高速切削欠采样动态信号的压缩感知恢复方法

贺王鹏，陈彬强，李 阳，陈 晶，郭宝龙

(1.西安电子科技大学 空间科学与技术学院，陕西 西安 710071；2.厦门大学 航空航天学院，福建 厦门 361005)

近年来，高速切削以高效、优质、低耗等优点逐渐成为学术界和工业界研究的热点，被广泛应用于现代金属加工领域[1-2]。然而高速切削系统在远超过常规切削速度的条件下运行，刀具的磨损加剧导致零部件加工质量的下降，甚至引发安全事故并危害人身安全。因此，高速切削系统的状态监测及反问题研究得到了密切关注。振动、声发射及切削力作为常用的监测变量已被广泛应用到高速切削系统动态特性试验与分析中[3-4]，其中，切削力因能直接反映切削过程的动态特性而备受重视[5]。切削力信号主要由测力仪测量，经过抗混叠滤波器低通滤波后由数据采集卡记录在计算机中处理和分析。为了能够完整地保留切削力信号的有效信息，奈奎斯特采样定理要求采样频率必须高于被分析信号最高频率的2倍[6]。高速切削系统铣削信号中含有主轴工作频率的基波及大量高次谐波，当采样参数设置不合理时，将造成信号的欠采样，通过抗混叠滤波器的滤波陡度带被折叠到奈奎斯特区间，使原信号发生不合理的波形畸变，为高速切削系统的动态数据分析造成了困难。

针对欠采样条件下信号的恢复问题，目前学术界已经开展了一些有益的尝试。ZOLTOWSKI等[7]提出了基于采样通道之间时间延迟的频率无模糊估计方法。王洪洋等[8]结合了解模糊和配对方法进行无模糊的信号频率估计，降低了对采样通道间一致性的依赖程度。有学者根据中国余数定理求解一次同余方程组的思想，提出了欠采样信号频谱估计问题，提供了新思路及改进算法[9-10]。上述欠采样信号重构算法虽然在一定程度上解决了欠采样导致的频率混叠及频率估计出现的混叠等问题，但这些算法需要多个模数转换装置，成本较高。LIN等[11]基于叶片振动信号的稀疏特性重构欠采样振动信号，提供了欠采样信号单通道重构算法的新思路。CHEN等[12]重新阐述了稀疏表示理论的潜在意义，目前已被广泛应用于测试数据分析等方面[13-14]。HASSANIEH等[15]提出一种基于信号频谱近似稀疏性的稀疏傅里叶变换算法。HASSANIEH等[16]将该算法应用于频谱校正，实现用部分采样点较好恢复原始信号的频谱。HEISH等[17]基于正交多项式求解K个非零项的位置构造了一种欠采样信号恢复算法，并验证了该算法在降低复杂度方面的效果。

针对高速切削状态监测系统中采样参数设置不合理以及抗混叠滤波器滤波陡度导致输出切削力频谱混叠问题，笔者提出了一种基于频域近似稀疏的频谱校正方法。该方法基于切削力信号在频域上表现出的近似稀疏特性，通过仅保留频谱上几个能量集中的频谱区间进行稀疏逼近，得到若干个频带子集。结合欠采样频谱混叠原则计算出每个频带子集的真实频率，构造切削力信号的真实频谱进而恢复真实的时间序列。仿真和实验结果都表明，该方法能够有效实现当采样参数设置不合理时较高谐波成分通过抗混叠滤波器滤波陡度带造成切削力信号欠采样现象的恢复，且恢复信号与测试信号时域波形的相对包络误差低于4%。

1 频域近似稀疏理论

1.1 近似稀疏理论

x=Ψc，

(1)

其中，c为x在Ψ域的表示系数。如果N维向量c中有且仅有K个非零项，则称c为稀疏度为K的稀疏向量，x为Ψ域上的K-稀疏信号。然而现实中严格稀疏的信号几乎是不存在的，近似稀疏理论认为，只要c中具有K个大系数且K≪N，就可认为是近似稀疏的，信号x可用相应的K-稀疏信号来近似。在近似稀疏信号分解与重构过程中，表示系数仅保留K个大系数，其它系数用0代替。

1.2 傅里叶矩阵与频域近似稀疏理论

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)是经典的数字信号处理方法。FFT利用基函数exp(j2πkn/N)(k=0，1，2，…，N-1；n=0，1，2，…，N-1)对信号进行频域表示。长度为N的离散时间序列x的离散傅里叶变换及其逆向变换公式如下：

(2)

(3)

2 高速铣削状态监测欠采样切削力信号恢复

高速切削状态监测系统中，系统固有的非线性以及采样过程中的非线性会在输出波形中产生基频(机床主轴转频)的谐波成分，并在刀具初期磨损以及稳定磨损前期处于主导地位。当采样参数设置不合理时，所有高于奈奎斯特频率的高次谐波都将通过抗混叠滤波器的滤波陡度被折叠至奈奎斯特区间内，造成信号的欠采样现象。传统的傅里叶变换无法得到切削力信号的真实频谱信息，对切削系统状态识别造成一定的困难。基于频域近似稀疏的欠采样信号分析方法可以有效重构原始信号频谱。

2.1 欠采样引起的频谱混叠原则

根据奈奎斯特-香农采样定理，模拟信号的数字化是通过等间隔的数字采样样本表示的。该定理要求信号的采样频率fs必须不小于信号中最高频率的2倍：

2fH≤fs，

(4)

其中，fH为信号最高频率。否则将会使信号发生欠采样，产生混叠现象。模拟信号x=cos(2πf0t)，f0为模拟信号频率，φ为模拟信号初相位。以采样频率fs=1/ts对该信号进行采样，则被测余弦信号序列x(n)=cos(2πf0nts)的N点离散傅里叶变换可以表示为

(5)

其中，T=Nts，0≤k≤N-1。因此，X(k)的正频域部分为X+(k)=|p(k)|exp(jφk/(2N))，负频域部分为X-(k)=|q(k)|exp(-jφk/2N)，|q(k)|=|[1-exp(j2π(Tf0-k))]/[1-exp(j2π(Tf0-k)/N))|，|p(k)|=|[1-exp(j2π(Tf0+k))]/[1-exp(j2π(Tf0+k)/N)]|，正负频谱序列互为共轭，频域输出为一个双边谱。

工程中的模拟信号经模数转换及采样后，仅保留频谱位于0到fs/2的序列的输出。然而抗混叠滤波器存在滤波陡度，信号中超过区间(0，fs/2)的谐波成分的频谱将通过滤波陡度带被折回到奈奎斯特区域以内。如图1所示，第一奈奎斯特区定义为从0 Hz到fs/2之间的频谱区间，频谱被分成无限个奈奎斯特区，每个区的宽度等于fs/2。图1(a)表示被采样信号的频带位于第一奈奎斯特区，因此频带可以正确输出；图1(b)表示被采样信号的频带位于第二奈奎斯特区，输出频带为原始频带的一次镜像结果；图1(c)表示被采样信号的频带位于第三奈奎斯特区，输出频带为原始频带的二次镜像结果。综上所述，欠采样信号频谱序列与信号实际频谱序列的关系可由下式描述：

(6)

其中，conj{·}为取复数共轭算子。

2.2 基于频域近似稀疏理论的欠采样信号恢复算法

设有高速切削状态监测欠采样信号离散时间序列{xorg(n)|n=1，2，…，N}，其中N为偶数，采样频率为fs，主轴转频为fa，则基于频域近似稀疏理论的欠采样信号恢复算法的步骤如下。

(7)

步骤3 计算出每个频带子集的真实频率：

(8)

(9)

其中，

(10)

步骤5 利用逆向傅里叶变换重构真实离散时间序列：

(11)

3 数值模拟验证

为了验证基于频域近似稀疏理论的欠采样信号恢复算法对于高速切削状态监测欠采样信号恢复的有效作用，考虑了一种单频率线性调幅正弦波(Linear Amplitude Modulation Sinusoidal Wave，LAMSW)进行仿真分析，其形式如下式所示：

x(t)=A(t)cos(2πft+φ) ，

(12)

其中，幅值函数A(t)=1-kt且k∈[0，1)，f为频率，φ为初相位。仿真过程中，取k=0.5，f=875.5 Hz，φ=π/3，并在fs=2 000和fs=1 000的两种频率下对输入信号进行采样，得到的样本点及频谱如图2所示。与理想采样fs=2 000相比，当fs=1 000时采样得到的信号为严重欠采样信号，信号的原始频率875.5 Hz通过传统的傅里叶变换已经无法识别，只能得到原始频率关于欠采样奈奎斯特频率fs/2=500的镜像频率124.5 Hz。为了恢复出模拟信号x(t)，使用文中提出的算法处理图2(b)得到的具有欠采样特征的样本点。

对图2(b)中的信号应用FFT，仅保留第一奈奎斯特区中心频率附近的100个幅值较大的谱线，其余置0，得到稀疏度为100的系数向量，如图3(a)所示。根据欠采样频谱混叠原则，对系数向量重构得到真实频谱，如图3(b)所示。最后利用IFFT实现时域信号恢复，如图3(c)所示。

为了更加清晰展示欠采样信号恢复结果，结合香农采样函数插值方法(式(13))对恢复的时域信号进行重构，得到相应的幅值误差和相对包络误差(式(14))，如图4所示。需要指出的是，理论意义上的模拟信号无法通过计算机进行运算，笔者选取fs=10 000的时间域采样序列x(n)(n=0，1，2，…，9999)对模拟信号x(t)进行近似。

(13)

其中，Ts为时间分辨率。令env(·)为信号包络计算算子，相对包络误差定义如下：

(14)

图4中恢复信号与原始信号的最大幅值误差和相对包络误差都因频域截断而产生不同程度的边缘效应，但当t∈(0.2，0.8)时最大幅值误差低于0.009，相对包络误差收敛于0.03幅度范围内，说明该方法总体上取得较好的信号恢复精度。上述分析中，构造的仿真信号均是在频域表示系数稀疏度为100的设定下得到的，为了进一步研究稀疏度K对恢复结果的影响，构造l2-误差测度Er(式(15))研究不同稀疏度下的恢复精度，如图5所示。当稀疏度K≥20时，恢复信号的Er均小于0.01。因此，当调幅信号衰减因子k∈[0，0.8]时，运用笔者提出的方法对欠采样信号实现恢复可以达到理想的效果。

(15)

4 工程测试信号应用

表1 高速铣削实验的相关参数

为了进一步验证基于频域近似稀疏理论的欠采样信号分析方法对实际高速切削测试数据的有效性，在Mazak FJV-200 UHS铣削中心上进行高速铣削铝合金实验，相关实验参数如表1所示。实验过程中设置采样频率为2 000 Hz。截取加工稳定阶段切削力测试数据的时域波形及其频谱如图6所示(采样时长1 s)。

观察测试数据的频谱图，发现10个幅值较大的谱线，根据欠采样频谱混叠原则，计算每根谱线对应频点的真实频率，如表2所示。发现有7根谱线的真实频率位于第一奈奎斯特区间[0，1 000]Hz外，说明该测试数据的频谱存在混叠现象。根据频点所在的频率区间将频谱截断为10个首尾相连的频带子集。观察到各频带子集的时域波形近似为线性调幅正弦波k=0的情况，如图7所示，可用LAMSW模型对每个频带子集进行分析，根据式(9)计算出各个频带子集的真实频率区间如表2所示。

由表2可以看出最大真实频率为6 142 Hz，重构真实频谱最大频率14 kHz。截取第一奈奎斯特频谱，如图8(a)所示。对重构后的频谱序列进行IFFT得到时域波形，如图8(b)所示。计算恢复信号与测试信号时域波形的相对包络误差，如图8(c)所示。相对包络误差收敛于0.04幅度内，且无明显频域截断产生的边缘效应，说明笔者提出的欠采样信号恢复方法在实际数据应用上具有较高的可靠性与应用价值。

表2 各频带子集频率区间对照表

5 结 论

针对高速切削欠采样信号频谱混叠问题，提出了一种基于频域近似稀疏的压缩感知恢复方法。仿真及实测信号分析结果表明：

(1)恒定转速条件下，高速铣削力信号主要包括主轴的工作频率及其衍生出的高次谐波成分。频谱上呈现出若干个能量集中的区间，可以利用近似稀疏分解理论对其进行稀疏逼近。

(2)欠采样条件下，总结了一种混叠成分谐波信息校正原则。该原则可用于高速铣削欠采样动态信号混叠成分的识别及谐波信息的校正，为失真频谱的修正提供理论指导。

(3)数值仿真和实测高速铣削力信号处理结果表明恢复信号与理想采样信号的相对幅值误差小于4%，验证了所提方法的有效性。