直观感知 多元表征 建立倍的模型——大单元教学背景下《倍的认识》教学思考

位秀丽

（安徽省淮北市泉山路学校 安徽淮北 235000）

倍的本质是两个数量在相互比较，即一个量里包含了几个另一个量就是它的几倍。借助图示将所比较的两个事物的数量关系对比，直观化理解1份与多份，引出“一个数的几倍”的含义，从具体实物数量的比较中抽象出倍的过程。因此，在教学时，我把“倍的认识”这一知识融合在学生的直观感受、动手操作和语言表征之中，让学生在多种感官刺激中经历“倍”的概念形成过程。

一、图示理解数量关系，初步感知“倍”

师：同学们请看：勤劳的小兔收获了这么多的萝卜，谁来用数学语言说一说都收获多少萝卜？

生：胡萝卜有2根，红萝卜有6根，白萝卜有10根。

师：把这两根胡萝卜圈起来，表示两个为一份，红萝卜有这样的几份？

生：红萝卜有这样的3份。

师：红萝卜有几个2根？（3个2根）

师：谁能用倍来说说红萝卜和胡萝卜之间的关系？

生：红萝卜是胡萝卜的3倍。

图一

师：为什么红萝卜是胡萝卜的3倍呢？

生：图上胡萝卜是每两个为1份，红萝卜有这样的3份，也就是3个2，所以说红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。

师：真会观察，圈一圈，数一数，他讲清楚3倍的道理了，很好！

师：看图说很简单，胡萝卜每两个为1份，红萝卜有这样的3份，也就是3个2，所以红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。

教学时，首先出示教材主题图，让学生自己找出数学信息，胡萝卜2根和红萝卜6根两者相比较，学生说出红萝卜与胡萝卜的关系。

教师示范2根胡萝卜一圈，让学生说一说其含义，在理解基础上，通过像这样两根两根地摆一摆、圈一圈，初步感知两者之间的倍数关系，借助直观感知学生第一次尝试用规范地数学语言表征，明确：胡萝卜2根为一份，红萝卜里有这样的3份，也就是3个2根，所以红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。通过图形表征、语言表征学生从不确定到明晰红萝卜与胡萝卜之间的倍数关系，让他们初步感知倍的含义，“几倍”与“几个几”建立起联系。

二、多元表征数量关系，理解应用“倍”解决问题

1.找准关系，用倍进行语言表征

师：白萝卜也跟胡萝卜作比较，会是几倍呢？

师：拿出你们桌面上的作业纸，圈一圈，填一填，找找看，究竟是几倍？

展示生作品：

图二

生：胡萝卜每两个为1份，白萝卜有这样的5份，也就是5个2，白萝卜的根数是胡萝卜的5倍。

让学生观察胡萝卜和白萝卜的关系，学生借助学习单独立圈一圈，明确2根胡萝卜为一份，通过填一填，理解白萝卜里有这样的5份，也就是5个2根，借助图形和文字提示学生自主尝试找准关系，用倍进行语言表征：明确白萝卜的根数是胡萝卜的5倍。

学生认识实物带有具体性和直观形象性，需要从感受中获得感性积累，从而上升到理性认识。从几个几过渡到倍的语言表征，让学生经历从对生活中具体实物量的比较中抽象出倍的过程。再让学生自主发现白萝卜的根数与胡萝卜的倍数关系，通过知识的迁移形成对新知的巩固与运用，引出“一个数是另一个数的几倍”的含义。让学生感受到“1份”的标准很关键，先观察确定1份圈出来，另一个数量圈了几个这样多，就是几份。

2.多元表征数量关系，应用“倍”解决问题

（1）阅读与理解

师：他们在干什么？（打扫卫生。）真是一群爱劳动的孩子。仔细观察，你发现了哪些数学信息？

信息：擦桌椅的有12人，扫地的有4人。

（2）分析与解答

方法一：

图三

4人圈一圈，擦桌椅的人数有3个这么多，说明擦桌椅的人数是扫地的3 倍。

方法二：

把扫地的（4）人看成一份，然后将擦桌椅的12人（4）个（4）个地分，可以分出（3）组，说明12是4的（3）倍。

方法三：

“求擦桌椅的人数是扫地人数的几倍”就是要把擦桌椅的12人进行分组，扫地的人4个人一组，看有几个这样的一组，实际上就是求“12里面有几个4”？算式：12÷4=3

总结：求一个数是另一个数的几倍，就是求一个数里面有几个几，要用除法计算。

教学时，让学生充分经历用语言描述问题、画图表征数量关系、列除法算式解决问题的过程，加深学生对倍概念的认识。

三、变式一份与几份，深化对“倍”的认识

1.改变比较量的数量，在变化中加深对倍的认识。

图四

师：如果白萝卜这样往下摆，你能说一说白萝卜是胡萝卜的几倍吗？

胡萝卜数量“2根”不变，改变白萝卜的份数，让学生分别说出白萝卜与胡萝卜的倍数关系。在这个片段中“1份”标准不变，比较量在不断发生变化，倍数就发生了变化，强化标准量的唯一性。逐步解开“倍数关系”的种种类型。拓展：白萝卜的数量一直增加，有20个2根呢？50个2根呢？100个2根呢？让学生发现：倍可以是无限增大的。

2.改变标准量的数量，在变化中加深对倍的认识。

图五

师：都是红萝卜和胡萝卜作比较，为什么一会儿是2倍关系，一会儿又是3倍关系呢？

后来增加1根胡萝卜，此时红萝卜和胡萝卜又有怎样的关系呢？再把刚才红萝卜是胡萝卜3倍的情况展示出来，和现在进行对比，为什么都是红萝卜和胡萝卜比较，倍数却不一样？学生通过直观地观察对比，从起初的“1份数不变，几份数变化”到“1份数变化，几份数不变”两个层次的推进，组织学生观察比较，在“不变”中感受“变”，而这个“变”，就是当 1份发生变化时，另一个量里有几个这样的 1份，就是几倍也会发生相应的变化，进一步理解“倍”的本质。通过不断地辨析，加强对“倍”的理解。

练习环节通过设计连续的情境，不断改变两个比较的量的数量，让学生在有趣的“变化”中进一步认识倍，感受在比较倍数关系时标准的重要性，要先明确是谁和谁比，再找出倍数关系。

3.数量关系及其之间的转化，建立倍的模型。

图六

师：坑里种什么？白菜和萝卜才能成倍数关系呢？同桌商量商量，帮小兔出出主意。

生：可以种白菜。把这2根胡萝卜给圈起来表示看作1份。白菜有这样5份，白菜的棵数是胡萝卜的5倍。

师：他的想法里以什么为标准？（2根胡萝卜为标准）

生：可以种胡萝卜。3根胡萝卜看做1份，白菜有这样的3份，白菜的棵数是胡萝卜的3倍。（3根胡萝卜为标准）

总结：小兔既可以种……白菜，还可以种……胡萝卜。

本环节设置问题：思考“小兔种什么才能使白菜和胡萝卜成倍数关系？”目的是通过变式练习防止学生的思维定式，深化对倍的概念的认识。这里针对倍数关系的数学模型，不断改变两个比较量的数量，让学生在有趣的“变化”中进一步认识倍，感受在比较倍数关系时标准的重要性，要明确是谁和谁比，再找出倍数关系，重视意义理解，多角度、循序渐进地建立倍的概念。

四、重视方法指导，培养几何直观

1.借助图形，直观把握数学对象

图七

师：可是小兔最后只种了一种蔬菜，他把他的想法藏在了一幅神秘的图形中。请看。你能从图中看出小兔到底种了什么吗？

生：最后小兔种的是胡萝卜，因为图形中每三个为一份白菜。

师：他说3颗白菜摆一组，说明他的想法里把谁看做了标准？（3根胡萝卜）

图八

思考：日子一天天过去了，小兔吃的什么呀？现在可以说什么啦？

生：白菜的棵数是胡萝卜的根数的2倍。

图九

师：现在呢？

生：白菜和胡萝卜同样多了。

生：那你能用倍来比一比白菜和胡萝卜是几倍关系？

生1：是0倍关系。

师：为什么？

生2：1倍。

师：你认为是1倍，说说你的理由。

生1：因为他们已经同样多了

生2：因为白菜有1份，胡萝卜也有1份，所以就是胡萝卜的1倍。

师：你们听懂了吗？（掌声）

师：那么1倍的两个数有什么特点呢？

生：他们的两个数都是同样多的。

接下来，由“小兔只能种一种蔬菜，它把自己的想法藏在一幅图中”引出线段图，让学生找出白菜与胡萝卜的倍数关系。这里除了3倍数和2倍数，还重点讲了1倍数。学生自主“几倍”，让他们自主完成对“倍”这个概念的模型的有效建构，进一步深化对“倍”这个概念的本质理解，在创造过程中发现逆向思考，通过正向和逆向的对比，理解两个量之间的倍数关系，提升思维。而1 段线段表示蔬菜个数是具有一般性的，蕴涵着“类”的思想，可以用来表示一类问题的数量关系，也为今后此类解决问题奠定基础。

2.拓展延伸提升认知，直观建立倍的模型

师：刚才我们学习了这么多，现在，谁来说说你对倍的认识？

生1：找两个数之间的倍数关系时，先找标准。

生2：可以用倍解决问题。

师：你们收获的可真多，老师真佩服你们。你们能用符号语言来表示倍数关系吗？

（请看大屏幕）课件出示活动要求：

从○、△、□……中选两种图形，用若干个表示出它们的倍数关系。

让别人一看就明白。

师：看清要求了吗？拿出学习单，动手试一试吧。

师：完成的孩子请举手。谁愿意来给大家分享一下你的作品。

展示作品：（学生在分享时一定引导他说清楚是以谁为标准，为什么另一种图形是这种图形的几倍）。

回顾这节课有什么收获？什么是倍？学生利用图形的方式表示出自己心目中的一个倍数。让学生体会到除了利用语言、实物、线段可以表示倍，还可以利用图形来表示倍，多元表征建立倍的概念。

画图策略，指导学生学会用图来描述题意，表达不同数学对象间的关系。教师可以用简笔画或圆形、三角形等图案去替代实物，将图案与具体实物间建立一一对应的关系，画出情境中包含的数量关系，引导学生思考如何找到两个所比较的量之间的数量关系，启发学生用画圈或画弧线的方法表示出来，便于一眼看出两者的倍数关系。

教师也可以用画线段图来帮助学生理解分析倍数关系。在教学例3时，教师先指导学生画一条线段表示军模价钱（8元），再根据“象棋的价钱是军棋的4倍”，连续画出4段与第一条线段同样长的线段来表示象棋价钱。

学生想要借助图形直观地把握数学对象，进行数学思考，首先需要把研究“对象”抽象成为“图形”，再把“对象之间的关系”转化成为“图形之间的关系”，这样就把研究的问题转化为“图形的数量”的问题，进而进行思考分析。而有些学生还没有学会只保留研究对象量的属性来画图，可能只会画直观的实物图来表示数量关系。线段图虽然是用几何线段直观表示出数量关系，但对第一次接触的学生来说却是抽象的。因此，在教学例2“求一个数是另一个数的几倍”的问题中，我先引导学生画出形象的实物图；在教学例3“求一个数的几倍是多少”的问题中，再引导学生画出抽象的线段图，让学生学会如何用图来描述题意，更重要的是引导学生关注如何表达不同数学对象间的关系。

由于倍的概念比较抽象，学生日常生活中接触少，所以学生要理解倍是比较难的。教学时，根据学生的年龄特征和思维特点，充分发挥学生的主体地位，让他们通过动手摆、圈、说等方式，沟通乘除法意义与倍的知识联系，初步建立“倍”的概念，在比较量和标准量的“变化”中，进一步加深对“倍”的意义的理解。让学生在观察、操作、思考与交流中通过自主探究和合作学习等学习方式，借助几何直观图，利用多种表征间的转化，使学生理解“求一个数是另一个数的几倍”用除法计算和“求一个数的几倍是多少”用乘法计算的解题策略，形成数学模型。学生可以此体验运用数学知识解决问题的乐趣，建立学习数学的信心，感受数学与生活的联系，体会数学的价值。