与抛物线相关的一个定点问题

重庆市铜梁二中 (402560) 李 波 田 飞

圆锥曲线的定点问题中有很多有趣的结论. 笔者发现一个抛物线特有的定点问题，兹介绍如下：

性质如图1，A(-t,m),B(t,n)分别是直线x=-t,x=t(>0)上的定点，M是抛物线C:y2=2px(p>0)上的动点，直线AM,BM分别与抛物线C交于E,F(E,F存在且不重合)，则

图1

(1)当m=n=0时，EF是垂直于x轴的动直线；

(2)当m,n中仅有一个为零时，EF恒过定点；

(3)当m,n均非零时，EF恒过定点当且仅当m2n2=4p2t2+2pt(m2-n2).

把①式左端看成关于y0的多项式，由于y0具有任意性，可得方程组

若直线EF过定点，即方程组②有唯一解.

为叙述方便，下面采用线性方程组理论来分析②的解的情况. 非齐次线性方程组②的增广矩阵

方程组②有唯一解的充要条件是增广矩阵与系数矩阵的秩都为2，且矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩，则m2+n2≠0(即m,n不全为零)且矩阵