一类具有奇异项的p(x)-Kirchhoff方程解的存在性

谢嫣玲，肖宇霞，储昌木

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550025)

1 引言和主要结果

考虑如下含奇异项的p(x)-Kirchhoff型方程：

(1)

其中：Ω⊂N(N≥3)是具有C2边界的光滑有界域；且满足∇u)是p(x)-Laplace算子；M和f(x，u)为满足一定条件的连续函数；λ是实参数；是连续函数且满足在Ω上几乎处处成立，这里

问题(1)源于如下Kirchhoff模型：

(2)

近年来，由于Kirchhoff模型在电流变流体、图像恢复等方面有重要的应用[1-2]，形如问题(1)的非局部椭圆问题受到了人们的广泛关注[3-8].特别地，文献[3]研究了如下问题非平凡弱解的存在性：

(3)

其中：Ω⊂N(N≥3)是有界正则域；a，b≥0，a+b>0；p≥2；0<γ<1；λ≥0；g(x)≥0在Ω上几乎处处成立，且，)满足

(f1) 对任意u∈，有f(x，tu)=f(x，u)，

(f2) 存在Ω1⊂⊂Ω，|Ω1|>0，使得f(x，t)≥0，x∈Ω1.

文献[4]运用极小极大方法获得了问题(3)非平凡弱解的存在性.此外，文献[4]假设M满足如下条件：

(M1)M(t)是(0，∞)上的连续函数，M(t)>0，且对任意的T>0，有M(t)∈L1(0，T)；

该文研究了问题(1)在λ<0的情形.在f满足一定条件时，利用极小极大方法获得了该类方程非平凡弱解的存在性.

然而，作为问题(3)的更一般情形，对满足上述条件的M(t)，当λ>0时，问题(1)的可解性研究尚未发现.本文给出比(f1)更弱的条件：

本文的主要结果如下：

2 预备知识

对应的范数分别为

命题1[4]设1

(ⅰ) 若对任意x∈Ω，r(x)≤q(x)，则Lq(x)(Ω)→Lr(x)(Ω)是连续的；

(ⅱ) 若q(x)

(ⅰ) |u|p(x)<1(=1或>1)⟺ρ(u)<1(=1或>1)；

命题4[4]设p(x)，q(x)是可测函数，对任意的x∈Ω，p(x)∈L∞(Ω)，1≤p(x)q(x)≤∞.若u∈Lq(x)(Ω)，u≠0，则

3 主要结果的证明

(4)

定义1 若对任意x∈Ω，v∈X都有

(5)

则称u∈X为方程(1)的一个弱解.

由于max{1-γ-，r+}<βp-，所以当‖u‖→+∞时，I(u)→+∞.故泛函I在X上是强制的.

由δp->1-γ-和g(x)>0在Ω上几乎处处成立知，存在t*∈(0，1)，使得对当t∈(0，t*)时，I(tφ)<0.

(6)

由Hölder不等式和命题4可推出

(7)

由Hölder不等式可得

通过Lebesgue控制收敛定理和命题4得

(8)

因此，结合(6)，(7)，(8)式可知泛函I是弱下半连续的，且满足

即I(u*)=mλ<0.

定理1的证明由引理3可知，u*是泛函I的局部极小点，I(u*)=mλ<0，这意味着u*≠0.下证u*是问题(1)的一个弱解.

设φ∈X，0<ε<1，定义Ψ=(u*+εφ)+∈X，其中Ψ=(u*+εφ)+=max{u*+εφ，0}，记Ω3={x|u*+εφ≤0}，Ω4={x|u*+εφ>0}.因为u*是泛函I的局部极小点，则有

当ε→0+时，Ω3={x|u*+εφ≤0}积分区域是可测的，对任意的φ∈X，故有

由ε→0+，得到

用-φ替换φ，可得到相反的不等式.因此，

故u*是问题(1)的一个弱解.从而u*是问题(1)的一个非平凡弱解.