基于指令滤波的板球系统误差反步控制器研究

韩光信，孟圣钧，白淏文

(吉林化工学院 信息与控制工程学院，吉林 吉林 132022)

板球系统作为一种典型的欠驱动控制系统，其研究成果可以推广到诸如机器人控制、飞行器、卫星定位等科技领域.板球系统的研究涉及实验平台机械结构的设计[1]、动力学建模[2]、图像识别[3]和轨迹跟踪控制[4]等多方面课题，同时也被广泛用于检验各类控制算法的优劣.由于板球系统的非线性特性影响系统的控制性能，一些学者研究时利用模糊控制算法无须考虑精确数学模型这一优点，结合相关算法设计出控制器，并完成轨迹跟踪控制，但这些方法控制精度受到一定限制[5-6].在板球系统的实际控制中，摄像机测量小球位置信息的延时以及受到的未知扰动均会增加板球系统的控制难度.文献[7～9]研究了基于计算机视觉的板球系统，其中文献[9]结合LQR和模糊控制方法设计控制器，使系统具有较强的抗干扰性和鲁棒性.为解决不确定扰动对板球系统的影响，董振晔[10]开展了基于自抗扰控制的研究，利用扩张状态观测器观测出系统受到的未知扰动，然后进行补偿，使控制精度达到较高的水平.上述文献设计的控制器均有一定的抗干扰能力，但轨迹跟踪精度有待提高.

板球系统在实际控制过程中往往会受到随机干扰的影响，这些干扰会以不确定的方式对系统反馈的状态变量造成影响.对于板球系统的轨迹跟踪问题，通常要确保小球位置控制精度的条件下，最短的时间完成跟踪任务.本文针对板球系统中存在的不确定因素以及受到的外界未知扰动影响小球位置输出这一问题，引入二阶指令滤波器，抑制模型自身扰动对小球状态变量的影响.结合二阶指令滤波器和板球系统组建复合系统模型，进而设计误差反步控制规律，增强系统抵抗自身和外界干扰的能力.同时，能够在较短的时间内实现高精准轨迹跟踪控制.

1 板球系统建模

板球系统实物模型如图1所示.

图1 板球系统实物模型

(1)

式中，系数k=m/(m+Jb/r2).m，Jb，r,分别表示小球的质量、转动惯量、半径.g为重力加速度.X,Y轴受到的未知扰动分别是wx和wy.由于板球系统的对称轴X,Y轴分别由两个一样的伺服电机控制，两个方向的解耦、线性化关系是一样的，故将板球系统分解为X轴和Y轴的两个子系统.

(2)

2 控制器设计与稳定性分析

2.1 控制器设计

为了抑制板球系统自身扰动对系统输出状态变量的影响，引用二阶指令滤波器滤除小球的位置状态变量和速度状态变量的噪声干扰，以子系统X轴为例设计二阶指令滤波器如式(3)所示[12].因板球系统X,Y轴对称分布，故本文以板球系统X轴方向为例设计控制器，Y轴方向设计参考X轴.

(3)

其中，ξ为阻尼比；ωn为无阻尼自然频率；y0x为板球系统X轴输入信号.

结合式(2)X轴方向子系统和式(3)，组建带有指令滤波的复合系统为：

(4)

结合式(4)定义系统误差：

(5)

其中，e1为小球位置误差；e2、e3、e4分别表示广义上的小球速度误差、平板转角误差和平板角速度误差；α1、α2、α3为虚拟函数，在后面进行定义.

结合式(4)对式(5)中e1进行求导：

(6)

(7)

定义虚拟函数α1：

α1=-c1e1(c1>0),

(8)

代入式(7)得：

(9)

(10)

通过式(10)定义虚拟函数α2：

(11)

代入式(10)得：

(12)

(13)

通过式(13)定义虚拟函数α3：

(14)

代入式(14)得：

(15)

(16)

选取控制规律ux：

(17)

结合式(4)、(5)、(6)、(8)、(11)、(14),化简式(17)可得：

f1=c1c2c3c4+c3c4,f2=c1+c2+c3+c4,f3=c12+c1c2+c1c3+c1c4,f4=c32+f1-c1c2-1,

f5=c1c2+c2c3+c1c3+c1c4+c2c4+c3c4,f6=c1c2c4+c1c3c4+c2c3c4+c1c2c3,f7=c1c2+c1+c2+1.

(18)

2.2 稳定性分析

(19)

则式(2)中的X轴子系统是渐进稳定的.

结合式(9)、(12)、(16)、(17)、(19)可知，

(20)

根据式(20)可知，板球系统X轴方向闭环控制系统是渐进稳定的.同理可证，板球系统Y轴方向闭环控制系统是渐进稳定的.

3 仿真结果分析

(21)

图2和图5分别是带指令滤波的误差反步控制和滑模控制下的轨迹跟踪曲线.图3和图6分别是带指令滤波的误差反步控制和滑模控制X,Y轴跟踪误差.从图中可以看出，带指令滤波的误差反步控制X,Y轴跟踪误差绝对值的平均值分别为0.56 mm和0.78 mm；滑模控制X,Y轴跟踪误差绝对值的平均值分别为2.6 mm和3.43 mm.图4和图7分别是带指令滤波的误差反步控制器和滑模控制器输出曲线.仿真结果表明，带指令滤波的误差反步控制能够在4 s左右稳定运行，有效地克服外界干扰，且轨迹跟踪精度更高.

x1/m

t/s

t/s

x1/m

t/s

t/s

4 结 论

针对板球系统的轨迹跟踪控制问题，研究了基于指令滤波的误差反步控制方案.引入的二阶指令滤波器有效地滤除噪声干扰.同时，设计的误差反步控制器具有较强的抑制外扰能力.仿真结果验证该控制方案能够在短时间内迅速跟上预定轨迹，稳定性更强、精确度更高.