外力作用下板块模型运动的临界问题分析

2022-08-05 01:50赵清锋

物理教师 2022年7期

赵清锋

（武汉市卓刀泉中学建和分校，湖北武汉 430065）

板块模型是物理学中的基本模型.木板与物块的运动情况受其质量、板块之间动摩擦因数、木板与地面之间动摩擦因数、外力的作用对象、外力大小、外力方向等多个因素的影响.条件不同，板块运动状态不同，给出不同条件运动状态结果不同.这也是中学物理常考的重点内容.相关文献多研究水平外力作用在物块或木板上从而分析板块运动情况，［1-5］本文从不同外力沿不同方向的角度对板块模型运动的临界问题进行详细讨论，为相关研究提供思路.

1 基本模型及物块和木板运动的临界条件

水平地面上有一质量为m1的长木板，木板的左端上有一质量为m2的物块，用与水平方向成θ角的拉力F 作用在物块上，考虑外力F 不同，物块和木板的运动状态不同，设F 随时间t 变化关系为F=k·t（k为常量）.木板与地面间的动摩擦因数为μ1，物块与木板间的动摩擦因数为μ2.假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等，重力加速度大小为g，如图1所示.

图1 板块模型

当外力很小时，物块和木板均不运动，随着外力F 增大到一定程度，物块开始运动，而此时的运动情况可能出现两种情况：（1）物块运动，木板静止；（2）物块和木板一起向右运动.对m2和m1分别进行受力分析如图2、图3所示.其中F12为木板对物块的支持力，f12为木板对物块的摩擦力，F21为物块对木板的压力，f21物块对木板的摩擦力，F地为地面对木板的支持力，f地为地面对木板的摩擦力，m1g和m2g分别为木板和物块所受的重力.

图2 对物块m2进行受力分析

图3 对木板m 1进行受力分析

随着拉力F 增加，物块与木板之间最大静摩擦力f12m和木板与地面之间对应的最大静摩擦力f地m也随之变化，即

从（1）（2）两式均可以看出，f12m和f地m均为拉力F 的一次函数，随着F 的变化，当f12m和f地m相等，且等于拉力F 在水平方向的分力F cosθ时，此时达到物块与木板之间、木板与地面之间刚要运动的临界条件，令f12m=F cosθ，此时可得

根据以上分析，取m1=2 kg、m2=1 kg、μ2=0.5、g=10 m／s2，μ1满足（4）式，分别取θ=30°、θ=-30°、θ=0°，数值计算并作图分析.图4（a）（b）（c）为f12m、f地m、F cosθ随F 的变化关系图像.从图中可以看出，当μ1满足（4）式时，与上文分析一致.

图4 θ取不同值时，f 12m、f地m、F cosθ随F 的变化关系

当F 满足（3）式时，对应的临界力F cosθ随θ的变化关系如图5所示.

图5 F cosθ随θ 变化关系

2 θ＞0，物块和木板运动的情况分析

2.1 物块运动，木板静止

图6 f 12m、f地m、F cosθ随拉力F 的变化关系

图6（a）-（d）中μ1取值分别为μ1=0.15，μ1=0.1667，μ1=0.3，μ1=0.6.图像分析结果与上文讨论结果一致，且θ＞0时，若开始木板未动，则一直满足f12m＜f地m，即木板将一直不动.数值计算结果可得，当拉力F=4.480 N 时，物块开始做加速度增加的加速运动，直到物块脱离木板，如图7所示.

图7 加速度a随F 的变化关系

2.2 物块和木板先一起向右运动，再相对运动

根据上述数值计算结果得到F1=3.2750 N、F2=4.9341 N、F3=10 N、F4=15.8370 N、F5=20 N.当拉力F≤F1时，物块和木板均处于静止状态；当拉力F1＜F≤F2时，物块和木板一起做加速度增加的加速运动，在拉力F=F2时，木板加速度达到最大，为a2max=0.5066 m／s2；当F＞F2时，物块和木板相对运动，物块做加速度增加的加速运动，直到F=F5时，物块离开木板不再水平运动，而木板先做加速度减小的加速运动，当F=F3时，木板的加速度减小为0，然后继续减速运动，当拉力F=F4时，木板速度减小为0，加速度达到最小a4min=-0.5837 m／s2，之后静止不动.