数列通项公式求法探秘

⦿广东省东莞市第七高级中学

马洪博

1 引言

研究数列问题，首先要研究数列的通项公式，当一个数列的通项公式确定后，这个数列的所有性质都可“浮出水面”.然而，数列的通项公式，如同函数的解析式一样，并非可轻而易举取得，需具体问题具体分析，并选择恰当的方法才可求出.求数列的通项公式有哪些基本方法？对此，笔者作了些肤浅的研究，并归纳出下文中的几种方法.

2 公式法

又因为a2=8=3a1+2，所以an+1=3an+2，n∈N*，于是an+1+1=3(an+1)，故数列{an+1}是等比数列，且首项为a1+1=3，公比为3.所以an+1=3×3n-1=3n，故an=3n-1.

3 累加法

当已知数列中出现形如递推关系式an-an-1=f(n)(n≥2)时，一般可采用累加法求其通项公式，具体步骤：先对递推关系式an-an-1=f(n)(n≥2)中的n赋值，从2开始，一直赋值到n，于是共得到n-1个等式，然后将这n-1个等式的左右两边对应相加，并加以化简，再利用已知的首项，就可以求得数列{an}的通项公式.

例2已知数列{an}满足an+1=3an+2×3n+1，a1=3，求数列{an}的通项公式.

4 累乘法

例3如果数列{an}满足an+1=2(n+1)5n×an，且a1=3，则数列{an}的通项公式是______.

5 归纳法

观察、归纳、猜想、论证是数学研究的一般方法，这种方法也可以用在数列通项公式的求法上.探究时需先从特殊到一般，再从一般回到特殊.而猜想的结论的论证一般需用到数学归纳法.因此，这种解法还需要我们熟练掌握数学归纳法的原理和应用.

①

下面用数学归纳法证明这个猜想.

即当n=k+1时，猜想也成立.

根据(1)(2)可知，猜想对任何n∈N*都成立.

点评：先猜后证，是这种方法的基本思路，“猜”考查的是观察能力与归纳能力，“证”则考查了逻辑推理能力.这种方法较能体现数学核心素养，因此这类问题备受命题者青睐.

6 总结

当然，数列通项公式的求法还有很多，如对数变换法、迭代法、换元法和不动点法等，但无论哪种方法都并非凭空产生，只有认真审题，抓住题中给出的递推关系式的特征，才能发现与之相匹配的求解思路与解题方法.