由一道模拟题引发的探索与反思

江苏江阴市璜塘中学（214407）陆琴花

基于数学学科核心素养的培养要求，近年的中考数学出现了不少创新试题。笔者结合教学实践，以具有较高研究价值的几何图形试题为载体，引导学生探索，从而使其发现题目的内在联系，掌握解题思路，提升解题能力。

一、题目呈现

如图1 所示，在△ABC中，已知∠ABC=90°，且AB=6，BC=8，点M，N分别在边AB，BC上，沿着直线MN把△ABC折叠，点B落在点P处，如果AP∥BC，且AP=4，那么BN= _________。

图1

图2

二、解法探索

这道题对大多数学生来说有一定的难度，这种难度不敢说可以难倒一大片，但会让相当一部分学生丢分。这道题旨在考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力，且在解题过程中对数学思维有一定的要求。下面我们分析解题思路的形成过程。如果把△ABC沿直线MN折叠，点B落在点P处，那么很显然MN垂直平分BP，欲在Rt△BHN中求BN的长，只需知道sin∠BNH即可。又因为∠BNH=∠ABP，所 以sin∠BNH=sin∠ABP，得BN=。当然也可以用△BNH∽△PBA对应边成比例得到BN的长。

解法1：如图3，由AP平行且等于，再利用三角形中位线的性质及直角三角形斜边中线的性质，延长CP，BA交于点K，连接BP交MN于H，易得CK=。又因为∠PBN=∠BCP，所以cos∠PBN=cos∠BCP，得BN=。

图3

解法2：如图4，把△ABC沿直线MN折叠，得出BN=PN和∠PBN=∠BPN，由AP∥BC得∠PBN=∠APB，所以∠BPN=∠APB，再利用角平分线性质定理，过B点作BE⊥PN，垂足为E，易得EP=AP=4，BE=AB=6。根据勾股定理及方程思想设BN=x，就能列出方程62+(x-4)2=x2，解 得x=，即BN=。

图4

解法3：如图5，把△ABC沿直线MN折叠得出BN=PN，将求BN的长转化为求PN的长，这样就可以利用直角三角形的勾股定理求解。过N作NF⊥AP，垂足为F，易得AF=BN，NF=AB=6，设BN=x，则PN=x，PF=x-4，由此可列出方程62+(x-4)2=x2，解得x=，即BN=。

图5

解法4：把△ABC沿直线MN折叠，得出∠MPN=∠B=90°，构造三角形，同解法3 添加辅助线，过点N作NF⊥AP，垂足为F，得出△MAP∽△PFN，于是=，易得PM=，NF=6，得BN=。

在图形运动类问题中，图形翻折及其性质属于高频考点。从上述4 种解法可以看出，根据已知条件，通过联想和类比能找到不同的解题思路。不管解题思路如何多元化，但是万变不离其宗，都离不开图形翻折的性质，即所得对应线段和对应角，其对应点连线被对称轴平分。由此看来，这一类题的实质是几何计算中求线段长度问题。

三、例题设计

以翻折为背景的中考题并不少见，“图形变换置于三角形或四边形”为常见命题形式，目的是考查翻折性质、全等三角形性质、勾股定理、相似三角形性质等，主要考查学生的观察能力和分析能力。教师在教学中应突出活动探究环节，既要让学生搞清楚图形翻折的本质，又要让学生理解数形之间的转化，这才是增强学生解题能力的关键点。

（一）例题设计，看清图形翻折本质

图形翻折的本质有三点：①相互重合的点以折痕为对称轴，连接两重合点的线段被折痕垂直平分；②相互重合的线段是以折痕为对称轴的对称线段；③相互重合的部分是全等的，也是以折痕为对称轴的。针对这三点，九年级数学复习可以进行有针对性的拓展训练。

［例1］菱形ABCD的边长是1，且∠B=45°，AE为BC边上的高，现在把△ABE沿AE翻折，请根据以上所给条件画图。

这种逆向思维的出题方式，别具一格。这虽说是传统意义上的一题多解，但它又不同于以往。教师应围绕图形翻折的本质进行教学，以此为核心和目标，使学生充分体会数学解题万变不离其宗。通过这种训练，不仅能开阔学生的视野，提高学生的创新能力，还能激发学生的学习兴趣，改变学生的学习方式。

（二）数形结合，理解数形之间的转化

在复习教学中，要抓住翻折题型的数形转化，并且要指导学生以此为学习突破口，这其中的重点在于“数”和“形”。比如说轴对称、全等、相似形等都是“翻折”中“形”的变化；而线段之间、角与角之间的数量关系则是“翻折”中“数”的变化，这其中的种种联系，就是“翻折”中的“数形转化”。针对这一点，笔者结合班情、学情设计例题。

［例2］矩形ABCD的边AB=1，AD=2，把矩形ABCD折叠，让折痕过点B，且与边AD交于点M，点A翻折到点E，直线ME与边BC交于点P。（1）当点M和点D重合，请求出PC的长；（2）在求PC长度时，发现MP=BP，随着折痕移动，这两线段之间的关系有什么变化？（3）假设AM=x，PC=y，请写出x与y的函数关系式，并给出定义域。

数形转化是翻折题型的“不变核心”，通过前面例子的一题多解，我们不难找到“数”与“形”之间的变化和联系。值得注意的是，探索一题多解是一个具有趣味性的过程，教法不应死板，教师应该结合基本学情而设定，要以“趣”为引，“激情”导入，使学生在愉快的氛围中养成“勤思考，多动脑”和“勤锻炼，多动手”的良好学习习惯。

学生通过翻折题型的归纳总结，进一步了解了折痕对称轴，明确了线段相等重合，知道了什么是角相等重合、什么是三角形全等重合。通过线段的数量关系，利用勾股定理和锐角三角形比例方程及相似比等，完成数形转化，进行问题求解。

四、教学反思

不可否认，“一题多解”是数学学科的奇妙所在，尤其体现在几何教学的过程当中。在一般情况下，通过一题多解，学生获得的不仅仅是“多元化”数学思维，更多的是学习兴趣及个人“满足感”的获得。从现实角度来看，当“知识”和“兴趣”只能选择某一方时，我们以情感需求为出发点，通常会不自觉地倾向于“兴趣”。由此得出教学反思：相较于知识与能力的获得，学生更倾向于情感态度与价值观的获取。

［例3］把A4 纸张ABCD，按照图6 所示，依照顺序折叠，使点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF，若BC=6，那么AB的长是多少？

图6

在此例教学中，教师若想尝试用“一题多解”的教法，就得多层面、多角度、多维度地提出设想。但是，“一题多解”应建立在“因材施教”的基础之上，这是要符合学生的基本学情的。一题多解的方法虽好，但并不代表一道题必须变着花样地给出多种解答方法才算好。如果片面地追求“唯多是好”，则很容易弄巧成拙，违背教学规律和基本学情，使学生丧失学习的兴趣。

解题时，可设DC=x，通过题意得知BD=2DC=2x，在直角三角形BDC中，(2x)2-x2=62，解得x=

由此得出结论，“一题多解”的核心不应该脱离本质，就像例3，不能脱离“图形的折叠及性质”这个本质，教师必须让学生知道它的考点在哪里、难点在哪里，然后根据考点和难点，系统复习勾股定理和二次根式的化简等知识，继而把代数与几何融合学精学透。若有条件，且基本学情允许，教师可以引导学生尝试一题多解。

总之，要使学生通过“多解”的过程，获得思维创造上的快乐、个人满足感以及强烈的数学自信心，以此调动学生学习数学的积极性，使学生在愉悦的学习环境中有效学习。

把一道题研究“精”、研究“透”，这可不是一件容易的事，而教学生把一道题研究“精”、研究“透”，更不是一件容易的事。教师在教学中应注重“授人以渔”而不是只在表面下功夫，对于一个数学问题，要教会学生根据“已知条件”不断“探索研究未知”，即通过发散思维善于联系、善于多角度地深入思考，以此获得多种不同的解决途径，同时也要提倡自主学习，要让学生进行“我的发言”。要在唤醒学生学习兴趣的同时，有效揭示知识“迁移”和“产生”的过程，继而引人入胜，使学生大胆尝试，这样才能使学生暴露自己的思维过程，让教师明白学生的见解，进而使教师更加了解学情，进一步给出具有针对性、有效性的建议和指导。