2022年中考数学安徽卷第19题的研究与思考

安徽省合肥市第四十八中学 何 平 （邮编：230002）

安徽省蚌埠市龙子湖实验学校 陈 宇 （邮编：233060）

1 试题及其解答

已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD.

（1）如图1，若CO⊥AB，∠D=30°，OA=1，求AD的长；

（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD=∠ACE，求证：CE⊥AB.

图1

图2

解答（1）（方法一）依题意，∠COD=90°，∠D=30°，所以CD=2OC=2，从而

（方法二）依题意，∠COA=90°，∠D=30°，

因此AD=OD-OA=

（2）（方法一）因为CD是⊙O的切线，所以∠DCO=90°，由已知,∠ACO=∠OAC,∠ACD=∠ACE，所以∠ACE+∠OAC=∠ACD+∠ACO=90°，故∠AEC=90°，即CE⊥AB.

（方法二）如图3，连接BC，因为CD是⊙O的切线，所以∠DCO=90°，由已知得∠ACB=90°，

所以∠ACD+∠OCA=90°=∠OCB+∠OCA=∠B+∠OCA，所以∠OBC=∠ACD=∠ACE，从而，∠B+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°，

故∠AEC=90°，即CE⊥AB.

图3

图4

（方法三）如图4，延长CE交⊙O于点F，连接AF.

因为∠ACD=∠ACE，所以CA=AF,且从而∠EAC=∠EAF，又AE是公共边，故△EAC≌△EAF，从而EC=EF，因此CE⊥AB.

2 背景及相关性质研究

2.1 关于圆O

在本题图2 中，CA、CB是△CDE的∠DCE的内角平分线和外角平分线，因此易知∠ACB=90°，因此点C的轨迹是以AB为直径的圆.

事实上，由角平分线的性质可知：

⊙O上任意点P均满足：

历史上，称上面的圆为阿波罗尼斯圆：平面内到两定点的距离之比为不等于1 的常数的点的轨迹是圆.

2.2 关于点D、A、E、B

首先给出调和点列的概念：设两点C、D内分与外分同一线段AB成同一比例，即则称点C和D调和分割线段AB，或称点C和点D关于线段AB的调和共轭点，亦称点列A、B、C、D为调和点列.可知本题图2中D、A、E、B是一组调和点列.

若从直线AB外一点P引射线PA、PB、PC、PD，则称PA、PB、PC、PD为调和线束.

调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质：

性质1对线段AB的内分点C和外分点D，以及直线AB外一点P，给出以下四个论断：

（1）PC是∠APB的平分线；

（2）PD是∠APB的外角平分线；

（3）C、D调和分割线段AB；

（4）PC⊥PD.

以上四个论断中，任选两个作为条件，剩余两个作为结论的六个命题均为真命题.

因此，调和点列与阿波罗尼斯圆关系紧密.

性质2设A、C、B、D是共线四点，点M是线段AB的中点，则C、D调和分割线段AB的充要条件是满足下述六个条件之一：

图5

图6

（1）点A、B调和分割CD；

（3）AB·CD=2AD·BC=2AC·DB；

（4）CA·CB=CM·CD；

（5）DA·DB=DM·DC；

（6）MA2=MB2=MC·MD.

2.3 关于图4

图4 中，连接BF，则四边形BCAF满足：AC·BF=AF·BD.

在平面几何中，我们把对边乘积相等的圆内接四边形称为调和四边形.

因此，图4 中，四边形BCAF是调和四边形.

一般化地，如图7，PA、PC是圆的切线，A、C是切点，过点P的割线与圆相交于点B、D，则：

（1）四边形ABCD是调和四边形；

（2）点B、D调和分割线段PQ.

其实，调和四边形具有非常多的性质，其中本题图4 和图7 是下面命题的特例：

命题圆内接四边形为调和四边形的充要条件是对顶点处的两条切线与另一对顶点的对角线所在的直线平行或三线共点.

图7

3 关于几何教学的思考

总之，本题图形简明，背景、内涵丰富，是一道不可多得的优秀几何试题.作为“双减”政策下的第一份中考试卷，试题传达了命题组对今后初中几何教学的思考和认识：夯实基础，重视经典，运用简单图形加强逻辑推理的教学和评价，在基础中实现发展性，在发展中落地核心素养，实现关键能力的构建.

因此，教学中如何选择经典素材组织教学，将数学核心素养真正落实，全面提升教学效率，达到教学效果的最大化，是一线教师应该思考的方向.