深度研究 合理整合*——以“多边形的内角和与外角和”为例

江苏省南京市浦口区第三中学 邵传经

1 引言

如何合理地使用教材，是广大教师在教学中一直实践和探索的课题.现如今，根据实际教学需要，进行必要地整合开发，有创造性地使用教材，已基本成为了共识.那么如何真正在教学中根据学生的实际学情，做到“创造性”地整合和使用教材，使学生在整体上把握知识结构，提升自主学习能力，发展整体思维，提高数学课堂效能，还需要我们思想意识上的深度认同和实践研究上的及时跟进.

2 教材整合的意义

整合数学教材能帮助学生提高掌握知识的效率，也会给教师教学的发挥提供更多灵活的空间.特别是一些碎片化的知识，如果能创造性地对部分章节内容进行有效合理地整合，用一连串的、有相互关联的问题逐步呈现，就能在不影响教学效果的前提下，把需要多节课讲解的内容在有效的教学时间里完成，从而提高课堂教学的总体效能，也更能培养学生用联系和发展的眼光学习和应用数学知识解决问题的能力.

3 教材整合的实践

笔者在教学中，根据实际教学需求，对部分章节进行了调整，收获了较好的教学效果.下面结合“多边形内角和与外角和”[苏科版七年级下册第七章平面图形的认识(二)7.5多边形的内角和与外角和、人教版八年级上册第十一章三角形11.3多边形及其内角和]整合教学，和读者分享一些经验和思考.

3.1 内容分析

从教材的编排看，多边形内角和与外角和是在三角形内角和的基础上的拓广和发展.知识由特殊向一般进行转化.作为承上启下的一节内容，为后续平面镶嵌课题的学习做铺垫.主要包括多边形的定义及有关概念，多边形的内角和与外角和公式与推导，以及正多边形的定义和有关性质.研究多边形的内角和与外角和公式的过程可以让学生经历探索、推理、归纳等过程，积累解决问题的基本经验；通过将多边形转换为三角形，学生可以体验转换思想在几何中的应用； 通过探索多边形的内角和与外角和，学生可尝试用不同的方法解决问题，提高解决问题的能力.

3.2 目标分析

基于以上分析，确定本课的教学重点为探索和证明多边形的内角和与外角和公式的过程，故将教学目标做如下设定:

(1)通过探索多边形的内角和与外角和，尝试从不同角度寻找问题的解决方案；

(2)通过猜测、探索、推理、归纳等过程，发展学生的语言表达能力和合情推理能力.

3.3 教学分析

以学生已掌握的三角形内角和知识为起点，遵循教材的完整性和连续性，把四边形的知识与三角形有机联系，通过切去三角形的内角来提出新的问题，让学生体验将四边形问题转化为三角形问题，利用类比迁移来解决问题.引导学生用多种方法将多边形转换为三角形，以及把多边形的内角之和转变为三角形的内角和，找出他们之间的关系，从而归纳出最后结论.

3.4 教学示例

问题1已知三角形内角和是180°，探索四边形、五边形、六边形的内角和.

有一个三角形纸片，如图1这样裁去一个角，那么剩下的图形的内角和比三角形内角和是增大了还是减少了？猜一猜，其内角和是多少？

图1

师生活动：学生可以量一量，算一算，得到“四边形的内角和为360°”的感性认识.

追问1：如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和？

师生活动：学生通过分解图形得到三角形.让学生说出证明过程，教师板书.

追问2：任意一个四边形的内角和是否都等于360°?

师生活动：学生从已有的特殊四边形(矩形和正方形)内角之和为360°，由此推测任何四边形的内角总和的度数不变，进而探索将四边形的内角和问题转化为三角形内角和问题.

追问3：类比前面的学习，如何继续探究五边形的内角和、 六边形内角和？

教师提示：把三角形剪掉一个角，多了一条边，变成了四边形，比三角形内角和多180°，则四边形内角和为360°，那么把三角形剪掉两个角呢？它是几边形？比三角形内角和多多少度？内角和是多少？把三角形剪掉三个角呢？它是几边形？比三角形内角和多多少度？内角和是多少？请填写下表：

多边形内角和三角形内角和四边形内角和五边形内角和六边形内角和

学生活动：填写表格，根据前面探究四边形内角和得出规律，即多边形的边数增加1，内角和就相应地增加180°.

追问4：你有什么发现？能证明你发现的结论吗？

师生活动：学生类比五边形、六边形内角和的研究过程，特别是分解成三角形的过程，从某一个顶点引对角线的条数，可以看出分解成三角形的个数，探讨过程并给出答案.

追问5：谈谈你对n边形内角和公式中“n-2”的理解.

师生活动：给予学生充分讨论探究的时间，鼓励学生积极参与、合作交流.教师深入小组，参与学生交流，并适当指导和引导.最后小组汇报得到的规律及探究结果：多边形的内角和等于(n-2)×180°.教师接着提出：n表示什么？多边形每增加一条边，内角和怎么变化？ 学生进一步探究得出多边形的内角和与边数有关，当边数每增加一边时，内角和就增加180°，也就是说多边形的内角和一定是180°的整数倍.

教学分析：从已有的特例出发，把三角形剪去一个角变成四边形，让学生体会三角形和四边形的密切联系，又通过连接四边形的对角线，将四边形分为两个三角形，四边形的内角和等于两个三角形的内角和；再通过表格填写，从具体到抽象， 合情合理地推出n边形可以转化为(n-2)个三角形，从而有条理地发现和概括出边数与内角和之间的关系，渗透了转化思想，训练抽象概括能力.

问题2如果在四边形ABCD中，剪去一个角，得到新的图形，其内角和又是多少呢？

师生活动：动手画图，学生尽可能地研究多种图形，分别计算出每一种图形的内角和的度数.同时，学生在黑板上展示各种不同的图形，指出每一个内角相邻的外角.

追问1：刚才所得的三角形、四边形、五边形，你能求出这些多边形的外角和吗？

继续通过问题引领探究：(1)任意一个外角与它相邻的内角之间有什么关系？(2)每一个多边形的外角加上与其相邻的内角的总和是多少？(3)上述总和与多边形的内角和、外角和有什么关系？得出以上图形的内角和与外角和.

追问2：六边形的外角和呢？画图并说明.

师生活动：六边形的任何一个外角加上与其相邻的内角等于180°.因此六边形的6个外角加上与其相邻的内角，总和等于6×180°.该总和就是六边形的外角总和加上内角总和．因此，外角和等于内外角总和减去内角和，即外角和等于6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360°.

追问3：你能猜想n边形的外角和吗？能证明吗？

继续通过问题引领探究：如果将书本中示例2中六边形换为n(n是不小于3的任意整数)边形，是否可以获得相同的结果呢？

如果学生做这个题有困难，可先做下面的3个引题：①有一个人以左脚为轴旋转一周，这个人转了多少度？ ②如果这个人从圆上一点A出发，沿着圆周走，再回到A点时，那么这个人走了多少度？③如果这个人从六边形的一个顶点A出发，沿六边形走，再回到A点时，那么这个人又走了多少度呢？体现在哪些角上呢？

追问4：对刚才的结论，还可以怎样理解？请再谈谈对n边形内角和公式中“n-2”的理解.

师生活动：让学生再次回顾内角和公式，加深对n的理解，展开后是n·180°-360°或者分析“n-2”的意思等. 用以前的知识为后面的知识做铺垫，引导学生从简单、特殊的图形入手，利用三角形内角和，把未知转化为已知，逐步归纳得出多边形的外角和公式.

教学分析：通过对熟悉的多边形(三角形、四边形、五边形)外角和的探究，运用类比迁移，巩固多边形内角和的公式，又为研究多边形外角和穿针引线；以三角形为基本研究图形，探究内角和，得出外角和，从特殊到一般，进一步研究一般的六边形，经历由感性认识到理性推导，最终水到渠成地分析出多边形的外角和为360°，凸显化归思想，强调从特殊到一般的研究方法.

例如图2所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪(图中阴影部分).

图2

(1)图①中草坪(阴影部分)的面积为______；

(2)图②中草坪(阴影部分)的面积为______；

(3)图③中草坪(阴影部分)的面积为______；

(4)如果多边形的边数为n，其余条件不变，你认为草坪的面积为______.

师生活动：因为周周角是360°，可以得到多边形内角和是整个周角的多少倍，那么阴影部分的面积就是圆的面积的多少倍．图①中三角形内角之和是180°，因此图①中阴影部分的面积就是圆面积的一半，其他图形类推即可.

3.5 归纳小结

(1)通过本堂课的学习，你们有什么收获？

①n边形的内角和等于(n-2)×180°；

②多边形的外角和是360°；

③可以运用多边形的内角和与外角和解决有关问题.

(2)在学习过程中，运用了由归纳、类比、转化等思想方法.

4 总结与反思

本课时是一节基于教材整合的探索活动课，采用问题串的方式组织课堂教学，引领学生主动探索，把碎片化的知识有效串联，体现了知识之间的关联，促进学生由特殊到一般，结构化、系统化地认识问题.授课流程根据学生基本学情由三角形内角和经验类比迁移，逐步认识多边形的内角和和外角和.从师生交流看，师生交流充分有效，学生用自己的语言清楚地表达解决问题的全过程，尤其在探索四边形的内角与外角之和的过程中，通过教师有效引导，发展学生的分析和解决问题的能力，以及初步演绎推理能力；从授课效果看，通过动手操作探寻数学结论，激发了学生学习的兴趣，渗透了转化、化归和分类讨论等数学思想，既传授了知识，又发展了能力.