分部积分在分数阶微积分逼近的误差估计中的应用

张光辉，任 敏

(宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000)

分数阶微分方程由于自身理论的迅速发展，在数学、物理、化学、控制理论及金融等各学科中得到了广泛的关注和应用[1-7]，为描述不同物质的记忆和传承性质提供了有力工具.随着分数阶微分方程应用的不断深入，分数阶微积分的数值运算和数值模拟[8]必不可少，尤其是在时间分数阶偏微分方程的数值计算中，时间初始奇异性问题普遍存在，对分数阶微积分算子合理有效地逼近是建立高效差分格式的关键技术[9].本文基于积分型余项的泰勒公式，给出了在分数阶微积分的数值分析中应用广泛的插值逼近[10]和半点逼近等几个逼近格式的误差估计，并用分部积分进行了证明.

1 预备知识

定义1Riemann-Liouville积分[11]

称为右侧μ阶Riemann-Liouville分数阶积分.

引理1[12]对t0,t∈[0,T]和任意的n∈N，若函数u(t)∈C(n+1)[0,T]，则有：

(1)

2 主要结果

在分数阶微分或偏微分方程的数值计算中，对微积分算子中的积分项进行逼近时，经常需要用到插值近似，下面给出几个插值逼近的积分型误差余项.

定理1若函数u(t)∈C(k+1)[0,T],0=t0

设u(t)关于tk-1,tk(1≤k≤N)的一次插值多项式为：

则用P1,ku(t)逼近u(t)的积分型误差估计式为：

(2)

证明：由引理1的积分型余项taylor公式，u(t)在tk-1处有展开式：

(3)

在(3)式中，令ξ=tk-1+s(t-tk-1)，s∈[0,1]，则(3)式化为：

(4)

利用分部积分，对(4)式右端积分项进一步计算，有：

(5)

类似的，在区间[t,tk]上，应用引理1有：

(6)

从(6)式中解出u′(t)，代入(5)式，有：

(7)

对(7)进一步整理，得到(2)，则定理1得证.

定理2若函数u(t)∈C(k+1)[0,T],0=t0

设u(t)关于tk-2,tk-1,tk(2≤k)的二次插值多项式为：

则当t∈(tk-1，tk)时，用P2,ku(t)逼近u(t)的积分型误差估计式为：

(8)

证明：由引理1的型积分余项taylor公式，u(t)在tk-1处有展开式：

(9)

(10)

利用分部积分，计算(10)式右端第一项积分，有：

类似地，利用分部积分计算(10)式右端第二项积分，有：

=(t-tk-1)2u″(t)-(t-tk-1)u′(t)+(t-tk-1)u′(tn-1).

将Q1、Q2的计算结果代入(10)式，得到：

(11)

类似于得出(11)式的推导过程，u(t)在tk-2、tk处分别有：

(12)

(13)

将(11)～(13)联立，消去u′(t)、u″(t),得到(8)式，定理2得证.

推论1 若函数u(t)∈C(k+1)[0,T],0=t0

设u(t)关于tk-3,tk-2,tk-1(3≤k)的二次插值多项式为：

(14)

证明：类似于证明定理2的步骤，易得(14)式.

在时间分数阶微分偏微分方程的离散过程中，在半点处建立差分格式是常用技巧，下面给出一个半点处积分算子的计算公式.

(15)

(16)

对g(t)求二阶导数，得：

其中C为通用常数.

u(0)=u′(0)=0,故由taylor定理，(15)式成立.

(17)

证明：在定理3中，令λ→2,易得(17)式成立.

3 算例分析

(18)

其中右端源像：

g(u)=u3,方程(18)具有解析解u(x,y,t)=tγsin(πx)sin(πy).

先将方程(19)转化为等价的分数阶积分-微分方程：

(19)

应用(15)和(8)对(19)进行数值离散和误差估计，可建立一个求解(18)的ADI格式，并得到截断误差在时间方向的阶为O(τγ),其中τ为t方向的离散步长.

取T=1,α=1.5,h1=h2=0.001,分别取不同的γ和不同的时间步长τ,计算ADI格式对于不同的γ,当t=t1=τ时所得数值解的误差和时间方向的收敛阶，计算结果见表1.

表1 固定h=0.001时，ADI格式在t=t1=τ的误差和时间方向收敛阶

该数值算例验证了ADI格式在时间方向临近初始时刻的收敛阶逼近γ,即截断误差时间方向的阶为O(τγ),从而验证了本文推导的理论公式应用的有效性.

4 结 论

在分数阶微分方程，尤其是分数阶偏微分方程的数值计算中，对方程中积分项的合理有效逼近是构造高精度收敛格式的重要技术和环节，文中对数值分析中常用的一、二次插值逼近和半点逼近方法的误差估计，在对分数阶微积分算子积分项的逼近计算中有着广泛的应用，是构造和分析求解分数阶偏微分方程，尤其是时间分数阶偏微分方程差分格式的有力工具.