GeoGebra环境下基于变式的数学问题可视化解决

刘丽萍

(中山市龙山中学，广东中山，528471)

1 问题的提出

数学课程的学习离不开数学问题的解决，让学生能够在解决数学问题的过程中抓住数学问题的本质，变式无疑是非常有效的教学策略.章建跃曾指出：所谓变式是指变换对象的非本质属性，突出其隐含的本质要素.数学思维的形成既是静态的活动也是动态的活动，在变化中寻求不变的本质，通过一些条件和问法的改变让学生看清藏在问题背后的内涵，是深度学习的一种策略[1]，通过变式实现深度学习是因为变式的同时实现了学生对于知识的迁移与知识的建构[2].

随着信息技术的快速发展，信息技术为教学提供了有力工具，信息技术的使用能够化抽象为直观，将一些难于表述的概念和问题可视化，以利于实现深度学习，GeoGeobra软件(简称GGB)就是一款非常优秀的数学软件，其集成了几何和代数功能，简单易用，深受教师和学生喜爱，那么如何在GeoGeobra环境下利用变式教学实现深度学习？本文以空间几何体的外接球问题为例，通过变式设计，利用GeoGeobra软件对问题进行可视化解决，以期对问题进行初步探讨.

2 空间几何体的外接球问题变式设计与解决

2.1 空间几何体的外接球问题变式设计

空间几何体的外接球问题是高考中的热点问题，如2021年全国高考甲卷(理11题)、2020年新课标1卷(理10、文12)、2020年新课标2卷(理10、文11)、2019年新课标1卷(理10)、2018年新课标3卷(理10)、2016年新课标2卷(文4)、2016年新课标3卷(理10)等，解决此类问题学生需要有比较强的空间想象能力和逻辑推理能力，接下来由特殊到一般的过程设计变式.

设计途径：载体从长方体(两两垂直)→三棱锥(两两垂直)→三棱锥(有一侧棱垂直底面)→四棱锥(有一侧棱垂直底面)→直四棱柱(侧棱垂直底面)→圆柱(母线垂直底面)→特殊棱柱棱锥(有一侧棱垂直底面)→一般几何体(无侧棱垂直底面)的外接球问题.

变式2已知三棱锥P-ABC的各个顶点在球O上，PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，PA=2，BA=2，BC=2，则球O的半径r=.

变式5已知圆柱的母线长为2，底面半径为2，则其外接球半径r=.

变式6已知三棱锥A-BCD中，二面角A-BC-D的大小为120°，AB=AC=BC=CD=BD=2，且A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为.

2.2 空间几何体的外接球问题可视化解决

图2.2-1

对于变式1，教师可引导学生对照母题，得出两者的联系，共同点是有两两垂直，然后联想到将此类三棱锥补成长方体，这时教师操作GGB软件：如图2.2-2，依次勾选复选框，依次呈现三棱锥、长方体、球.

图2.2-2

变式2是核心问题，学生会发现变式1中的两两垂直条件已经换成一条侧棱垂直底面，此时学生依然会在考虑将三棱锥补成长方体，这是难点，这时可引导学生以AP为侧棱，A为长方体顶点补形，并对学生提出问题：补出来的长方体的长、宽、高分别是多少？教师在学生思考后引导学生分析问题，明确补形后的长方体各点也在球面上，则以AB为边的矩形顶点应该与点E共圆，并再次提出问题：这个圆的半径如何求？这时教师引导学生用正弦定理求解，并进一步求出外接球半径.对此探究过程，教师可同时操作GGB软件：如图2.2-3、图2.2-4，依次勾选复选框，将分析过程一一可视化.

图2.2-3

图2.2-4

最后引导学生总结对有一侧棱垂直于底面的棱锥的解题步骤：

① 利用正弦定理求出底面外接圆的直径2R；

经历变式2的探究，解决变式3、变式4和变式5时，学生会发现解题方法与变式2一样，这时教师操作GGB软件：如图2.2-5，依次勾选复选框，将5个变式的图形一一呈现，引导学生得出结论：有一侧棱垂直于底面的柱体、棱锥，则其外接球半径可用公式：(2R)2+h2=(2r)2，其中R为底面外接圆半径，h为垂直于底面的侧棱长，r为外接球半径.

图2.2-5

变式6的跳跃性比较大，学生发现此问题没有侧棱垂直于底面，此时教师提出问题1：过球面上三点的圆的圆心作垂线，垂线是否过球心？

师生活动：学生思考，教师用GGB软件展示：如图2.2-6、图2.2-7，用点工具在球面上任取三个点，做出过这三点的截面，使用中心命令找出截面圆心L，过L作垂直于面ABC的垂线，调整角度让学生观察，得出：球心在截面的投影为截面圆的圆心.

图2.2-6

图2.2-7

问题2：三棱锥如何作出球心？

师生活动：学生思考，合作交流，教师引导学生得出，两线交于一点，那么我们可以任取两个面，作出相应的外心，并过外心作垂线，则交点即为球心，教师使用GGB展示：如图2.2-8，2.2-9，通过鼠标调整角度，让学生感受球心的性质.

图2.2-8

图2.2-9

基于以上两个问题的解决，学生思考解决变式6的方法，合作交流，教师使用GGB展示，如图，依次勾选复选框，呈现思维过程.

图2.2-10

图2.2-11

教学效果反馈：外接球问题经历上述母题至变式6的解决，学生已经掌握了外接球问题解题方法，理解了哪些几何体可以补成长方体求解、普通几何体可以怎么找球心.

3 结束语

变式教学能让学生在解决问题的过程中形成对数学本质问题的理解，GGB软件能够将一些复杂、抽象的数学问题可视化，为学生提供一个可视化的主动学习环境，注重GGB软件与课堂的有效融合，能够提高课堂效率，助力深度学习目标的达成.