“线性代数”课程教学体会

逯晓雪 张素花

陆军装甲兵学院 北京 100072

“线性代数”是高等院校理工科各类专业的公共必修课程之一，基本内容包括五个模块：行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、二次型。在教学过程中发现：线性代数这门课程的特点是基本概念、性质和公式多、计算繁杂、需要记忆的结论也比较多，前后知识点的联系比较紧密，导致很多学员对这门课的评价是“乱”“碎”，使得学员不能总体把握课程。基于这种情况，在线性代数课程教学时，首先授课教员须让学员既了解“在做什么？怎么做”，更要理解“为什么这样做”，同时引导学员积极参与到还原数学发现和再次发现的过程中，帮助学员还原知识建立的过程，加深对课程本质的理解。对于一些抽象的概念可以结合几何图形或者实际案例引入，降低知识的抽象性；另一方面在教学中适当引入和其专业相关、日常生活或当前热点技术相关的例子，让学员始终保持好奇心；最为关键的是要引导学员养成在学完每一章后自觉总结、及时归纳的好习惯，寻找各个概念之间的联系和区别，进行对比记忆。

一、线性代数教学中存在的问题

线性代数是大学数学中一门重要的公共基础课，这门课程内容少，题型较固定，对学生的预备知识的要求也比较低，只需要掌握中学基础的数学知识即可学习。尽管如此，在教学过程中还是发现学员学习线性代数存在很多问题：

(1)概念容易混淆、定理公式理解不到位、逻辑思维混乱。例如，因为行列式和矩阵都与数表有关系，而且行列式的六条性质中有换行、倍乘、倍加，而矩阵的初等变换中也有相应的三种变换，所以有部分学员经常混淆两者的符号，或者在矩阵的初等变换过程中错用等号等。在学习第五章矩阵的相似对角化问题时，每一节的理解和计算没有问题，但是综合考查时，容易搞不清楚什么时候需要正交化的过程，什么时候不需要。

(2)学员的抽象能力弱，逻辑推理能力不强。比如已知一个具体的方程组，学员很容易根据定理判断出方程组的解的情况。但是如果给出一个抽象的矩阵，如已知为×阶矩阵，()=，在、、关系未知的情况下，学员一般无法通过先假设和的情况，进而比较和、的关系，从而全面分析出齐次线性方程组=0和非齐次线性方程组=的解的情况，大部分都是自己举出一个符合条件的具体的方程组进行判断导致结论不全面。

(3)因为选用的线性代数教材基本没有实际应用案例，导致学员认为线性代数就是一门纯计算的课程，而且线性代数的题目计算量一般都比较大，使得学员无法领会线性代数所体现的方法和思想，更不会去了解在其他领域中的应用。

(4)学员无法从整体上把握课程内容。从线性代数教材的编排顺序和内容安排来看，每章节貌似没有联系，互相独立，导致学员学完课程后感觉零、散、乱，前后联系不起来，从而出现了每一节的练习题可能会做，但是对于一些综合题无从下手，或者即使会做题但是不清楚“为什么这样做”的情况。

二、教学过程中的应对策略

(一)合理安排教学，深入剖析概念

线性代数课程具有极强的抽象性，特别是一些概念晦涩难懂，定义突兀，如果直接讲定义会导致学员理解困难，教学效果不好。我们可以从学生已知的知识结构或者生活中的一些例子引入新概念；也可以先为学生讲解概念的简单实例，然后由浅入深剖析概念。例如在讲初等矩阵的知识时，我会先让学员自己计算一个具体的三阶矩阵分别和三种(六个)初等矩阵相乘，引导学员自己总结出矩阵乘积的运算规律，从而得到一般的矩阵乘法和矩阵的初等变换之间联系，这种由具体到抽象的方法也符合学生的认知规律，记忆也更深刻。向量组的极大无关组是一个重要的概念，也是一个教学难点。大部分学员在学习第四章时感到内容非常抽象，学习比较困难，经常搞不清楚线性表示、线性组合、极大无关组等各种概念、性质和结论。那么在讲授向量组的这些概念时，我们就可以与三原色的概念进行类比。极大无关组的概念指的是向量组中个线性无关的向量，并且满足任意+1个向量均线性相关，极大无关组中向量的个数就是向量组的秩。我们知道绘画时需要调色，三原色是红、黄、蓝，三原色中任何两种颜色都调制不出其余的那种颜色，但三原色按照一定的比例可以调制出其他任意一种颜色。那么三原色之间的这种关系就类似于向量之间的线性无关，而其他的颜色均可以由三原色线性表示。而三原色就是所有颜色组成的集合的一个“极大无关组”。通过这个生活化的例子，可以有效帮助学员理解线性表示、线性相关、极大无关组这些抽象的概念。

(二)融入数学思想，提升思维能力

数学知识的记忆是短暂的，长时间不用就会遗忘，但数学思想方法的记忆却是永久的。日本教育家米山国藏认为：“成功的数学教育，应当是数学的精神、思想方法深深地永远铭刻在学生的头脑里，长久地活跃于他们日常的业务中，虽然那时，数学的知识可能已经淡忘了。”所以在线性代数教学中，一定要深刻揭示隐含于知识中的数学思想方法，例如：化归思想、变换思想、归纳思想、演绎思想、类比思想、建模思想及数形结合思想等，其中的化归思想更是解决线性代数问题的基础。比如行列式的展开法则即将行列式转化成低阶行列式，线性方程组的求解转化为对应的行阶梯形问题，向量组的线性相关性问题转化为齐次线性方程组，是否有非零解的问题等都蕴含着化归思想。在教学过程中引导学员理解、掌握并会用这些数学思想方法才是解决问题和分析问题的关键，不仅能加深学员的理解，还可以从认知层面上提高对数学本质、数学思想方法的领会和感悟，从而培养学员独立学习的能力。

(三)挖掘实际背景，引入军事案例

数学不是无源之水，无本之木。线性代数产生于实际问题，发展出成熟的理论后具有广泛的应用性。在教学中，通过挖掘实际背景，分享阅读材料，选用适宜的案例等多种形式，让学员了解到线性代数的重要作用和学科的应用发展，从而激发其学习兴趣，鼓励其学以致用。

例如，在第三章开始介绍线性方程组及其求解问题时，可以引入交通流量实际案例。如图1所示，某城市市区的交叉路口由两条单向车道组成。图中给出了在交通高峰时段每小时进入和离开路口的车辆数。计算在四个交叉路口间车辆的数量。

图1

考虑到军校学员的特点，在案例的选取上还可以更加贴近军事特色。例如讲“绪论”时，为了说明线性方程组在军事应用中的巨大价值，可先简要介绍“北斗”导航系统的卫星定位原理，即将伪距方程线性化后，用户所处的位置就归结为线性方程组的求解问题；接下来再以雷达散射截面的计算为例，为得到雷达散射截面情况，就要分析表面电流分布，而不论哪种分析方法都需将连续问题离散化，又是求解线性方程组。在学习矩阵的特征值和特征向量理论时，将“25，000，000，000：”这篇文章推荐给学员阅读。文中对Goole搜索引擎的PageRank排序算法进行了详细的介绍，很有启发性。该算法是诸多搜索引擎的算法基础，深刻影响着互联网时代每一个人的生活。而发明这种算法的拉里·佩奇与谢盖尔·布林当时只是斯坦福大学的研究生。在讲解理论时还可以激励学员打好理论基础同时，也要注重理论结合实践。又如在讲解逆矩阵时，可以给出一个实际案例应用：Hill密码的破译问题，让学员了解利用逆矩阵的特性并结合加密算法原理，将接收到的信息进行解密。诸如此类紧密结合军事的实例介绍，既能开阔学员的视野，又展示了线性代数的魅力，提升了教学效果。

(四)借助软件，解决实际问题

在完成基础理论课学习的基础上，将Matlab等一些数学计算软件应用到线性代数教学中，介绍如何应用现代计算手段快速解决实际问题，进而提高学员应用理论知识解决实际问题的能力。

例如第五章用正交变换化二次型为标准形，正交变换的好处是保持几何形状不变，而且寻找正交矩阵有“求特征值—特征向量—正交化—单位化”固定的步骤，可以套用固定的模式求解，但是通常计算量很大，并且在施密特正交化的过程中非常容易出错，所以我们可以用Matlab软件将二次型化为标准形。

例：求一个正交变换=，把二次型=-2+2+2化为标准形。

同时通过Matlab软件把原来的二次型和正交变换后得到的标准形对应的图形画出来，分别为图2和图3：

图2

图3

图4

运用数学软件将所学的理论知识具体、直观地展现出来，不仅能使学员切实理解二次型到底是什么,它有什么几何意义,用正交变换法和配方法化二次型为标准形时有什么区别,二次型的标准形有什么用，还能增强学习的趣味性和目的性，使得学员对Matlab等软件有初步的了解，为下一步参加数学建模竞赛打下一定的基础。

(五)数形结合，融入几何解释

(六)及时归纳总结，注重构建知识网络

线性代数各知识点间有着千丝万缕的关系，因此解题方法多种多样。只有及时归纳总结，搞清楚各个知识点间的联系和区别，才能打开思路。

例如，判断向量组：，，…，的线性相关性，根据定义即是否存在一组不全为零的数，，…，，使得++…+=0，而这个问题又可以归结于齐次线性方程组=0是否有非零解，=0是否有非零解是通过比较系数矩阵的秩和未知数的个数来判断的。通过这样一道表面上只与向量组线性相关性有关的例题，然后引导学员仔细分析，发现它其实和线性方程组的解、矩阵的秩等内容相联系，判断方法并不仅仅靠定义，可从不同角度入手。由此学员能很好地体会各部分知识之间的内在联系，对课程内容有整体性的认识。矩阵是学习线性代数的一个重要工具，第五章涉及矩阵的概念就有正交矩阵、相似矩阵、合同矩阵，特别是相似矩阵和合同矩阵，两者都是一种等价关系(因此又可与第三章学习的矩阵等价的性质联系起来)，又有不同点。这些都需要学员自己总结它们的联系和区别，对比记忆，才能彻底理解这些易混概念。又如学员经常搞不清楚极大无关组、基础解系、基这三个定义，实质就是基础解系和基是特殊的向量组的最大无关组。

线性代数这门学科在自然科学、社会科学、工程技术等领域有着广泛的应用，是很多实际问题数学语言描述和核心算法的基础。所以在线性代数教学中我们不应只关注学员是否会进行数值计算，更应强调学员对基本概念的理解和掌握，注重培养其抽象思维能力和逻辑推断能力及分析问题和解决问题的能力，为后续课程的学习奠定基础。