带p-Laplacian算子的分数阶微分方程共振无穷多点边值问题解的存在性

孔凡亮，薛婷婷，付丽娜，陈 星

(新疆工程学院数理学院，新疆 乌鲁木齐 830023)

0 引言

近年来，分数阶微分方程在科学与工程领域有着广泛的应用，比如化学物理、非牛顿流体力学、高分子材料的解链等[1-5].为解决自然科学与工程技术领域中众多复杂的问题，越来越多的科学工作者致力于分数阶微分方程的研究.文献[6]利用锥上的不动点指数理论，研究了带有双参数的非线性边值问题在不同增长性条件下正解的存在性、多解性和不存在性.文献[7]运用Schauder不动点定理和Krasnoselskii不动点定理证明了非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性.文献[8]运用迭代技巧得到了一类分数阶微分方程无穷多点边值问题唯一解的存在性.文献[9]研究了下列无穷多点问题：

p-Laplacian方程来源于非线性弹性力学和非牛顿流体理论.近几年，分数阶p-Laplacian问题取得了很多有价值的成果[11-15].文献[16]利用上下解方法，给出了p-Laplacian问题正解的存在性：

其中：0<α，β≤1；CDα是Caputo型分数阶导数；φp()是由φp(s)=|s|p-2s(s≠0，p>1)，φp(0)=0定义的p-Laplacian算子.文献[18]利用Mawhin连续定理研究了带有p-Laplacian算子的微分方程共振问题解的存在性：

文献[18]将上述问题转换为下列线性问题：

(1)

1 预备知识

定义1.1[19]函数x：(1，+∞)→的α阶(α>0)Riemann-Liouville分数阶积分定义为

(2)

这里等式右端逐点定义在(0，+∞)上.

定义1.2[19]函数x：(0，+∞)→的α阶(α>0)Riemann-Liouville分数阶导数定义为

(3)

其中n=[α]+1，[α]表示α的整数部分，等式右端逐点定义在(0，+∞)上.

(1)Lx≠λNx，对任意的(x，λ)∈[(domL〗KerL)∩∂Ω]×(0，1)；

(2) Nx∉ImL，对任意的x∈KerL∩∂Ω；

(3)deg(QN)|KerL，Ω∩KerL，0)≠0.

则方程Lx=Nx在domL∩Ω上至少有一个解.

2 问题(1)的主要结论

考虑如下问题：

(4)

(5)

其中

引理2.1 令L由(5)式定义，那么

KerL={u∈domL|u(t)=ctβ-1，c∈，∀t∈[0，1]}，

∀t∈[0，1]，线性连续投影算子P：X→X和Q：Y→Y，定义：

显然，ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL⨁KerP，Y=ImL⨁ImQ，dimKerL=dimImQ=codimImL=1.因此，L是零指标的Fredholm算子.

定义算子KP:ImL→domL∩KerP，

显然，KPLu=u，u∈domL∩KerP，LKP=y，y∈ImL，i.e.KP=(L|domL∩KerP)-1.

|KP，Qu(t2)-KP，Qu(t1)|=

定理2.1 如果下列假设成立，则问题(4)至少有一个解.

(H1) 如果存在常数M0>0，使得|u(t)|>M0，t∈[0，1]，那么下列二式成立其一：

(6)

(7)

(H2) 存在非负函数a(t)，b(t)，c(t)与A，B，C<+∞和B+C<Γ(β)/2满足

引理2.3 如果假设(H1)和(H2)成立，则集合

Ω1={u(t)|Lu(t)=λNu(t)，u(t)∈domL〗KerL，λ∈(0，1)}

是有界的.

证明对u(t)∈Ω1，可得Nu∈ImL.从而QNu(t)=0，也就是说

由假设(H1)，存在t0∈[0，1]满足|u(t0)|≤M0.根据Lu=λNu，有

(8)

(9)

因此，由(8)，(9)式和假设(H2)，有

引理2.4 如果假设(H1)成立，那么集合

Ω2={u|u∈KerL，Nu∈ImL}

是有界的.

证明如果u(t)∈Ω2，那么u(t)=ctβ-1，c∈并且Nu∈ImL.从而

应用假设(H1)，‖u‖=|c|≤M0.从而Ω2是有界的.

引理2.5 如果假设(H1)成立，那么集合

Ω3={u|u∈KerL，λJ-1u+(1-λ)QNu=0，λ∈[0，1]}

是有界的，其中J-1：KerL→ImQ是同胚映射，J-1(ctβ-1)=ctβ-1，c∈.

证明如果u∈Ω3，那么u(t)=ctβ-1，c∈且λ(ctβ-1)+(1-λ)QN(ctβ-1)tβ-1=0，从而

(10)

如果λ=0，QN(csβ-1)=0.根据假设(H1)，|c|≤M0.如果λ=1，则c=0.对λ∈(0，1)，由(10)和(6)式，可得|c|≤M0.否则，如果|c|>M0，那么问题(10)可以写成如下形式：

由(6)式得

这与c2λ>0矛盾.那么|c|≤M0，因此Ω3是有界的.

引理2.6 如果假设(H1)成立，那么集合

是有界的，其中J-1：KerL→ImQ是同胚映射.

证明过程类似于引理2.5，此处略去.

定理2.1的证明

证明令r∈足够大，则有其中Ω={u|u∈X，‖u‖

(ⅰ)Lu≠λNu，(u，λ)∈[(domL〗KerL)∩∂Ω]×(0，1)；

(ⅱ) Nu∉ImL，u∈KerL∩∂Ω.

令

H(u，λ)=±λJ-1(u)+(1-λ)QNu.

由引理2.5和引理2.6，可知H(u，λ)≠0，这里u∈KerL∩∂Ω，λ∈[0，1]，那么

deg(JQN|KerL，Ω∩KerL，0)=deg(H(·，0)，Ω∩KerL，0)=deg(±I，Ω∩KerL，0)≠0.

3 例子

考虑如下问题：

(11)