基于滑模的多无人机系统协同编队控制

鞠 爽，王 晶，窦立亚，顾维博

(1.北京化工大学信息科学与技术学院，北京 100029；2.北方工业大学电气与控制工程学院，北京 100144)

0 引言

近年来，无人机(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)在救援任务、监视、侦察、航空摄影等领域的应用十分广泛，受到了极大的关注。值得指出的是，在某些特定的环境下，单架UAV难以实现更加复杂的控制目标或者应对更加复杂的工作环境，如自然灾害监测、军事探测、追击目标、航空测绘等。因此，多UAV系统协同编队控制研究作为UAV控制中的一个重要研究课题，逐渐成为研究的热点。多UAV系统编队控制的目标是使一组UAV在运动的同时能够保持一定的期望几何编队。多UAV系统编队控制的核心思想是在代数图论的基础上，设计一致性控制策略以达到控制目标。

实际上，领导-跟随结构方法和虚拟结构方法可以看作是基于一致性的编队控制方法的特例。在求解编队控制问题时，通常将期望的编队轨迹重新表示为一致性状态，并用虚拟领队来表示。领导者独立于追随者，但对追随者的行为有影响。然后，可以通过只控制虚拟领导者的行为，进而实现一组跟随者的控制目标。文献[7]研究了领导者静止但通信拓扑是切换拓扑时的一致性问题,当领导者动态变化时，该问题更具有挑战性。文献[8-10]分别研究了一阶、二阶和高阶多智能体系统的领导-跟随一致性问题。文献[11]针对无人机动力学模型，提出了基于虚拟结构法的分布式多无人机鲁棒编队控制。文献[12]研究了全向移动小车编队的轨迹跟踪问题。对于移动体的运动规划而言，可以分为完整约束和非完整约束两类,能够减少位置空间自由度的是完整约束，不能减少位置空间自由度但能减少速度空间自由度的是非完整约束。相较于完整约束，非完整约束对于系统可能的运动具有限制条件，尽管这个问题很有挑战性，众多专家也对非完整约束系统的编队控制开展了一系列研究并取得了优秀的成果。文献[14]研究了链式非完整约束系统的编队控制问题，提出了一种基于观测器的一致性算法。文献[15]研究了有限时间非完整约束移动机器人的编队控制问题。 文献[16]研究了基于紫外线方位和测距视觉相对定位系统的多旋翼UAV领导-跟随编队控制问题。文献[17]研究了领导者匀速运动情况下,跟随者模型具有不确定性的跟随编队控制问题。

滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)的主要思想是将被控系统的状态量拉到预先设计的滑模面并保持在滑模面上运动，具有鲁棒性好、响应快速、易于理解和实现等优点。文献[20]通过SMC实现了对单个UAV的位置控制与姿态控制。文献[21]针对多UAV系统，提出了基于滑模干扰观测器的动态面控制算法，保证了编队控制系统的控制精度和鲁棒性。文献[22]提出了一种基于自适应非奇异终端超曲面SMC算法，解决了在有外部扰动条件下的UAV和无人地面机器人的编队控制问题。文献[23]提出了一种分散SMC算法，使无人机群在高度和航向角上达到一致。然而，目前对于非完整约束模型的UAV系统的基于SMC的协同编队控制问题的研究还不充分。

鉴于此，本文针对一类具有非完整约束的多UAV系统，提出了一种基于SMC的协同编队控制算法。主要贡献总结如下：

1)在领导-跟随结构下，采用分布式状态观测器，在仅部分跟随者先验已知虚拟领导者信息，并且所有跟随者之间只需局部交互信息的情况下，所有跟随者能够在有限时间内估计出虚拟领导者的状态。 文献[22]需要所有跟随者得到领导者信息，文献[13]研究了无领导者编队的有限时间控制问题，所有无人机需发送和接收邻居信息。从通信和信息交互的角度而言，本文采用的分布式状态观测器适用于更多的应用场景。

2)利用分布式观测器的估计状态，提出了基于滑模的协同编队控制算法。与文献[13,22]类似，本文所提控制算法是基于滑模的，能够使误差系统状态在有限时间内到达滑模面，使所有无人机渐近收敛到期望编队，并且能够跟踪上期望的运动轨迹。由于滑模面的设计与被控对象的参数及扰动无关，也就使得处于滑模运动的系统具有很好的鲁棒性。文献[15]所提算法可以使无人机能够在有限时间内稳定，但是未讨论算法的鲁棒性。另外，与文献[13]所提出的SMC算法相比，本文所提控制器参数需满足的条件简单，控制器实现方便。

1 问题描述与预备知识

1.1 图论

1.2 问题描述

考虑个跟随者在平面上运动，它们满足经典的四旋翼UAV非完整约束动力学模型。在全局坐标系下，跟随者的动态表达式如下

(1)

其中，[；]∈表示UAV的位置；∈表示UAV的线速度；∈表示UAV的角速度；∈[-π,π)表示UAV的偏航角；=1,2,…,。

虚拟领导者的表达式如下

(2)

其中，[；]∈表示虚拟领导者的位置；∈表示虚拟领导者的线速度；∈表示虚拟领导者的角速度；∈[-π,π)表示虚拟领导者的偏航角。

目标1：个跟随者能够收敛至期望编队Π，即

(3)

目标2：个跟随者能够跟踪上期望轨迹，即

(4)

其中，,=1,2,…,。

1.3 相关引理

首先，给出一些关于齐次性的引理。

文献[24]考虑连续向量函数

()=((),(),…,())

文献[25]考虑如下系统

(5)

其中，()是连续函数。假设系统(5)的齐次度为。如果初始值是渐近稳定的并且<0，那么系统的初始状态是有限时间稳定的。

文献[24]考虑系统(5)，假设存在一个连续函数():→满足如下条件：

1)()是正定的。

2)存在实数c>0,α ∈ (0,1)和原点附近的邻居集U0 ∈U,V(x)+c(V(x))α ≤0,x ∈U0{0}成立,那么可以得到系统原点是一个有限时间稳定的,有限时间为

如果==，那么原点是全局有限时间稳定的。

值得指出的是，仅图中的部分跟随者能够知道虚拟领导者信息。因此，本节还给出了一个关于分布式状态观测器的引理，用于估计虚拟领导者的状态，为控制器的设计奠定基础。

文献[15]针对系统(1)和(2)，设计分布式观测器如下

其中

2 主要结果

本章在引理5中有限时间观测器的基础上，设计了协同编队控制器。

(6)

2.1 误差系统及问题转化

首先，采用引理5中的状态观测器，在全局坐标系下，定义如下误差系统

(7)

(8)

为了实现前文提到的编队控制问题，仅需要满足如下控制目标

(9)

理由如下:一方面，当式(9)满足时，存在

,=1,2,…,。根据式(8)可知，目标1(3)满足。另一方面，当式(9)满足时，有

根据式(8)可知，目标2(4)满足。

为方便控制器设计，将全局坐标系下的误差系统(7)转化为笛卡尔坐标系下的误差系统，表示为

(10)

当≥时，误差系统(10)表示为

(11)

根据式(1)、式(2)和式(8)，对式(11)求导可以得出误差系统的动态表达式为

(12)

鉴于此，多UAV系统的编队控制问题可以转化为误差系统(12)的稳定性问题，即：设计合适的控制率和使误差系统(12)稳定，可以满足控制目标(9)，进而满足控制目标(3)、(4)。

2.2 协同编队控制器设计

设计角速度滑模面为

(13)

(14)

设计速度的滑模面为

(15)

(16)

2.3 主要定理

证明：定义Lyapunov函数

对其求导并将式(13)代入，可以得到

将角速度式(14)代入上式，可以得出

设计如下Lyapunov函数

对其求导可以得出

将速度式(16)代入上式，可以得出

证明成立。

证明：分为以下三个步骤。

根据上式，可以得出

(17)

速度控制率(16)等价于

(18)

设计Lyapunov函数

对上式进行求导，得出

将式(18)代入上式，得出

将式(18)代入上式可以得到

将上式分解为和，分别表示为

证明成立。

3 仿真验证

在本章中，用数值仿真来验证所提方法的有效性。考虑图1所示的通信拓扑结构，其中0表示虚拟领导者，1～4表示跟随者。根据图1，矩阵和分别设置为=[0 1 1 0; 1 0 0 0; 1 0 0 1; 0 0 1 0]和=diag{1,0,1,0}。

图1 多无人机通信拓扑Fig.1 Communication topology of multi-UAVs

初始位置为[(0),(0),(0)]=[15,10,20]，(0)=[20,25,32,-2],(0)=[20,28,-3,2]，(0)=[-20,30,40,-30]。期望编队中心与各个跟随者在方向和方向的期望距离分别为[-15,15,-15,15]和[-10,-10,10,10]。其他参数如表1所示。

表1 仿真实验参数

图2所示为多无人机编队轨迹，可以看出4架无人机能够保持一个方形编队并跟踪上期望轨迹。图3所示分别为角速度和速度滑模面的变化曲线。可以看出，本文所提控制算法能够使速度与加速度滑模面快速收敛到零。图4所示分别为跟随者与领导者方向和方向的实际距离与期望距离误差。可以看出，该误差趋近于零，但存在一定的抖振。在实际应用中，可采用饱和函数替换符号函数，以减少抖振带来的影响。

图2 多无人机编队轨迹(系统无不确定项)Fig.2 Formation trajectories of multi-UAVs (no system uncertainty)

受到文献[18]的启发，考虑实际系统往往存在不确定项，本文的系统模型(1)可以表示为

(a) 角速度

(b) 速度

(a) x向

(b) y向

图5 多无人机编队轨迹(系统存在不确定项)Fig.5 Formation trajectories of multi-UAVs(system uncertainty exists)

4 结论

针对一类具有非完整约束的多无人机系统，提出了一种基于滑模的协同编队控制算法。

1)采用分布式状态观测器，使所有跟随者能够在有限时间内估计出虚拟领导者的状态。利用该观测器的估计状态，提出了一种基于滑模的协同编队控制算法。基于李雅普诺夫稳定性理论证明了多无人机系统的稳定性。

2)在系统不存在和存在不确定项这两种情况下，将所提算法应用于5架无人机编队控制中，得出的仿真结果显示出多无人机系统最终能够收敛到期望编队，并且能够跟踪上期望的运动轨迹。这表明所提算法是有效的并且具有一定的鲁棒性。

3)本文所设计的方法仅适用于跟随者之间的通信为无向的情况，在未来工作中，可考虑将此方法扩展至跟随者之间的通信是有向的情况，并且考虑固定翼无人机的的协同编队控制问题。