解题教学中培养学生数学思维深刻性的途径研究

◎赵 玲 王 淳 （.西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637000；.成都市新都一中实验学校，四川 成都 60500）

一、思维深刻性品质的概述

数学思维品质的成分主要包括数学思维的深刻性、广阔性、灵活性、独创性、目的性、敏捷性和批判性七个方面.思维的深刻性又被称为分清实质的能力，这种能力表现为能洞察所研究的每一事实的本质以及这些事实之间的相互关系.它是一切思维品质的基础.对于初中学生而言，具备思维深刻性品质不仅是学生解题能力的基础，也是学生终身学习所需的基本思维能力.因此，在初中教学中，培养学生思维深刻性至关重要.

二、培养学生思维深刻性品质存在的问题分析

由于思维的深刻性和解题能力之间有着密切联系，解题能力是以思维的深刻性为基础的，而学生思维深刻性的培养又是在解题过程中逐步实现的，因此教师应该在解题教学中有目的、有意识地对学生思维深刻性的品质进行培养.在习题的讲解中，教师可通过区分相似概念、挖掘隐含条件、探索一般规律、渗透数学思想这四个途径培养学生思维的深刻性.但是，在具体的解题教学中，许多教师却忽视了通过这四个途径.下面以反比例函数章节的习题为例，具体分析教师在解题教学中培养学生思维深刻性品质时存在的问题.

（一）忽视了对相似概念的区分

重视对相似概念的区分.教师可以使学生通过分析、比较相似事物属性的异同，逐步培养学生透过现象看清问题本质的能力，提高思维的深刻性.但是，在反比例函数概念的解题教学中，许多教师没有着重区分反比例函数和反比例关系的概念以及反比例函数值与正比例函数值的异同，学生在做题时极易对这些相似概念混淆，导致学生缺乏透过表面现象看清问题实质的能力，不利于学生思维深刻性的培养.

（二）忽视了对隐含条件的挖掘

隐含条件是指问题中那些若明若暗、含而不露的已知条件，往往需要通过对问题的深入分析和深刻理解才能使之明朗化.隐含条件的挖掘是对思维深刻性品质的锻炼.但是，在求反比例函数值的解题教学中，许多教师认为学生遗漏隐含条件的原因是不细心，因此对隐含条件的讲解存在“重结果”“轻过程”的现象.例如，题目中常需要根据图形所在的象限决定值的符号以及在求反比例函数值时需要注意≠0.如果教师对详细原因不做重点讲解，那么学生解题时就容易漏掉这些隐含条件，导致学生解题的严谨性不能得到训练，不利于思维深刻性的培养.

（三）忽视了对一般规律的探索

教师在讲解同一类问题时，还要引导学生探讨解决这类题型的“通法”，让学生用异中求同的方式分析问题，揭示问题之间的相互关系，这本身就是对思维深刻性的训练.但是，在求反比例函数与几何图形所围成的面积的问题中，有的教师只是让学生做例题，接着讲例解.他们没有对其中蕴含的解题规律进行归纳，进而总结出利用反比例函数值求面积问题以及利用坐标求面积问题的“通法”，导致学生缺乏用异中求同的方式分析问题和解决问题，不利于思维深刻性的培养.

（四）忽视了对数学思想的渗透

数学思想是数学的灵魂，是对数学知识本质的认识.注重数学思想的教学不仅能让学生认识到数学知识的“躯体”，而且能使学生掌握其内在的“精神”，这也是对思维深刻性的训练.但是，在解决反比例函数单调性问题的题目中，许多教师没有渗透数形结合思想；在求不规则图形面积问题的题目中，他们没有渗透整体思想.这样的做法导致学生不能将所学知识和方法进行有效的融合，缺乏对数学思想的构建，不利于思维深刻性的培养.

三、培养学生思维深刻性的途径

上述内容分析了教师在解题教学中培养学生思维深刻性存在的问题.下面以反比例函数章节的典型习题为例，从注重区分相似概念、挖掘隐含条件、探索解题规律、渗透数学思想这四个途径提出培养学生思维深刻性的方法.

（一）注重区分相似概念

概念是对事物本质属性的描述，重视相似概念的区分能够加深学生对事物本质的认识.在教学中通过比较、分析相似概念的异同点，能够避免学生被事物表面的相似性迷惑，从而提高学生分清相似事物实质的能力，达到培养学生思维深刻性的目的.

1.区分反比例关系和反比例函数的概念.

例1 下列属于反比例函数的是（ ）.

由于反比例函数与反比例关系概念的相似性，许多学生不能区分反比例函数与反比例关系的异同，误认为最后两个选项也是反比例函数.事实上，反比例函数中两个变量只能由单独的字母表示，而反比例关系中的两个变量是整式.因此反比例函数是反比例关系的一种特殊情况，并且反比例函数中的两个变量有更明确的数量关系.教师通过对反比例函数概念和反比例关系概念的教学，可以提高学生在认知结构中对反比例函数概念的认知.

2.区分反比例函数值与正比例函数值的概念.

（二）注意挖掘隐含条件

隐含条件是那些隐含在题设内，不易被察觉的条件.在教学中，教师可通过挖掘隐含条件，使题设条件更完备，这有利于提高学生分析问题的严谨性.因此，注意隐含条件的挖掘也是对思维深刻性的培养.

1.注意≠0.

很多学生根据-5＝-1，得出＝±2.而忽略了≠2.在教学中，教师要深入挖掘反比例函数≠2 的含义.因为当＝2 时，无论取何值都有≡0，不满足反比例函数的定义.通过分析本题中≠2 这一隐含条件，可提高学生分析问题的严谨性.

2.注意的符号.

图1

A.-6B.6C.-3D.3

很多学生根据三角形面积为3，得出＝6，忽略了还要结合函数图像所在的象限确定的符号.在教学中，教师要深入分析三角形面积和的几何意义的联系，才能使学生避免这类问题设下的陷阱，提高学生解题时的严谨性.

（三）注重探索解题规律

对反比例函数求面积问题的综合题进行分析，可以发现这类题的题目虽然变化多端，但是关键考点并不多，很多题看似不同，其实属于同一类题.通过探讨解决一类题的“通法”，用异中求同的方式分析问题、揭示问题之间的相互关系，就是对思维深刻性的培养.

1.探索利用反比例函数值求面积问题的解题规律.

图2

如果题目的已知量只有函数解析式，则这类问题就要利用反比例函数值求解.虽然本题是用值求面积问题的个别案例，但教师要引导学生探索出解决这类问题的一般规律.通过对该案例解题环节的提炼，学生不难发现这类问题的解题规律：首先观察所给图形的任意一边是否垂直坐标轴，如果垂直，则可直接利用值求解.如果所给图形的任意一边不垂直于坐标轴，则要利用三角形全等的知识，将原图形进行割补，转化为任意一边垂直坐标轴的图形，再利用值求解.

2.探索利用坐标求面积问题的解题规律.

图3

如果题目的已知量只有函数解析式、点的坐标，则这类问题就要利用点的坐标求解.本题尽管是用坐标求面积问题的特殊案例，但教师要引导学生探索出解决这类问题的一般规律，通过对该案例解题环节的提炼，学生不难发现这类问题的解题规律：根据已知点的坐标及其函数解析式可求出其他关键点的坐标，再将这些点的坐标关系转化为线段关系，结合面积公式，从而将问题解决.

（四）注重渗透数学思想

数学思想是学生依据具体的数学内容在认知结构中提炼出的数学本质.在解题过程中，数学思想是学生明确解决问题方法的认知能力，是使学生分清问题实质的必备要素.因此，数学思想的渗透在思维深刻性的培养中必不可少.

1.渗透数形结合思想.

在讲解有关函数单调性的题目中，要结合函数图形分析题目.通过函数图像判断函数值的大小，可使学生领悟数形结合思想，体会数学的本质.

2.渗透整体与系统思想.

图4

由于反比例函数具有关于原点中心对称的性质，如果所求的图形也具有对称性，那么从整体与系统的角度认识反比例函数图像和几何图形，就是对这类题型本质的认识.本题解题的关键在于要将题目中所给图形的某一部分，利用对称性转化为一个整体图形，这里的整体图形是指能够利用基本图形的面积公式计算出面积的图形.通过领悟整体与系统思想，学生能体会到解决这类问题的本质.

结 语

教师应该有目的、有针对性地对学生思维的深刻性品质进行培养.本文提出了在解题教学中从注重区分相似概念、挖掘隐含条件、探索解题规律、渗透思想方法这四个途径培养学生思维深刻性的方法.首先，教师应该注重相似概念的区分，提高学生分清相似事物实质的能力；其次，注重隐含条件的挖掘，提高学生分析问题的严谨性；再次，注重对同一类问题解决规律的探索，提高学生用异中求同的方式分析问题的能力；最后，注重数学思想的渗透，对题目中蕴含的数学思想建立整体性的认知结构.这四个途径，不仅能帮助教师优化教学策略，提高解题教学的效率，而且能帮助学生开拓思维，提高学生分析问题和解决问题的能力，使学生具备终身学习的思维品质.