经管类专业的数学建模案例教学认识与实践

李元敏

（西南林业大学 数理学院，昆明 650224）

数学在当今高技术时代发挥了日益关键的作用。“21 世纪高技术本质上是一种数学技术”已经成为社会的共识。高等学校的数学教育有必要顺应这一变化趋势，及时调整教学方法和教学模式，更好地提升人才培养效果。

通常数学类课程的教学模式主要有两种：一是按照数学学科自身的分科体系，按分类课程、系统化教学；二是以应用问题为导向，组织教学内容。目前在国内一般高等院校，数学公共课的定位是为学生的专业课程提供相应的数学理论基础和工具，使用的仍然是系统化的传统教学模式。如何与时俱进地改进教学方法和教学模式已经成为数学公共课教改的焦点问题。同时应该针对经管类的学生特点，设计出专门的数学课教学模式，以更好地适应新时代下的人才培养。近年来已经有一些学者进行了研究和探索。通过近年来的教学实践，发现对于经管类学生，数学建模案例教学是激发学生学习积极性，提高数学公共课教学质量、培养学生创新能力的有效教学模式。

我们理解的数学建模案例教学并不是传统系统化教学模式中的背景引例、举例分析，而是一种贯穿于整个教学过程中的具有实践性、开放性的教学模式；是一种解决用实际问题来驱动理论知识的传授的教学模式。本文基于近年来我们的教学实践，对这一教学方法进行总结和讨论。

一、经管类专业数学建模案例教学改革的认识

目前，国内大部分高校的数学公共课教学，仍然是以课堂理论教学模式为主。系统化教学模式主要是从数学的自身逻辑去构建教学体系，和目前学生的实际状况存在一定的脱节现象。同时这种教学模式客观上增加了学生学习的难度。最终造成的局面是：学生似乎知道数学很重要，但陷于基础抽象的理论学习，普遍对数学的实用性缺乏认识，不能领悟所学知识的价值，以至于学习缺乏目标和动力。

实际上，我们培养的经管类学生绝大部分是应用型人才，因此应该与时俱进的转变教学观念。传授多少数学知识给学生并不重要，重要的是让学生能掌握解决问题的数学手段。进一步的，更重要的是在传授学生数学理论和方法的同时，让学生提高数学素养。使得学生能够利用数学的思维方式去解决专业领域遇到的实际问题。我们认为，提高数学类课程教学质量的关键在于激发学生的学习兴趣。教学改革应该首先通过教学模式的调整，让学生感受到“好的数学理论是最实用的。”通过具体问题的解决，展现数学方法的强大威力，从而激发学生的学习兴趣。

经管类专业的数学课程和实际问题结合的教学改革研究，国内已有很多学者进行了探讨。本质上都是在讲授基础数学理论的同时，加入涉及经济、金融和管理的例子。这些教学改革最主要的问题是由于学时有限，教师教学只能重点放在理论教学；即使出现涉及经济类的例子也是作为理论知识的直接应用，不能深入讨论，对于激发学生的学习兴趣作用有限。

另一方面，随着近年来全国大学生数学建模竞赛的开展，数学建模对数学教学改革起到了积极和重要的作用。在建模教学和实践中发展出来的数学建模案例教学方法，也受到了广泛的重视和研究。数学建模案例教学是指以解决实际问题作为教学内容，通过对问题的分析、简化、建模、求解和讨论等，向学生展示数学在解决实际问题中的作用，从而让学生逐步掌握数学理论、方法和思想。

从对数学建模竞赛指导的过往经验上看，理工科学生往往比较适应数学建模的。而经管类学生，对数学方法和工具的使用，普遍要弱一些，主要的原因可能是：理工科专业的很多课程本身就渗透着利用数学建模解决问题的思想和实例，学生对这套方法有一定的训练。而经管类学生大多从记忆的角度来理解专业课程，不太适应数学工具在专业课程中的应用。

实际上，正是由于大量采用了数学工具和方法，更为逻辑一致地揭示出复杂现象背后的深刻规律，使得经管类学科在现代取得了巨大的发展。经管类学生应该顺应学科发展的趋势，熟练掌握数学工具和思维方法，善于利用数学工具，增强自身解决实际问题的能力。所以我们认为以经管类学生为对象，开展数学建模案例教学是符合时代发展需求的。

对经管类学生的数学建模案例教学，一些学者已经有了一些初步的探讨和研究。我们的目标是在这些研究的基础上，在实践中循序渐进地进行教学改革，最终实现以解决应用问题为导向，重构目前经管类专业数学课程的教学内容和教学模式。

二、数学建模案例教学的具体实践

基于上面对数学建模案例教学重要性和必要性的认识，并考虑到教学改革应该以慎重的态度，在最近几年的教学实践过程中，我们进行了以下几个方面的工作。

（一）课堂教学框架的调整

对传统的理论教学进行了调整，在课堂教学的组织上，由教师根据授课专业的特点，准备恰当的案例，以案例教学贯穿整个课堂教学流程（见后面实例说明）。在课后开放式练习中，利用具体实际问题，让学生深入探讨式学习。充分利用现代信息和计算技术的发展，淡化机械式的运算练习，强调数学方法的理解和在问题中的运用，也是根据各个不同专业的差异，设计与安排学生课后习题和案例的解决。最后，在课程考核中增加权重比较大的解决实际问题的开放性试题。

在整个教学过程中，我们特别强调学生的互动和参与，淡化一些数学理论推导，并且不追求数学理论的严谨性，着重强调培养学生的数学直观和直觉。

（二）经管类学生数学建模竞赛专门培训课程

对经管类学生开设专门的数学建模案例课程（公共选修课），课程内容进行专门的针对性设计，由培训老师在经管类学科中收集、整理和加工相关合适的问题。然后通过带领学生：对问题进行分析和讨论；抓住主要因素、做出合理假设；选择合适的数学方法，建立模型；综合利用计算机和数学求解模型问题；分析、讨论和验证结果；撰写报告等各个环节。

在内容的选择上，考虑到经管类问题大多是以收集到的数据为研究起点和对象，我们强调统计学和数据科学的相关方法。在建模方面，针对不同问题的领域特点，对不同专业的学生有所侧重，例如，对于管理类学生，着重于管理决策分析中的数学建模方法，强调运筹学、数学规划等方法的引入；对于经济类学生，侧重于抓住经济现象中的主要因素，建立合理简化的数学模型，强调优化方法和算法的介绍。

（三）重视实际应用，跨学科的联合培养人才

目前的数学基础课课程体系设计是相对封闭和独立的。案例教学是以实际问题为驱动的教学模式，在本质上就要求跨学科的课程建设和人才培养，这就要求数学公共课教师了解经管类学科的发展前沿，同其他专业的教师联合，跨学科的联合培养人才。

最近几年，我们在实践的过程中，找到了一个切入点：通过数学公共课程老师直接参与经管类学生的毕业论文指导（设计）。由于在这些学生的毕业论文大量的使用了数学和统计学的方法，毕业论文的质量在一定程度上得到大幅的提高。

同时通过这种深度的参与和合作，也使数学老师更加深刻地了解到数学在其他专业和学科中的应用，给本身数学公共课的相关教学内容的处理也带来极大的裨益。

三、数学建模案例教学实例——企业价值的评估

数学建模案例教学需要授课教师细致的教学设计，这就要求教师深入到学生的专业领域，提炼具体问题的数学理论的背景、寻找恰当的案例。将具体的案例问题引入到数学课教学中，在教学中展现给学生如何综合的利用数学方法解决问题。

例如，在介绍无穷级数理论时，对于财务会计、金融类的学生，我们使用的是企业价值的评估问题作为案例教学问题。如下，我们介绍一下这一案例教学的具体流程。

第一步，案例的引入和讲解。在对会计、财务类专业学生讲解无穷级数内容时，我们选择的案例是企业的估值问题。通过财务数据对企业估值，经常使用的定量化方法是股利贴现模型和自由现金流量贴现模型。这两个模型都涉及到无穷级数的求和。我们利用这个案例进行无穷级数部分的教学。

理解这个模型的数学理论后，学生自然就知道，在这个模型中r≤g 是不可能出现的，因为此时级数不收敛。经济上的含义是，如果企业增长率大于贴现率，且能永续增长，那么其估值是无限的。

在介绍完这个案例后，学生对于无穷级数的问题背景和数学处理方法有了一定程度的了解，但对其中的数学理论还缺乏系统的学习。

第二步，数学相关理论的精简学习。在这一步我们通常利用教师事先录制好的教学视频给学生观看，视频是教师对知识进行事先整体的梳理，使理论知识脉络、简洁和清晰，时间控制在十五分钟左右，可以结合翻转课堂的模式，由教师事先将视频通过网络分发给学生，学生可以课前观看、课后复习总结。

第三步，数学理论在案例中应用的深入讨论。在这一过程中，教师深入讲解利用数学方法解决企业估值的关键点，让学生充分体会到数学概念提出的合理性，数学理论的深刻性。

同时通过深入讨论，学生就会逐渐发现现有模型的优点和缺陷，促发学生去质疑、改良现有模型，从而客观上培养了学生的创新意识。

第四步，课后的开放性设计。案例教学的最终目的是让学生通过案例去学会如何利用数学工具解决问题。通过课堂上的三个教学过程，学生已经了解建立模型解决问题的流程，课后要引导学生拓展案例中的模型。如自由现金流量模型中存在的一些不合实际的简化假设：有永续存在且增长的企业吗？如果考虑清算并购呢？永续增长率g、贴现率r 这样的时间序列如何估计？如何估计自由现金流？可以利用上述这些问题给学生做课后的开放性设计，提出更加深入的模型。

通过近几年的教学实践，我们发现数学建模案例教学突破了传统系统化教学的弊端，是一种真正教会学生思考的教学方式，是培养学生创新性思维的捷径。

四、深化数学建模案例教学改革的构想

教学改革是一个不断深化和逐渐完善的过程，通过近几年的实践和认识，我们对深化数学建模案例教学改革有如下的一些构想。

（一）继续深化跨学科的联合培养人才

案例教学在本质上就是一个开放的教学模式，有利于跨学科的人才培养，在今后的实践上主要有两方面构想和方案。

第一，继续深化数学公共课程老师参与经管类学生的毕业论文指导（设计），让数学老师深入到经管类专业学生的人才培养中，甚至参与经管类专业的研究生培养过程（参加研究生讨论班、联合指导研究生毕业论文）。

第二，开设数学建模案例教学的公共课程。以目前在数学建模竞赛培训班课程上的案例教学实践为基础，通过和经管专业老师的合作，进一步加工经管类学科中的数学模型问题，将这一课程体系纳入到目前公共课教学体系和人才培养计划中。

（二）教学资源整合，建立跨学科的共享平台

实际上各个高校自身内部，各个专业都存在大量利用数学建模方法解决问题的案例，要重视对这些案例的收集、加工和整理，不仅可以促使跨专业的教学和科研教融合，而且让我们的数学公共课教学及时调整教学内容和教学目标，更好地培养人才。

为此可以在学校层面建立的数学模型案例和数据共享平台，来保证和深化这种人才的跨学科人才培养模式，并促进跨学科科研融合。

（三）顺应数据科学发展趋势，重构人才培养模式

随着数据科学的兴起，案例教学也应该顺应这一趋势。经管类专业的大量实际问题是以收集到的数据为研究基础，应该强调数据科学的方法。从实践上看，针对经济和管理学科的一些具体问题，运用数据科学中的一些“黑箱”方法更为有效，而这些方法相较于传统数学理论，学生也容易理解和掌握。

在教材和课程体系的构建上，对经管类学生应该加强概率统计、统计机器学习、模式识别和数据挖掘等课程的建设。在这些课程中，以实际的数据为研究对象，介绍相应的解决手段和方法，并且在成熟的时候，重构目前的高校数学公共课的课程和教学体系。

五、结束语

对于经管类学生，提高数学类课程教学质量的关键在于激发学生的学习兴趣，以案例为导向来组织教学内容，进行数学建模案例教学是有效的方法。在教学改革的实践中，应该循序渐进地改变目前的教学方式和模式，最终实现以解决应用问题为导向，重构目前经管类专业数学课程的教学和课程体系。