一类带收获和毒素项种群竞争模型的扩散性质

武海辉

(1.安康学院数学与统计学院,陕西 安康 725000; 2.安康学院数学与应用数学研究所,陕西 安康 725000)

由于种群扩散可防止长期近亲繁殖而产生的不良后代,使种群能适应不宜的气候环境条件,可以扩大种群分布,寻找合适的生活环境,避免局部恶劣条件造成的全军覆灭,有益于保持种群结构的稳定,减少种群压力和进攻行为等,而种群扩散模型能够更深刻、更精准地反映种群数量的变化规律。因此,具有扩散影响的种群生存状态被人们广泛关注,大量文献研究了这类模型[1-9]。

文献[10]中将毒素、收获项以及扩散项引入到一般的种群竞争模型中,研究了如下的种群模型:

(1)

其中:xi表示竞争种群x在斑块i(i=1,2)中的数量;y是另一类竞争种群;ε为种群扩散系数;s为自身增长率;ci(i=1,2)为种群的竞争系数,取收获系数为c1;c1E为收获的努力量;c1Ex2为捕获数量;pi(i=1,2)为环境毒素项系数,设收获的数量与收获努力量成正比,且r1,r2,c1,c2,E,s,p1,p2,ε>0。该模型研究了在不同种群斑块环境中,一类带毒素和收获项的种群竞争模型的全局稳定性,得到一些实用的扩散性质,使模型更为全面地描述此类生态系统。文章在文献[10]的基础上,研究了系统(1)的局部渐近稳定性及局部Hopf分支。考虑到模型的实际生态意义,仅在R+={(x,y)|x≥0,y≥0}中研究分析。

1 模型的局部扩散性质

先给出模型(1)非负平衡点的存在条件。

在满足引理1的条件时,下面给出定理1。

令

r2-c1r1+c2r2+p1p2+p2r1+p2r2),

f(ε)=Aε2+Bε+C,

Δ1≡B2-4AC。

定理1如果模型(1)满足

c2>c1,p2+c2+1>c1,

由于

得到它的特征方程为

λ3+I1λ2+I2λ+I3=0,

(1)

因此,根据Routh-Hurwitz判据[11]得到:

f(ε)=Aε2+Bε2+C,

(2)

从而关于f(ε)=0的判别式为

Δ1≡B2-4AC。

显然式(2)的二次项系数A大于零,故满足(1)Δ1<0;(2)Δ2>0,ε<ε1;(3)Δ1>0,ε>ε2时,有H2>0,其中ε1和ε2为Δ1>0时f(ε)=0的两个实根,且ε2>ε1。

考虑到,当c2>c1,p2+c2+1>c1时,I3>0,即H3>0,故定理得证。

下面给出模型在正平衡点附近的局部Hopf分支。

D=-p12-2p1r1-4p1r2-r12-4r1r2-r22,

Δ2=E2-4DF。

将特征方程式(1)对ε求导数,得

其中：

c2r2+p1p2+p2r1+p2r2),

从而

p1p2+p2r1+p2r2)}÷(3λ2+2λI1+I2),

即

p1p2+p2r1+p2r2)}÷2ω(ω-iI1),

进而得到

c1r2+c2r1+c2r2+p1p2+p2r1+

p2r2)}÷2(ω2+I12)。

由条件(1)知当满足1+p2-c1>0时,I2>0。

由条件(2),并将I1,I2代入后需满足[14]

(-p12-2p1r1-4p1r2-r12-4r1r2-r22)x2+

2 数值仿真

例1考虑以下竞争系统:

利用Matlab软件给出模型的数值仿真图形[15]，如图1所示。

由图1可以看出,该模型的正平衡点是局部渐近稳定的,从而进一步验证了定理的准确性。

图1 系统的模拟图

3 结论

研究在一般竞争模型中引入了收获项和毒素项,使得模型分析的难度明显加大。文中给出了正稳定点存在的条件,得到了该模型在不同斑块环境下的一些扩散性质,并对一些重要结论进行了数值仿真,更加全面地描述了这类模型的性态,使扩散在这类模型中得到更为广泛的应用。借助定理1和定理2可以得到实用的策略,使种群数量保持相对稳定或产生周期性变化,进而达到生态平衡。