以要分在圆弧上的顶点为一个或两个来求内接矩形面积的最大值，再比较两种情形下的最大值，从而求得扇形内接矩形面积的最大值.

图7

启示：在教学中，教师应借“题”发挥，小“题”大做，引导学生全面、深入、创造性地研究经典例题.正如苏联数学教育家奥加涅相所说：“很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展其教育功能的可能性……，从解本题到转向独立地提出类似的问题和解答这些问题，这个过程显然在扩大解题的‘武器库’，学生利用类比和概括的能力在形成；辩证思想的独立性以及创造素质也在发展.”因此，让学生在理解题目的基础上，多角度、全方位深层次地针对习题开展探究性学习活动，并独立地提出一些与此有关的问题或结论，是提高学生数学核心素养的有效途径之一.

5 教学启示

5.1 解答习题，发掘研究性学习素材

关注习题解答，是提高教师教学效率的重要方式，更是提升学生解题能力的重要途径.通过对教材的挖掘、探究、拓展、变式的思想理念，为学生进行数学知识“再创造”提供机会，让学生把具有共性的知识点进行条理化和系统化，以达到优化知识、开拓视野、活跃思维的目的.同时在开展探究性学习活动的过程中，引导学生进行反思与提升，总结出解题的通性通法，为下一步的探究做好准备，让学生的“再创造”过程从被动转为主动.

5.2 类比求解，揭示类比数学思想方法与思维的形成

张奠宙教授指出：“数学教育的核心是让学生掌握数学的本质.”数学的本质是什么？从教育者角度看，数学的本质应该包括数与形的客观规律、知识所处的背景、地位、作用、联系、区别及其蕴含的数学思想方法、思维过程[5].应用探究所得结论进行解题，是探究学习的坐标体现.利用例题所得出的解题思路和方法，对例题作一般化的推广处理是数学的学科特征，是理性思维的体现.运用类比思想，从“特殊到一般”的思维过程，落实“理性思维”的育人目标.

5.3 归纳延伸，留下继续探究的“上升通道”

研究性学习不仅要做好知识层面、思想方法层面、学习方法层面的归纳，还要在归纳的基础之上，运用发散的类比思维做好延伸.