一般观念引领下的“圆周角”教学设计

宋璐佳

（北京师范大学三帆中学朝阳学校）

一、内容和内容解析

1. 内容

本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“24.1.4 圆周角”，主要内容为圆周角的概念、圆周角定理及其推论.

2. 内容解析

圆周角是一类非常重要的角. 圆周角定理刻画了圆中同一条弧所对的圆周角和圆心角的数量关系. 它是解决与圆有关的角的计算，证明弦、角、弧相等的重要且便捷的方法. 另外，圆周角定理的证明采用了完全归纳法，这与以往的证明定理的方法不同. 证明前需要先对其分类，然后分情况证明，在分情况证明时先证明特殊情况，再把一般情况化为特殊情况从而完成证明.

本节课的研究对象——圆周角，作为与圆相关的一种元素，是继圆心角、弧、弦之后圆的性质探究的延续. 同时，圆周角是一种几何图形，也是几何学习的延续. 因此，本节课除了一些知识性的目标，还可以关注圆周角与圆中其他元素的关系、圆周角与其他几何图形一致的研究套路.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：圆周角定理的发现与证明.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）了解圆周角的概念，会证明圆周角定理并提出推论.

（2）通过对圆周角的概念的学习，明确圆周角和圆心角的关系；在探索圆周角的性质的过程中，发现并证明圆周角定理、提出推论，体会分类讨论、化归的思想方法.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志是：能从与圆相关的角的图形中识别出圆周角，会画一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；会把圆周角分成三类，并证明每一类图形中的一条弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半；能根据圆周角定理提出“同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆或直径所对的圆周角是直角”.

达成目标（2）的标志是：能结合图形，通过分析圆心角和圆周角的概念，认识到圆心角和圆周角都是与圆相关的角，区别是它们的顶点的位置不同，圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆上；会分析圆周角的图形结构，知道圆周角的图形中的相关元素（圆心角、圆周角、同一条弧）；会分析圆周角、圆心角、同一条弧之间的关系，提出“同一条弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？”“同一条弧所对的无数个圆周角有什么关系？”能根据三个不同位置的圆周角分类证明“一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”.

三、教学问题诊断分析

“圆周角”这一节课的核心内容是圆周角定理. 引导学生发现圆周角定理，并证明圆周角定理是比较关键的. 圆周角是一种几何图形，圆周角定理是圆周角的性质，从一般观念出发，也就是关注几何图形的研究套路：先研究几何图形的概念，再探究几何图形的性质. 认识几何图形的概念包含给图形下定义、用不同的形式表示图形、对图形进行分类等. 圆周角定理在探究圆周角的性质中会自然而然地被发现，而证明圆周角定理对于学生来说存在困难.

圆周角定理的证明需要分情况讨论，而学生之前没有接触过分情况讨论，体会不到分情况讨论的必要性. 另外，分情况讨论要用到化归思想. 先证明特殊位置的情况，再把另外两种一般情况化归到特殊情况从而完成证明.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：发现圆周角定理，并分情况证明圆周角定理.

在本节课中，突破这两个难点要从以下方面着手.

（1）从一般观念出发，调动学生已有的几何学习经验研究圆周角. 在研究圆周角的性质时，让学生关注到圆周角的图形结构自然提出问题，通过观察、度量、猜想、证明得到圆周角定理.

（2）在学习圆周角概念时进行分类，而不是在证明圆周角定理时为了分类而分类. 后者的逻辑是学生更难理解的，前者符合数学上认识一个新概念时的逻辑. 给新概念下定义，用不同的语言（文字、图形、符号）去表示新概念，再对其分类. 对新概念进行分类，有助于明确新概念，甚至分类会对之后的研究思路明晰简化. 如果在学习圆周角概念时分类，那么在之后研究它的性质时，会自然而然地研究它每一类的性质，这样分类研究、分类证明的必要性便更容易体会. 此种处理方法既分散了难点，又符合认识逻辑.

四、教学过程设计

1. 概念的产生

（1）定义.

活动1：在本章中，我们已经学习了一种与圆有关的角——圆心角，如图1所示的∠AOB，它的顶点在圆心，两边与圆相交. 现在我们改变这个圆心角的顶点的位置，能产生哪些新的角？试着画一画.

图1

师生活动：学生从圆心角出发，改变圆心角的顶点，尝试着画出不同位置的角. 教师收集学生的作品，展示在黑板上.

学生画出如图2所示的三种图形.

图2

【设计意图】通过这个画图活动，既可以让学生主动地发现本节课的研究对象——圆周角，又构建了与圆有关的角的知识体系.

问题1：你能对画出的这些新的角进行分类吗？分类的标准是什么？

师生活动：学生通过观察，发现这些角可以按顶点与圆的位置关系分成角的顶点在圆内、圆上和圆外三类.

追问1：这三类角中位置最特殊的是哪一种？

师生活动：学生发现顶点在圆上的角的位置最特殊. 接着，教师引出研究对象——圆周角及它的定义：像这样，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

【设计意图】通过对由圆心角产生的新的角进行分类，明确圆周角与圆心角都是与圆有关的角，且都是与圆有关的位置特殊的角，使学生意识到研究圆周角的必要性和价值.

练习：判断图3中的各角是不是圆周角，并说明理由.

图3

【设计意图】这道练习题中同时呈现了圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对圆周角概念的理解.

（2）表示.

活动2：我们知道圆周角不单是顶点在圆上，还要求两边都与圆相交. 如图4，在⊙O的圆周上给定两点A，B，你能画出一个劣弧AB所对的圆周角吗？你能画出第二个圆周角吗？更多的呢？你有什么发现？

图4

师生活动：学生通过画图会发现一条弧所对的圆周角有无数个，如图5 所示. 教师用多媒体演示：同圆中，一条弧所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有无数个，并小结“这无数个圆周角所对的弧是同一条，这无数个圆周角和唯一的圆心角所对的弧也是唯一的”.

图5

【设计意图】通过活动2，学生关注到圆中的元素（圆周角、圆心角、弧）的个数，通过初步分析，感受了圆周角这个图形的本质结构，意识到圆周角、圆心角、弧之间的关联性.

（3）分类.

活动3：怎样对一条弧所对的无数个圆周角进行分类？（小组合作讨论.）

师生活动：学生通过分组交流、讨论，找到如下的分类标准. 如图6，按与圆心的关系分类，把同一条弧所对的无数个圆周角分成三类：①圆心在圆周角内部；②圆心在圆周角的边上；③圆心在圆周角的外部.

图6

【设计意图】通过活动2，学生发现了一条弧所对的圆周角有无数个，在活动3 中对圆周角进行分类，逻辑严明，结构紧凑. 另外，对研究对象进行分类，有助于学生明确研究对象和研究思路，也可以简化研究过程. 当然，也为后面发现和证明性质做铺垫.

2. 性质的发现

问题2：已经明确圆周角的概念，接下来应该研究什么？怎样研究？

师生活动：学生根据以往积累的研究几何图形的经验，很容易想到在获得图形的概念之后需要对图形的性质进行研究，但是部分学生很难想到研究方法.

追问1：我们知道，研究图形的性质本质上是研究组成图形的元素之间的关系，那么试观察圆周角，图中有哪些元素？

追问2：我们可以研究哪些问题？

追问3：这里与圆周角相关的弧有几条？有几个圆心角？有几个圆周角？弧是唯一的，它所对的圆周角却有无数个，你可以提出什么问题？同弧所对的圆周角有无数个，而所对的圆心角是唯一的，对此你又可以提出什么问题？

学生提出问题：（1）同弧所对的无数个圆周角之间有什么关系？（2）同弧所对的无数个圆周角与唯一的圆心角之间又有什么关系？

追问4：具体的关系是什么？

师生活动：学生通过观察、度量特殊情况的图形，得到如下猜想.

猜想1：同弧所对的圆周角相等.

猜想2：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

【设计意图】通过以上问题串引导学生关注圆周角的图形结构，从组成图形的元素入手，探究圆周角的性质即探究圆周角中的元素的关系. 明晰图形结构后，学生能够自主发现问题、提出问题，为后面自然而然地发现圆周角定理做准备. 另外，对于九年级学生来说，已经学习过了很多直线型几何图形，积累了丰富的研究几何图形的性质的经验，这里教师通过问题串调动学生已有的研究几何图形的经验，并引导学生再次体会研究几何图形的一般套路，构建方法体系.

3. 定理的证明

问题3：你能证明得到的猜想吗？你想怎样证明？

学生会发现两个猜想的关系：第二个命题包含着第一个，从而确定只需要证明第二个命题即可.

问题4：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？

师生活动：学生意识到圆周角与圆心角有如图6所示的三种位置关系，需要分别证明.

追问1：要根据圆周角的三种分类分情况证明，那先证明哪一类呢？为什么？

师生活动：学生通过观察图6 发现先证圆心在圆周角边上的情况，因为这种情况最特殊，且最易证明.

图7

追问2：已经证出了特殊情况，那么另外两种一般情况要怎么证明？

师生活动：学生发现只需要把一般情况转化为特殊情况即可完成证明.

追问3：如何把一般情况转化为特殊情况呢？

师生活动：学生通过分析发现，特殊情况是圆周角的一边过圆心，可以把圆周角的顶点和圆心连接起来，把一般情况的圆周角转化为两个顶点过圆心的特殊的圆周角的和或差，从而使猜想得证.

情况2：圆心在圆周角的内部.

证明思路：如图8，连接CO并延长，交⊙O于点D.这样就把圆周角∠ACB转化为圆周角∠ACD与∠BCD的和，而这两个圆周角都是其中一边经过圆心的特殊情况的圆周角.

图8

情况3：圆心在圆周角的外部.

证明思路：如图9，连接CO并延长，交⊙O于点E.这样就把圆周角∠ACB转化为圆周角∠ECA与∠ECB的差，而这两个圆周角都是其中一边经过圆心的特殊情况的圆周角.

图9

【设计意图】通过问题4和一系列的追问让学生发现分情况证明的必要性及证明思路，积累分情况证明的经验.

活动4：现在已经完成了三种情况的圆周角性质的分类证明，你能归纳一下，证出圆周角的性质吗？根据图形，你可以用符号表示吗？

师生共同归纳出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

符号语言：

图10

【设计意图】师生共同归纳出圆周角定理，并从不同的角度（文字、图形、符号）表示得到的定理，加深学生对圆周角定理的理解.

4. 推论的提出

问题5：一个定理的产生，往往会带来一些新的结论，也就是推论. 那么由圆周角定理能得出什么推论呢？如何得出？

师生活动：得到推论的最重要的方法是特殊化，教师让学生按照这种思路，在课下尝试着得到圆周角定理的推论并证明.

【设计意图】让学生积累得到推论的方法，并在课下检验学生是否会学以致用，便于之后能解决相关的问题.

5. 课堂小结

（1）本节课我们主要学习了哪些内容？

（2）我们是如何研究圆周角的？是怎样发现圆周角的性质的？怎么想到证明圆周角定理的方法的？又是如何得到推论的呢？

（3）你能结合具体的知识谈谈本节课的学习蕴含的数学思想方法吗？

【设计意图】引导学生分别从知识、过程和方法的角度梳理本节课学习的内容，尤其是在过程和方法上是以知识为载体，便于把学生从知识、过程和方法上的收获落实，以达到在今后的学习中将知识迁移的目的.

五、教学反思

笔者在进行教学设计时主要考虑本节课与前后知识的联系、整体知识架构、在“图形与几何”内容中承载的一般研究思路与方法、怎样突破分情况证明圆周角性质等问题. 基于以上思考，教学设计有以下特点.

1. 以圆周角为载体，引导学生关注几何图形的研究套路，培养学生的一般观念

对于之前的直线型图形的学习，学生对相关知识结构理解得较为清楚，较容易体会到几何图形的研究思路与方法. 而在学习圆周角或本章其他内容时，学生感觉相关概念和定理繁杂、知识难成体系、已有的研究经验和方法难以融入本章的学习.

本节课中，在学习完圆周角的概念后，笔者提出了问题2，意在调动学生研究几何图形的已有经验；“怎样研究？”直指研究几何图形性质的方法. 通过这样的问题，既引导学生关注研究几何图形的套路、重视研究图形性质的方法，又让学生切实知道如何研究几何图形及其性质. 通过接下来的追问1，引导学生明确研究几何图形的性质就是研究组成图形的元素之间的关系，那么只要分析出组成图形的元素，研究这些元素之间的关系便可以得到图形的性质. 从课堂教学来看，当教师提出这个问题后，使得不同层次的学生都可以深入思考，调动了学生以往学习几何图形的经验，让学生切实关注到研究几何图形的一般思路和方法，从而可以把以往学习的几何图形的研究思路和方法与圆周角的研究思路和方法融会贯通，形成整体研究几何图形的套路.

2. 以学生为中心，引导学生自主发现问题、提出问题，提高学生主动思考、主动学习的能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式. 教学活动应注重启发式，激发学生的学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题；促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和运用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验；培养学生良好的学习习惯，形成积极的情感、态度和价值观，逐步形成核心素养.

学生自己发现和提出问题是创新的基础. 因此，培养学生自主发现和提出问题的能力是每一位数学教师的责任. 本节课中，问题2 后面的一系列追问旨在引导学生关注圆周角的图形结构，从组成图形的元素入手，分析图形中元素之间的关系. 当学生明晰图形中元素的关系后，根据已有的数学学习经验，很自然地能够发现问题、提出问题. 课堂中，当教师追问后，学生发现了图形结构，很顺畅地主动提出了问题，之后解决问题，整个过程一气呵成.

3. 从数学学科的逻辑入手，突破教学难点

本节课的教学难点是圆周角定理的证明需要分情况讨论. 到底该怎样突破分情况证明这个难点呢？怎样让学生认识到对于圆周角分类的必要性呢？笔者从数学的内部逻辑上重新思考了这个问题. 一般来说，在学习一个新概念时，先下定义明确其概念，用不同形式去表示它以增进对新概念的认识，再对其进行分类. 一方面，分类可以让学生更明确、深刻地认识研究对象；另一方面，分类对接下来的研究思路和方法也有一定的借鉴作用. 基于以上思考，笔者想到在学习圆周角概念时就要对其进行分类，那么学生在接下来研究如何证明圆周角的性质时，会自然地想到研究每一类圆周角的性质. 细思其中的道理，不正是数学学科的研究逻辑吗？