柔性医用机械臂末端空间定位误差建模与分析

张 鹏,陈惠贤,裘应驰,雷武乐,李 双

(兰州理工大学机电工程学院,甘肃 兰州 730050)

柔性医用机械臂是放射治疗设备中极为重要的部件,它用于支撑患者,确保医师能够将患者的病灶置于放射治疗设备的辐射野内进行治疗。医用机械臂的运动精度与可靠性是相当重要的,但造成医用机械臂末端空间定位精度差的原因是多方面的,如大悬臂、连杆和关节的弹性变形等,并且医用机械臂对各轴运动的位置、轨迹和速度准确性具有极高的要求,关节传动误差直接影响着医用机械臂的运动轨迹及其末端的准确性,因此解决关节传动和连杆柔性所产生的误差问题是当务之急[1-2]。

目前,已有大量学者对此开展了相关的研究,如单丽君等[3]对理论齿廓摆线轮和针齿,柱销和柱销孔受力所产生的变形进行了分析,计算出受力状态下的回转误差;任军等[4]对RV减速器中的针摆传动建立了一种考虑摆线轮齿廓曲率半径变化的等效扭转啮合刚度模型;郑宇等[5]通过分析RV减速器的零部件的加工、装配误差,将LIN的平移扭转耦合模型和质量弹簧误差等价原理相结合,建立了RV减速器的传动误差模型;韩林山等[6]综合考虑RV减速器中的非线性因素,建立了非线性动力学模型,为研究加工误差和游隙对角传动误差的影响提供了理论依据;李兵等[7]采用作用线增量法分析针齿与摆线轮啮合处的原始误差得到多齿啮合下的摆线轮输出转角误差,并以此为基础建立了传动误差分析模型;张壮[8]将柔性机械臂视为Euler-Bernoulli梁,并利用拉格朗日方程建立了柔性机械臂的动力学模型;Mohsen等[9]基于拉格朗日方程和泰勒级数对具有柔性关节的刚性机械臂进行了动力学建模;何勇[10]将空间天线伸展臂等效成双柔性杆臂并将末端夹持器及附加装置简化成末端集中质量,利用拉格朗日法建立了带有末端负载的刚柔耦合动力学模型;王斌锐等[11]综合考虑了关节和连杆柔性,基于Lagrangian方程和转子非线性扭簧模型,建立了柔性机械臂刚柔耦合动力学模型;Asada等[12]基于柔性机械臂的逆动力学,通过使用虚拟坐标系以简单而紧凑的形式表示柔性臂的动态变形,提出了通过近似方法来求解逆动力学;郎英彤等[13]利用拉格朗日方程建立单柔性机械臂动力学模型,采用近似法和RBF神经网络方法对动力学模型进行了数值仿真分析;齐俊德等[14]为了提高机器人的绝对定位精度,建立了机器人绝对定位误差模型并进行了补偿方法研究,将定位误差分为几何参数误差与柔度误差,分别建立了相应的误差模型;焦国太[15]分析了机器人的误差来源,将其统一归结为关节变量误差和结构参数误差,运用MD-H方法建立了机器人的误差模型;龚星如等[16]综合考虑了机器人基座坐标系误差以及机器人自身内部参数误差,建立起基于微分变换的机器人末端定位误差模型。对于机械臂误差建模,前人做出了许多重要的贡献,主要是从机械臂的结构误差着手,研究整机的误差标定,而关于关节传动误差对机械臂末端空间定位精度的影响研究较少。通过建立柔性医用机械臂的动力学模型和关节RV减速器的等效啮合刚度模型,分析关节传动误差和连杆柔性耦合作用下对机械臂末端精度的影响,建立机械臂末端空间定位误差模型,将有助于机械臂末端空间位置误差的补偿。

1 单杆柔性医用机械臂动力学建模

1.1 柔性机械臂物理模型以及坐标系的建立

所研究的医用机械臂三维模型如图1所示。取医用机械臂的小臂为研究对象,将碳纤维床板和调整臂简化为小臂的末端质量m,假定单杠柔性医用机械小臂的运动和弯曲振动都在同一平面内,柔性臂杆作平面运动。柔性医用机械臂的小臂可简化成Euler-Bernoulli梁,只考虑臂杆的弯曲变形,不考虑臂杆的重力作用,建立小臂的物理模型如图2所示,图2中τ(t)为RV减速器机构施加到机械臂固定端的驱动力矩;θ(t)为机械臂在平面内转角的角位移。

图1 医用机械臂三维模型

图2 小臂的物理模型

假设柔性机械臂转动过程中任意一点的坐标为B(X,Y),OXY表示为惯性坐标系,oxy表示为浮动坐标系。柔性机械臂t时刻任意一点B的弯曲弹性变形可以表示为

(1)

将机械臂看成一端固定、一端自由的悬臂梁,根据梁的弯曲自由振动方程和边界条件求得阵型函数为

φi(x)=cos (βix)-cosh(βix)-

λi(sin (βix)-sinh(βix)),

(2)

其中:

1.2 拉格朗日法建模

拉格朗日方程为

(3)

减速机的动能T1为

(4)

单杆柔性机械臂自身的动能T2为

(5)

将x=l带入可得集中质量m的速度Vm,由此可得末端集中质量的动能T3为

(6)

将式(4)～(6)联立带入式(3),并且考虑正交条件得到柔性机械臂的机械系统的总动能为

(7)

其中:

由于单杆柔性机械臂做平面旋转运动,考虑其势能由弹性变形所引起,则可得

(8)

拉格朗日函数L为

(9)

将式(8)和式(9)带入式(3),并忽略耦合项和非线性项后,得到末端带有集中质量的柔性机械臂线性化动力学方程为

(10)

2 RV减速器二级传动摆线轮与针齿理论啮合刚度模型

理论上摆线轮与针齿是通过线接触传递运动,实际情况下摆线轮在与针齿啮合的过程中发生了弹性变形。对于摆线轮与针齿的啮合,摆线轮与针齿的接触可以近似看成是2个圆柱面进行接触,假设接触点为两弹性体变形的直线,如图3所示。

图3 摆线轮与针轮接触模型

当2个圆柱体接触时,根据赫兹公式可得到接触面的半宽为

(11)

ρ2为针齿的曲率半径且为确定值rrp,由文献[17]可知摆线轮的理论曲率半径为

(12)

如果ρ1为正值,摆线轮的轮廓曲线向内凹,摆线轮与针齿凹凸接触,曲率求和为负号;如果ρ1为负值,摆线轮的轮廓曲线向外凸,摆线轮与针齿凸凸接触,曲率求和为正号。

2.1 单个摆线轮齿和针齿的刚度

由图3可知,由于C很小,可在C范围内近似地认为是一段圆弧,则可得

(13)

其中:hc为摆线轮齿径向挤压变形量。

(14)

计算得到单个摆线轮齿刚度为

(15)

当ρ1j<0时:

(16)

其中:S=1+K12-2K1cosφj;T=K1(1+zp)·cosφj-(1+zpK12);φj为第j个针齿对于转臂的转角。

当ρ1j>0时:

(17)

同理可得单个针齿的刚度,当ρ1<0时,取数值|ρ|计算;当ρ1>0时,将ρj带入式(17)中可得

(18)

2.2 单对摆线轮齿与针齿接触刚度模型

接触刚度模型为

(19)

将kcj、krj代入式(19)化简,并当ρ1<0时,得

(20)

当ρ1>0时:

(21)

根据式(20)、式(21)可知,当ρ1<0时,摆线轮齿与针齿的啮合刚度为定值。

2.3 摆线针轮啮合刚度模型

摆线针轮接触模型见图3。显然各单齿啮合刚度对摆线针轮整体刚度的贡献是角度的函数,不能简单的相加。因此先将各单齿啮合刚度转化为等效的扭转刚度,然后再进行叠加求出摆线针轮整体啮合的等效扭转刚度。

第j对摆线轮齿和针齿的公法线到摆线轮中心的距离lj为

(22)

当摆线轮和针齿啮合时,第j对齿产生的扭转啮合刚度计算公式为

(23)

摆线轮和针齿理论啮合传动的等效啮合刚度模型为

(24)

3 柔性机械臂末端定位误差模型

由于机械臂是一个柔性臂,自身存在着弹性变形,同时RV减速器摆线轮与针齿传动所产生的误差也会影响到机械臂的定位精度。所以,机械臂末端定位误差ΔX由两部分组成:RV减速器传动误差和机械臂自身的弹性变形引起的定位误差。

3.1 RV减速器摆线轮与针齿啮合的动态传动误差模型

根据式(22)可以看出,当φ=φ0=arccosK1时,力臂最大为lmax=aza;根据变形关系,针齿的接触力Fj与力臂lj呈正比,可得

(25)

由文献[3]所述可得

(26)

将式(22)、式(25)带入式(26),并转化为积分近似计算形式,得到动态传动误差为

(27)

3.2 柔性医用机械臂末端定位误差模型

末端定位误差模型为

(28)

4 数值仿真

4.1 医用柔性机械臂逆动力学数值求解

采用近似的方法对医用柔性机械臂动力学模型进行逆动力学数值仿真求解,机械臂的几何结构参数如表1所列。

表1 机械臂的几何结构参数

端输出驱动力矩和模态坐标q1、q2、q3与时间的关系曲线,并利用Origin对其进行最小二乘法拟合,得到驱动力矩和模态响应函数如图4所示。

图4 驱动力矩函数曲线和模态响应函数曲线

拟合得到的驱动力矩和模态响应函数为

(29)

4.2 柔性医用机械臂末端定位误差数值仿真分析

考虑关节减速器时变啮合刚度，分别对比分析不同型号RV减速器和不同阶数模态下对柔性医用机械臂末端定位误差的影响规律。分别取柔性医用机械臂关节减速器为RVSHPR-110E、RV320E、RV40E，其中不同型号RV减速器的基本结构参数如表2所列。根据RV减速器的基本结构参数通过Matlab数值仿真软件编写求解算法进行数值仿真求解分析。

表2 RV减速器的基本结构参数

利用Matlab取0～100 s进行数值仿真求解分析得到不同型号RV减速器和不同阶数模态的柔性医用机械臂末端定位误差如图5所示，图5中(a)、(b)、(c)分别表示在相同RV减速器下不同阶数模态的柔性医用机械臂末端定位误差;而图5中(d)、(e)、(f)分别表示在相同阶数模态下不同RV减速器的柔性医用机械臂末端定位误差。

通过对比分析图5中(a)、(b)、(c)得到，当取不同RV减速器时，柔性医用机械臂的末端定位误差都处于一种动态增长的状态，其中一阶模态下机械臂末端定位误差的动态波动不明显，但是随着模态阶数的增加其机械臂末端定位误差的动态波动更加明显，从而表明模态阶数越高机械臂末端定位误差的动态波动越剧烈。

通过对比分析图5中(d)、(e)、(f)得到，不同阶数模态下减速器型号为RVSHPR-110E、RV320E、RV40E，在100 s时柔性医用机械臂末端所产生的定位误差分别为10.74 mm、13.21 mm和29.28 mm，并且根据表2可知这3个减速器的弹性模量逐渐递减，从而说明关节减速器的弹性模量越大则刚度越强,其弹性变形也就越小，所产生的关节传动误差也就越小。

5 结论

以医用机械臂小臂为研究对象将小臂简化成Evler-Bernoulli梁并且基于拉格朗日法建立机械臂的动力学模型,同时建立关节RV减速器二级传动摆线轮与针齿时变啮合刚度模型,最后通过连杆柔性与关节传动误差的耦合建立医用机械臂末端动态定位误差模型。通过对模型的仿真分析得到以下结论:

(1) 通过对医用柔性机械臂动力学模型的逆向求解得到拟合度较好的驱动力矩、模态响应函数公式。

(2) 通过仿真分析得到模态阶数越高机械臂末端定位误差的动态波动越剧烈;关节减速器二级传动部分的弹性模量越大产生的关节传动误差越小。

(3) 关节处微小的转角变化,经臂杆放大后会造成机械臂末端较大的运动误差,在满足机械臂驱动力矩的要求时,应尽量选取刚度大的RV减速器以减小关节传动误差。

(4) 今后可对医用机械臂整体进行建模分析,并对关节RV减速器的一级传动和二级传动建立RV减速器整体的啮合刚度模型来分析关节传动误差,从而建立医用机械臂整机末端空间动态误差模型。