用“从特殊到一般”的数学思想方法探究圆中的几何性质

钱秋平 （南京市第二十九中学幕府山初级中学，江苏 南京 210000）

一、数学思想方法的重要性

数学思想是人们对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带着普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想.

在学生认知水平和已有经验的基础上，引导学生通过观察、分析、交流等方式来发现和归纳几何图形的共性特征，进而发展学生的几何直观和逻辑思维能力，培养学生的空间观念.通过猜想得出特殊几何图形的性质，然后利用已有的知识理论证明、验证自己的猜想，从而得出一般几何图形的共性特征.从“一般”出发，发现其共性的性质，并以一般为依据，探究特殊几何图形的个性特征，从而感受“一般与特殊”之间的联系.

圆是中学数学中研究的第一个曲线类几何图形，“从特殊到一般”的数学方法是转化思想方法中的一种，是探究圆中几何性质的重要数学思想方法之一.在研究圆中的问题时，运用特殊化、具体化的方法，总结出一般性的结论，并用已有的理论知识去验证一般性的结论，可以帮助学生降低问题的难度，从而找到解决问题的方法.

二、用“从特殊到一般”的数学思想方法探究圆中的几何性质

1.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半

在圆中，同弧所对的圆心角只有一个，而同弧所对的圆周角却有无数个，在探究同弧所对的圆心角和圆周角两者之间的数量关系时，可将同弧所对的无数个圆周角和圆心之间的位置关系分为如图1 所示的三类情形：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部.

图1

回到情形一的特殊位置关系，当圆心角是等腰三角形的一个外角时，易得两者之间的数量关系，故在情形二和情形三中，通过添加辅助线：连接AO 并延长交⊙O 于点D，构造圆心角是等腰三角形顶角的一个外角.

如图2，当圆心在圆周角的内部时，连接AO，并延长交⊙O 于点D，

图2

如图3，当圆心在圆周角的外部时，连接AO，并延长交⊙O 于点D，

图3

综上所述，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

在探究圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的过程中，先通过对“圆心在圆周角的一边上”这一特殊情形的探究，得出一般情形下的猜想，再对其余两种情形进行演绎推理.在这个过程中，通过添加辅助线，在一般情形中构造特殊情形时的基本图形，借助特殊图形的结论去验证猜想.

2.圆的内接四边形的对角互补

如图4，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A 与∠C、∠ADC 与∠ABC 有怎样的数量关系？

图4

一组对角∠A 和∠C 是弦BD 所对的一组圆周角，从特殊情形考虑，当弦BD 是一条直径时，如图5，直径BD 所对的两个圆周角∠A ＝∠C ＝90°，所以∠A+∠C ＝180°.再由四边形ABCD 的内角和为360°，得∠ADC+∠ABC ＝360°-（∠A+∠C）＝180°.因此，可以猜想：圆的内接四边形对角互补.

图5

或者从特殊情形∠A 为直角考虑，则弦BD 是直径，所以∠C 为直角，故∠A+∠C ＝180°.再由四边形ABCD 的内角和为360°，得∠ADC+∠ABC ＝360°-（∠A+∠C）＝180°.因此，也可以猜想：圆的内接四边形对角互补.

如图6，在一般情形中，通过连接DO 并延长交⊙O 于点E，构造直径DE，将一般情形下的圆周角∠DAB 和∠DCB转化成直径DE 所对的90°的圆周角∠DAE 和∠DCE，

图6

此时，∠DAE+∠DCE＝180°，

即∠DAB+∠BAE+∠DCB-∠ECB＝180°.

又∵∠BAE＝∠ECB，

∴∠DAB+∠DCB＝180°，

∴在四边形ABCD 中，有

∠ADC+∠ABC＝360°-（∠DAB+∠DCB）＝180°.

因此，圆的内接四边形对角互补.

在探究圆的内接四边形对角互补的过程中，先通过直径所对的圆周角为直角的结论，特殊化这一组对角，得出一般情形下的猜想.在推理证明过程中，根据特殊情形的基本图形特征，通过构造直径，将一般情形下的一对圆周角转化为直径所对的圆周角，从而验证猜想.

3.对角线互相垂直的圆内接四边形的对边平方和等于一个定值

如图7，⊙O 的半径为R，在⊙O 的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，则AB+CD＝________，AD+BC＝________，AB+CD＝AD+BC＝________.（用含R 的代数式表示）

⊙O 的内接四边形ABCD 的对角线是相互垂直的两条弦，当这两条弦特殊化为两条直径时，四边形ABCD 为如图8 的正方形ABCD，此时，AB＝CD＝AD＝BC＝OA+OB＝2R，所以AB+CD＝AD+BC＝4R.因此，可以猜想：对角线互相垂直的圆内接四边形的对边平方和相等，且等于4R.

如图7，边AB 和边CD 是两个直角三角形的斜边，想要得到AB+CD＝4R，则需要重新构造直角三角形，使得边AB 或边CD 是直角边，由图8 可知，可以通过将弦特殊化，构造直径，得到直径所对的圆周角为直角，从而将圆内接四边形的边放到直角三角形里.

图7

图8

如图9，连接CO，并延长交⊙O 于点E，连接DE，则

图9

在Rt△CDE 中，∠CDE＝90°，

有DE+CD＝CE，

∴DE+CD＝4R，

且∠E+∠ECD＝90°.

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又AC⊥BD，

∴∠CBD+∠BCA＝90°.

∵∠E＝∠CBD，

∴∠ECD＝∠BCA.

又∵∠EOD＝2∠ECD，∠BOA＝2∠BCA，

∴∠EOD＝∠BOA，

∴DE＝AB，

∴AB+CD＝4R.

同理，AD+BC＝4R，

∴AB+CD＝AD+BC＝4R.

在探究对角线互相垂直的圆内接四边形的对边平方和等于一个定值的过程中，先通过两条相互垂直的直径得到圆内接四边形的对边平方和等于4R的结论，从而得出一般情形下的猜想.在推理证明的过程中，通过作直径，构造特殊情形时的基本图形特征，将圆内接四边形的边转化为直角三角形的直角边，得到两边平方和等于4R.再通过等量代换，可以得到对角线互相垂直的圆内接四边形的对边的平方和等于4R.

三、在一般情形中，构造特殊情形下的基本图形模块

当利用“从特殊到一般”的数学思想方法探究几何图形的基本性质时，我们不仅可以利用特殊情形下的结论作为一般情形下的猜想，还可以在一般情形中，构造特殊情形下的基本图形去验证猜想.

在探索圆的几何性质的过程中，根据已知图形中的边、角属性，添加适当的辅助线，构造特殊图形，这是解决圆中一类问题的一个有效的方法.但有时会发现很难将图形中的已知条件建立联系，导致学生对在圆中添加适当的辅助线感到无助.此时，我们可以指导学生学会基于对几何图形特征的深入观察和分析，通过对特殊情形中的几何图形进行研究，形成大胆的猜想，并以特殊情形中的基本图形作为构造辅助线的一个方法，然后进行推理论证，体现了几何模型思想的应用.

四、加强数学思想方法在课堂教学中的渗透

数学思想方法不同于具体的数学知识，它往往隐藏于数学知识的生成和应用的过程中.数学思想的体验和领悟，要以数学知识为载体，经历分析、解决问题的过程，逐渐成为一种培养数学素养和解决问题的方法.在教学过程中，应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验、感受知识生成过程中所蕴含的数学思想方法.

数学来源于生活，在教学中，教师可以把学生熟悉的、了解的、感兴趣的生活事例搬进数学课堂.在对实际情境问题进行数学建模的过程中，让学生进行观察、分析、猜想、论证、概括，看到知识形成的过程及其中蕴涵的思想.如此，学生在课堂上所获得的知识就是自己的，并且是可迁移的、可发散的.教师要将数学思想方法在教学过程中显化，让学生充分体验数学思想，进而使他们对数学思想方法的感悟得到提高.

学生对数学知识的获取、理解和应用不是一蹴而就的，而是在不同阶段，从不同角度逐步认识、加强理解的一个反复的过程.所以，教师可以针对相应的知识块、一节课，或单元的章节复习，加强数学思想方法的过程性渗透，从而使学生在不断拓展中逐步感悟数学思想方法，并且加强对数学思想方法的认识.教师还可以有意识地培养学生的自我分析、自我提炼以及自我概括数学思想方法的能力，帮助学生逐步建立起自己的数学思想方法体系.

数学思想方法的学习与研究，有助于提高学生的数学文化素养，数学思想方法的应用能有效指导我们更好地研究数学和解决数学问题，因此在数学课堂教学中、在问题探究中、在例题分析中，我们应该有意识、有目的地将数学思想方法渗透到数学知识的发生、发展过程中，培养学生的思维策略，使学生进行有意义的数学学习活动，才能真正深入透彻地理解与掌握数学知识.