初中二年级 第2试

一、选择题

1.-19992000，-19981999，-998999，-9991000这四个数从小到大的排列顺序是（）

（A）-19992000<-19981999<-9991000<-998999.

（B）-998999<-9991000<-19981999<-19992000.

（C）-19981999<-19992000<-9991000<-998999.

（D）-9991000<-998999<-19992000<-19981999.

2.一个三角形的三条边的长分别是a、b、c（a，b，c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（）

（A）直角三角形.

（B）等腰三角形.

（C）等边三角形.

（D）直角三角形或等腰三角形.

3.已知25x=2000，80y=2000，则1x+1y等于（）

（A）2.（B）1.

（C）12.（D）32.

4.设a+b+c=0，abc>0，则b+c|a|+c+a|b|+a+b|c|的值是（）

（A）-3.（B）1.

（C）3或-1.（D）-3或1.

5.If a

（A）|a+b+c|3.（B）|b|.

（C）c-a.（D）-c-a.

6.若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为（）

（A）一切偶数.（B）2或4或6或8.

（C）2或4或6.（D）2或4.

7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（）

（A）20001999个.（B）19992000个.

（C）2001000个.（D）2001999个.

8.如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=3AB，EF∥CD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE∶ED等于（）

（A）2.（B）32.

（C）5+12.（D）5-12.

9.如图2，一个边长分别为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（）

（A）16215平方厘米. （B）15216平方厘米.

（C）17216平方厘米.（D）16217平方厘米.

10.已知p+q+r=9，且px2-yz=qy2-zx=rz2-xy，则px+qy+rzx+y+z等于（）

（A）9.（B）10.

（C）8.（D）7.

二、填空题

11.化简：23-66-423+2=.

12.已知多项式2x2+3xy-2y2-x+8y-6可以分解为（x+2y+m）（2x-y+n）的形式，那么x3+1n2-1的值是.

13.△ABC中，AB>AC，AD、AE分别是BC边上的中线和∠A的平分线，则AD和AE的大小关系是ADAE.（填“>”、“<”或“=”）

14.如图3，锐角△ABC中，AD和CE分别是BC和AB边上的高，若AD与CE所夹的锐角是58°，则∠BAC+∠BCA=.

15.设a2-b2=1+2，b2-c2=1-2，则a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2=.

16.已知x为实数，且x2+1x2=3，则x3+1x3=.

17.Ifn is a positive integer and n2+3n-10n2+6n-16 is a reduced fraction， then n2+3n-10n2+6n-16=.

18.如图4，在△ABC中，AC=2，BC=4，∠ACB=60°，将△ABC折叠，使点B和点C重合，折痕为DE，则△AEC的面积等于.

19.已知非负实数a、b、c满足条件：3a+2b+c=4，2a+b+3c=5，设S=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n，则n-m=.

20.设a、b、c、d为正整数，且a7=b6，c3=d2，c-a=17，则d-b=.

三、解答题

要求：写出简要步骤

21.已知实数a、b满足条件|a-b|=ba<1，化简代数式1a-1b（a-b-1）2，将结果表示成不含有字母b的形式.

22.如图5，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积.

23.将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子中只放入一个，

（1）一共有多少种不同的放法？

（2）若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？

（3）若至少有一个球放入了同号的盒子中（即对号放入），共有多少种不同的放法？

参考答案

一、選择题

题号12345678910

答案ABBBDDCCDA

提示

1.-19992000=-1+12000，

-19981999=-1+11999，

-998999=-1+1999，-9991000=-1+11000.

因为12000<11999<11000<1999，

所以-19992000<-19981999<-9991000<-988999.

故选（A）.

2.因为a、b、c都是质数，且a+b+c=16，

所以a、b、c中有一个数为2，不妨设a=2，则b+c=14，又三角形两边之差小于第三边，

所以|b-c|<2.

所以只有|b-c|=0或|b-c|=1.

当|b-c|=1时，b、c均不是质数，不合题意.所以只有|b-c|=0，

即a=2，b=c=7.

所以三角形是等腰三角形.

故选（B）.

3.因为 25x=2000，

所以25xy=2000y.①

又80y=2000，

所以80xy=2000x.②

①×②得：（25×80）xy=（2000）x+y，

所以xy=x+y，

即1x+1y=1.

故选（B）.

4.因为 a+b+c=0，abc>0，

所以a、b、c中定为两个负数和一个正数.

又a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b.

所以b+c|a|+c+a|b|+a+b|c|

=-a|a|+-b|b|+-c|c|=1.

故选（B）.

5.由题设a

所以a<0，c>0.

又因为|c|<|b|<|a|，

所以a、b、c三個实数在数轴上可表示为图6.

所以|x-a|+|x-b|+|x+c|所表示的实数为数轴上一点到a、b和-c三点的距离之和，当x与b点重合时，这个距离和取得最小值.最小值为-c-a.

故选（D）.

6.设等腰三角形的腰长为a，底边为b，

所以2a+b=10，b=10-2a.

所以b是偶数.

又b<2a，

所以2b<10.

解得b<5，

所以b为小于5的偶数.

所以b=2或b=4.

故选（D）.

7.由题意知，x、y、z均为非负整数，

当x=0时，y+z=1999，为y分别取0，1，2，…，1999时，z取1999，199

8，1997，…，0，有2000个整数解.

当x=1时，y+z=1998，有1999个整数解，当x=2时，y+z=1997，有1998个整数解，

…

当x=1999时，y+z=0，只有1组整数解.

所以非负整数解总共有：

2000+1999+1998+…+3+2+1

=2000（2000+1）2

=2001000（个）.

故选（C）.

8.如图7，延长DA、CB.相交于G，图7

因为AB∥EF∥CD，

所以 △GAB∽△GEF

∽△GDC.

又CD=3AB，

所以S△GABS△GDC=ABCD2=19.

设S△GAB=S.

所以S△GDC=9S，S梯形ABCD=8S.

又EF将梯形ABCD的面积分成相等的两部分，

所以S梯形ABFE=S梯形EFCD=4S.

所以GA2∶GE2∶GD2

=S△GAB∶S△GEF∶S△GDC=1∶5∶9.

所以GA∶GE∶GD=1∶5∶3，

所以AEED=5-13-5=（5-1）（3+5）（3-5）（3+5）=5+12.

故选（C）.

9.设BC=a，则CE=16-a2，

又△BCE∽△EDF，

所以DEEF=BCBE，

所以DE=34a.

又DE+EC=DC=a，

所以34a+16-a2=a.

所以16-a2=a216，

所以a2=16217（平方厘米）.

故选（D）.

10.设px2-yz=qy2-xz=

rz2-xy=k.

则p=k（x2-yz），

q=k（y2-xz），r=k（z2-xy），

所以 p+q+r

=k（x2+y2+z2-xy-yz-xz）=9.

又 px+qy+rz

=k（x3-xyz+y3-xyz+z3-xyz）

=k（x3+y3+z3-3xyz）=k（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）

=9（x+y+z）.

所以px+qy+rzx+y+z=9.

故选（A）.

二、填空题

题号1112131415

答案1-78>122°5

题号1617181920

答案±25811233-2601

提示：

11.23-66-423+2

=23-6（2-2）23+2=23-12+623+2

=11+623+2

=（3+2）23+2=1.

12.由题意知

（x+2y+m）（2x-y+n）

=2x2+3xy-2y2-x+8y-6.

又（x+2y+m）（2x-y+n）

=2x2+3xy-2y2+（2m+n）x

+（2n-m）y+mn.

根据多项式恒等的条件，得：

2m+n=-12n-m=8mn=-6解得m=-2n=3.

所以m3+1n2-1=-78.

13.如图8，延长AD到F，使DF=AD，连结CF.

因为BD=CD，AD=FD，

∠ADB=∠CDF.

所以△ABD≌△FCD.

所以CF=AB.

∠BAD=∠CFD.

在△AFC中，CF=AB>AC.

所以∠CAD>∠CFD=∠BAD.

因為AE是∠BAC的平分线，

所以∠CAE=12∠CAB>∠BAD.

在△ADE中，∠AED=∠ECA+∠CAE，

∠ADE=∠DBA+∠BAD，

所以∠AED>∠ADE.

所以AD>AE.

14.如图9.设AD、CE交于F，

因为 ∠AFE=58°，

AD⊥BC，

CE⊥AB，

所以∠B=58°，

所以∠BAC+∠BCA=180°-58°=122°.

15.因为a2-b2=1+2，

b2-c2=1-2，

所以a2-c2=2.

所以a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2

=12[（a4-2a2b2+b4）+（b4-2b2c2+c4）

+（c4-2a2c2+a4）]

=12[（a2-b2）2+（b2-c2）2+（c2-a2）2]

=12[（1+2）2+（1-2）2+22]

=5.

16.因为x2+1x2=3.

所以x2+2+1x2=5.

即x+1x2=5.

所以x+1x=±5.

所以x3+1x3=x+1xx2-1+1x2

=x+1x×x+1x2-3

=±5×2

=±25.

17.由题意知n2+3n-10n2+6n-16=（n-2）（n+5）（n-2）（n+8）为既约分数.

所以n-2=1，

（若n-2≠1，则原分数一定可以约分）.

所以n=3.

将n=3代入原式得n2+3n-10n2+6n-16=811是一个既约分数.

0

18.如图10，△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC的中点，∠ACB=60°.

连结AD，

所以△ACD为等边三角形.

所以AD=AC=2，∠ADC=60°.

又△ABD为等腰三角形，

∠ADC=2∠B，

所以∠B=30°，∠BAC=90°.

又ED是BC的垂直平分线.

所以∠ECD=∠B=30°，∠ACE=30°.

在Rt△AEC中，AC=2，∠ACE=30°.

设AE=x，EC=2x.

所以（2x）2=x2+22.

解得x=233.

所以S△AEC=12AE·AC=12×2×233=233.

19.由题意知

3a+2b=4-c2a+b=5-3c 解得 a=6-5cb=7c-7

所以S=5a+4b+7c

=5（6-5c）+4（7c-7）+7c

=10c+2.

又a、b、c均为非负实数.

所以6-5c≥07c-7≥0c≥0 解得 1≤c≤65.

所以S=5a+4b+7c的最大值是m=14（c=65时），最小值n=12（c=1时）.

所以n-m=12-14=-2.

20.由题意知a7=b6，c3=d2，

并且7、3、2均为质数，所以a的质因数一定整除b，同样b的质因数一定整除a，即存在一个正整数p，使得a=p6，b=p7.

同理一定存在一个正整数q，使得c=q2，d=q3.

又已知c-a=17.

所以17=q2-p6=（q+p3）（q-p3）.

由于17是质数且17=17×1.

所以q+p3=17q-p3=1 解得 q=9p3=8

所以q=9，p=2.

所以a=26=64，b=27=128，

c=q2=81，d=q3=729.

所以d-b=729-128=601.

三、解答题

21.因为|a-b|=ba<1，

所以a、b同号，且-1

所以 1a-1b（a-b-1）2

=1a-1b[1-（a-b）]

=b-aab[1-（a-b）].

①若a、b同为正数，由ba<1，得a>b.

所以a-b=ba，a2-ab=b，

解得b=a2a+1.

所以 1a-1b（a-b-1）2

=b-aab[1-（a-b）]

=-baab1-ba=-1a2·a-ba

=-ba4=-1a2（a+1）.

②若a、b同为负数，由ba<1，得b>a.

所以a-b=-ba，

a2-ab=-b，

解得b=a2a-1.

所以 1a-1b（a-b-1）2

=b-aab[1-（a-b）]=baab1+ba

=a+ba3=a+a2a-1a3=2a-1a2（a-1）.

綜上所述，当a、b同为正数时，原式的结果为-1a2（a+1）;

当a、b同为负数时，原式的结果为2a-1a2（a-1）.

1

22.如图11，延长CB至G，使BG=DF，连接AG，则

△ABG≌△ADF，

所以AG=AF，

∠BAG=∠DAF=15°.

又∠GAE=15°+30°=45°，

∠FAE=90°-15°-30°=45°，

所以∠GAE=∠FAE.

所以△GAE≌△FAE，

所以EF=EG，

∠AEF=∠AEG=60°，

∠EFC=30°.

在Rt△ABE中，AB=3，∠BAE=30°，

所以BE=3tan30°=1，

CE=3-1.

在Rt△EFC中，∠EFC=30°，

所以EF=2（3-1）.

S△AEF=S△AEG=12EG×AB

=12×2（3-1）×3

=3-3.

23.（1）将第一个球先放入，有5种不同的放法;再放第二个球，这时有4种不同的放法;依此类推，放入第三、四、五个球时，分别有3、2、1种放法，所以总共有5×4×3×2×1=120种不同的放法.

（2）将1号球放在1号盒子中，其余的四个球随意放，它们依次有4、3、2、1种不同的放法，这样共有4×3×2×1=24种不同的放法.

（3）分四种情况考虑：

①有且只有一个球对号放入：先从五个球中选定一个球，有5种选法，将它放入同号的盒子中（如将1号球放入1号盒子），其余四个球均不对号放入，有9种不同的放法，这样共有5×9=45种不同的放法.

②有且只有两个球对号放入：先从五个球中选定二个球有10种选法，将它们放入同号的盒子中（如将1号球和2号球分别放入1号盒子和2号盒子），其余的三个球均不对号放入，有2种不同的放法，这样共有10×2=20种不同的放法.

③有且只有三个小球对号放入：先从五个球中选定三个球，有10种选法，将它们放入同号的盒子中（如将1号球、2号球、3号球分别放入1号盒子、2号盒子和3号盒子），其余的两个球均不对号放入，有1种不同的放法，这样共有10·1=10种不同的放法.

④五个球均对号放入，这时只有1种不同的放法.

综上可知：至少有一个球放入了同号盒子中，一共有45+20+10+1=76种不同的放法.